14.2.3 用ASA或AAS判定三角形全等 导与练2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2.3 用ASA或AAS判定三角形全等 导与练 知识要点： 1． 有两角和它们的     分别相等的两个三角形全等，简写成   或     2．有两角和其中     分别相等的两个三角形全等，简写成   或     3．三个角分别相等的两个三角形定   全等（填一定或不一定）。 易错点睛： 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD． 证明：在ΔABD和ΔABC中， ∠1＝∠2 AB=AB, ∠3＝∠4 ∴ΔABD≌ΔABC(ASA),∴AC=AD. 指出上述证明中的错误，并加以改正。 【点睛】易将∠3＝∠4作为对应角相等证全等． 典型例题： 题型一 三角形全等的判定与性质的应用 例1、 如图，BE，CD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF. 解题策略 （1）证边相等→两边所在的三角形全等． （2）已知一边一角（边角相邻），证全等的思路：①找角的另一邻边→“SAS”；②找边相邻的另一角→“ASA”； ③找边的对角→“AAS”. 变式练习： 1、 如图，已知点B，B，C，在一条直线上∠B＝∠DEF，BC＝BF，现要证明ΔABC≌ΔDEF，若以“SAS”为依据，则还需添加件：    ；若以“ASA”为依据，则还需添加条件：     ；若以“AAS”为依据，则还需添加条件：  第1题 第2题 2、如图，点C，D在AB上，AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，图中全等三角形有（ ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.请你判断ΔACN≌ΔABM是否成立，并说明理由. 题型二 利用全等三角形解决实际问题 例2、如图，为测量河宽0Q．小军站在南岸的0处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后后退到B处，这时他的视点恰好能落在0处，同时他让小华测量他此时所站的B处与0处之间的距离．你能帮忙算出河宽0Q吗？请说明理由． 解题策略 在实际生活中，测量两点间的距离问题，可以巧妙地借助三角形全等来解决.本题关键是证明ΔABO≌ΔPOQ.  变式练习： 1、如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了三块，现在他准备带第③块到专门的商店去配一块完全一样的玻璃，则小明带第③块去的理由是根据三角形全等的判定方法（ ） A.“SAS” B.“AAS” C.“SSS” D.“ASA” 2、元元沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语 CD，其具体信息汇集如下：如图，AB//OH//CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于0，OD⊥CD，垂足为D，AB＝18m．请根据上述信息求标语CD的长度． 题型三 利用截长补短法构造全等三角形 例3、如图，E为AD上A一点，AB／CD、BE平分＜ABG，CE平分＜BCD.求证：BC＝AB＋CD.  解题策略：证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（或差）时，常用截长补短法，证明思路一般是：（1）截长，即在较长线段上截取一段，使之等于其中一条较短线段的长，然后证明剩下的线段长等于另一条较短线段的长；（2）补短，即将其中的一条较短线段直接延长至等于较长线段的长，然后证明延长部分线段的长等于另一条较短线段的长（或延长其中一条较短线段，使延长部分线段的长等于另一条较短线段的长，然后证明延长后的线段长等于较长线段的长）. 变式练习： 1、如图，在ΔABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.求证：CD＝AB＋BD. 2、【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系. 状状探究此问题的方法是：延长FD至点G，使GD＝BE，连接AG，先证明ΔABE≌ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，然后可得出结论，他的结论应是 EF＝BE＋DF 【探索延伸】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由. 基础练习： 1、 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（  ) A.<A=<D      B.<ACB=<DBC    C.AB=DC      D.AC=DB 2、如图，在ΔABC中，点D是边BC的中点，CE//AB，交AD的延长线于点E，若ΔABD的面积为5，则ΔACE的面积为   第1题 第2题 第3题 3、如图，A（0,3），B（2,0），AC＝AB，AC」AB，则点C的坐标为  ________ 4、如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AC＝CE．求证：BD＝AB+DE.  5、如图，锐角ΔABC的高AD，BE交于点F，若BF＝AC，BC＝9，CD＝3．求AF的长． 综合题探究 6、【问题背景】（1）如图1，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，BE⊥CD， 垂足为E.求证：CD＝BE； 【变式运用】（2）如图2，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDA＝90°，CD＝2．求SΔBDC； 【拓展迁移】（3）如图3，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD与AB交于点E，AD＝1，BE＝4AE，直接写出求SΔBDC． 答案： 知识要点： 2． 有两角和它们的  夹边  分别相等的两个三角形全等，简写成  角边角或  ASA  2．有两角和其中  一角的对边  分别相等的两个三角形全等，简写成  角角边或  AAS  3．三个角分别相等的两个三角形定 不一定 全等（填一定或不一定）。 易错点睛： 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD． 证明：在ΔABD和ΔABC中， ∠1＝∠2 AB=AB, ∠3＝∠4 ∴ΔABD≌ΔABC(ASA),∴AC=AD. 指出上述证明中的错误，并加以改正。 【点睛】易将∠3＝∠4作为对应角相等证全等． 正确解：解答：证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABD=∠ABC（等角的补角相等）， 在△ABD与△ABC中， ， ∴△ADB≌△ACB（ASA）， ∴AC=AD． 典型例题： 题型一 三角形全等的判定与性质的应用 例2、 如图，BE，CD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，∠C＝∠B， ∴∠1-∠C＝∠2-∠B，即∠CAF＝∠BAF． 在ΔADF和ΔAEF中，∠DAF=∠EAF, AF=AF, ∠1＝∠2,  ∴ΔADF≌ΔAEF(ASA). ∴DF=EF. 解题策略 （1）证边相等→两边所在的三角形全等． （2）已知一边一角（边角相邻），证全等的思路：①找角的另一邻边→“SAS”；②找边相邻的另一角→“ASA”； ③找边的对角→“AAS”. 变式练习： 2、 如图，已知点B，B，C，在一条直线上∠B＝∠DEF，BC＝BF，现要证明ΔABC ΔDEF，若以“SAS”为依据，则还需添加件： AB=DE  ；若以“ASA”为依据，则还需添加条件：  ∠ACB=∠F  ；若以“AAS”为依据，则还需添加条件： ∠A=∠D 第1题 第2题 2、如图，点C，D在AB上，AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，图中全等三角形有（B) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.请你判断ΔACN≌ΔABM是否成立，并说明理由. 解：成立，理由如下： 在ΔAEB和ΔAFC中， ∠B=∠C, ∠E＝∠F AE=AF, ∴ΔAEB≌ΔAFC(AAS)∴AB=AC. 在ΔACN和ΔABM中， AC=AB, ∠B=∠C, ∠CAN=∠BAM,  ∴ΔACN≌ΔABM(ASA).  题型二 利用全等三角形解决实际问题 例2、如图，为测量河宽0Q．小军站在南岸的0处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后后退到B处，这时他的视点恰好能落在0处，同时他让小华测量他此时所站的B处与0处之间的距离．你能帮忙算出河宽0Q吗？请说明理由． 解：根据题意知AB＝PO，∠A＝∠OPQ. ∵AB⊥BO,PO⊥BQ,∴∠B=∠POQ=90°. 在ΔABO和ΔPOQ中，∠A=∠OPQ, AB=PO,∠B=∠POQ, ∴ΔABO≌ΔPOQ(ASA). ∴BO＝0Q，即河宽0Q为所测量的BO的长度． 解题策略 在实际生活中，测量两点间的距离问题，可以巧妙地借助三角形全等来解决.本题关键是证明ΔABO≌ΔPOQ.  变式练习： 1、如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了三块，现在他准备带第③块到专门的商店去配一块完全一样的玻璃，则小明带第③块去的理由是根据三角形全等的判定方法（ D ） A.“SAS” B.“AAS” C.“SSS” D.“ASA” 2、元元沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语 CD，其具体信息汇集如下：如图，AB//OH//CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于0，OD⊥CD，垂足为D，AB＝18m．请根据上述信息求标语CD的长度． 解：AB//CD，∴∠ABO＝∠CDO. ∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°, ∴∠ABO=90°,∴OB⊥AB. ∵相邻的两平行线间的距离相等，∴OD＝OB. 在ΔABO和ΔCDO中，∠ABO=∠CDO, OB=OD,∠AOB=∠COD, ∴ΔABO≌ΔCDO(ASA), ∴AB＝CD＝18m，即标语CD的长度为18m． 题型三 利用截长补短法构造全等三角形 例3、如图，E为AD上A一点，AB／CD、BE平分＜ABG，CE平分＜BCD.求证：BC＝AB＋CD.  证明： 证法1（截长法）：如图①，在BC上取点F，使BF＝ BA，连接EF. BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在ΔABE和ΔFBE中，BA=BF,   ∠1=∠2, BE=BE,  ∴ΔABE≌ΔFBE(SAS)∴∠A=∠5. ∴AB//CD,∴∠A+∠D=180°. ∴∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D. 在ΔEFC和ΔEDC中，∠6=∠D， <3=<4, EC=EC,  ∴ΔEFC≌ΔEDC(AAS)∴CF=CD. ∴BC=BF+CF=AB+CD. 证法2（补短法）：如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，连接EF. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在ΔBEF和ΔBEC中，BF=BC, ∠1=∠2, BE=BE,  ∴ΔBEF≌ΔBEC(SAS).∴∠F=∠3,EF=EC. ∵∠3=∠4,∴∠F=∠4. ∵AB//CD,∴∠5=∠D. 在ΔAEF和ΔDEC中，∠5=∠D，∠F=∠4,EF=EC,  ∴ΔAEF≌ΔDEC（AAS）∴AF＝DC. ∴BC=BF=AB+AF=AB+CD. 解题策略：证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（或差）时，常用截长补短法，证明思路一般是：（1）截长，即在较长线段上截取一段，使之等于其中一条较短线段的长，然后证明剩下的线段长等于另一条较短线段的长；（2）补短，即将其中的一条较短线段直接延长至等于较长线段的长，然后证明延长部分线段的长等于另一条较短线段的长（或延长其中一条较短线段，使延长部分线段的长等于另一条较短线段的长，然后证明延长后的线段长等于较长线段的长）. 变式练习： 1、如图，在ΔABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.求证：CD＝AB＋BD. 证明：如图，在CD上截取DE＝DB，连接AE，过点E作EFLAC于点F. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°. 在ΔADB和ΔADE中，AD=AD, ∠ADB=∠ADE, DB=DE,  ∴ΔADB≌ΔADE(SAS).  ∴AB=AE,∠B=∠AED.  ∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.  又∠AED＝∠C＋∠CAE， ∴∠C=∠CAE.  ∵EF⊥AC,∴∠CFE=∠AFE=90°.  在ΔCFE和ΔAFE中，∠C=∠FAE, ∠CFE=∠AFE, EF=EF,  ∴ΔCFE≌ΔAFE(AAS)∴CE=AE. ∴CE＝AB.又CD＝CE＋DE，∴CD＝AB＋BD. 3、 【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系. 状状探究此问题的方法是：延长FD至点G，使GD＝BE，连接AG，先证明ΔABE≌ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，然后可得出结论，他的结论应是 EF＝BE＋DF 【探索延伸】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由. 解：结论EF＝BE＋DF仍然成立，理由： 如图②，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG. ∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF= 180°,∴∠B=∠ADG.  在ΔABE和ΔADG中 BE=DG,  ∠B=∠ADG, AB=AD,  ∴ΔABE≌ΔADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∴∠EAF=∠BAD, ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF, ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠EAF.   在ΔAEF和ΔAGF中，AE=AG, ∠EAF=∠GAF AF=AF,  ∴ΔAEF≌ΔAGF(SAS),∴EF=GF.  ∵GF=DG+DF∴EF=BE+DF. 基础练习： 2、 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（ D ) A.<A=<D      B.<ACB=<DBC    C.AB=DC      D.AC=DB 2、如图，在ΔABC中，点D是边BC的中点，CE//AB，交AD的延长线于点E，若ΔABD的面积为5，则ΔACE的面积为  10 第1题 第2题 第3题 3、如图，A（0,3），B（2,0），AC＝AB，AC」AB，则点C的坐标为  (3.5) 4、如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AC＝CE．求证：BD＝AB+DE.  证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD．AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∠ACB=∠CED. 在ΔABC和ΔCDE中，∠ACB=∠CED, ∠B=∠D, AC=EC,     ΔABC≌ΔCDE(AAS). ∴BC=DE.AB=CD.ABD=CD+BC=AB+DE. 5、 如图，锐角ΔABC的高AD，BE交于点F，若BF＝AC，BC＝9，CD＝3．求AF的长． 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°． ∴∠EBC+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.∠EBC=∠DAC. 在ΔFBD与ΔCAD中，∠DAC=∠FBD, ∠ADC=∠ADB,AC=BF,∴.ΔCAD≌ΔFBD(AAS). ∴FD=DC=3,BD=AD.∵BC=6,∴AD=BD=BC-CD=6.∴AF=AD-FD=6-3=3. 综合题探究 6、【问题背景】（1）如图1，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，BE⊥CD， 垂足为E.求证：CD＝BE； 【变式运用】（2）如图2，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDA＝90°，CD＝2．求SΔBDC； 【拓展迁移】（3）如图3，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD与AB交于点E，AD＝1，BE＝4AE，直接写出求SΔBDC． 解：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°，BE⊥CD， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，∠CBE＋∠BCE＝90°， ∴∠ACD=∠CBE,  在ΔACD与ΔCBE中，∠ACD=∠CBE，∠ADC＝∠CEB，AC=BC, ∴ΔACD≌ΔCBE(AAS).∴CD=BE;  （2）过点B作BE⊥CD，垂足为E，：AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，由（1）知，BE＝CD＝2．.SΔBDC=CD·BE=2;  （3）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴由（1）知BF＝CD．== ∵BE=4AE,∴BF=4AD=4,CD=BF=4,.SΔBDC=CD·BF=8.  www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$