14.2.2 用SAS判定三角形全等 导与练2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2.2 用SAS判定三角形全等 导与练 知识要点： 有两边和它们的    分别相等的两个三角形全等，简写成   或    尝试应用： 1．如图，AB＝AD．∠1＝∠2，则ΔABC≌ΔADC，理由是 1题 2题 3题 2． 如图，AB＝AC，AD＝AE，则 ΔABD≌AACE，理由是   3． 如图，AC，BD交于点E,AE=CE,根据SAS得到ΔABE≌ΔCDE,只需补充条件： _-_____ 易错点睛： 已知ΔABC 和ΔDEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，则ΔABC与ΔDEF是否一定全等？试说明理由。 典型例题： 类型一 利用全等进行有关的计算或证明 例1、 如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA//FB，EA＝FB,AB=CD. （1） 求证：∠E＝∠F； （2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数． 解题策略：在证明两个三角形全等时，如果已知两组对应边分别相等，一般要去寻找第三条边对应相等或两组对应边的夹角相等，利用“SSS”或“SAS”证明两个三角形全等. 变式练习： 1、如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF. （1） 求证：∠D＝∠2； （2） 若EF//AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 2、如图，C是AB的中点，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE.求证：AE＝BD. 题型二 利用倍长中线法构造全等三角形 例2、如图，CE，CB分别是ΔABC，ΔADC的中线，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB．求证：CD＝2CE． 解题策略： 当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系.利用倍长中线法构造全等三角形 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，AD是边BC上的中线求证：AD＜（AB＋AC）。 2、如图，AB＝AE，ABLAE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．求证：DE＝2AM． 基础练习： 1、 如图，AB＝AD，AC＝AE，添加下列条件，不一定能得到ΔABC≌ΔADE的是（  ) A.BC=DE B.∠BAC=∠DAE C.∠C=∠E D.∠BAD=∠CAE 第1题 第2题 第3题 2、 如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为  3、如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为     4、如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：ΔACD≌ΔEDC． 5、如图，在ΔABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE＝DF，∠EDF＝∠B，BE＝DC． （1）求证：BC＝FC＋BE； （2）若∠A＝100°，求∠EDF的度数． 综合探究： 6、在ΔABC和ΔCDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F． （1）如图1，当α＝90°时，求证：①ΔACE≌ΔBCD，②AE⊥BD； （2）如图2，当α＝60°时，求∠AFB的度数； （3）如图3，直接写出∠AFD的度数为______（用含α的式子表示）. 答案： 知识要点： 有两边和它们的 夹角  分别相等的两个三角形全等，简写成  边角边 或 SAS  尝试应用： 1．如图，AB＝AD．∠1＝∠2，则ΔABC≌ΔADC，理由是SAS 1题 2题 3题 4． 如图，AB＝AC，AD＝AE，则 ΔABD≌AACE，理由是SAS  5． 如图，AC，BD交于点E,AE=CE,根据SAS得到ΔABE≌ΔCDE,只需补充条件：BE=DE 易错点睛： 已知ΔABC 和ΔDEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，则ΔABC与ΔDEF是否 一定全等？试说明理由。 【点睛】SAS中的A应是S与S的夹角.不一定全等，反例如下： 【解】 典型例题： 类型一 利用全等进行有关的计算或证明 例2、 如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA//FB，EA＝FB,AB=CD. （2） 求证：∠E＝∠F； （2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数． （1） 证明：∵EA//FB，∠A＝∠FBD．∴AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.  在ΔEAC和ΔFBD中，EA=FB, ∠A=∠FBD, AC=BD,  ∴ΔEAC≌ΔFBD(SAS)∴∠E=∠F. （2）解：由（1）知ΔEAC≌ΔFBD，∴∠ECA＝∠D＝80°． ∠A=40°,∴∠E=180°-∠A-∠ECA=180°-40 -80 =60  解题策略：在证明两个三角形全等时，如果已知两组对应边分别相等，一般要去寻找第三条边对应相等或两组对应边的夹角相等，利用“SSS”或“SAS”证明两个三角形全等. 变式练习： 1、 如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF. （3） 求证：∠D＝∠2； （4） 若EF//AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． （1） 证明：在ΔCDA和ΔBEF中， CD=BE,  ∠1=∠B,  CA=BF.  ∴ΔCDA≌ΔBEF(SAS),∴∠D=∠2. （2）解：∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠2＝78°． ∵EF//AC,∴∠BAC=∠2=78°. 2、 如图，C是AB的中点，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE.求证：AE＝BD. 证明：C是AB的中点，∴AC=BC. ∠ACD=∠BCE, ∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即  ∠ACE=∠BCD.  在ΔACE和ΔBCD中，AC=BC, ∠ACE=∠BCD,CE=CD, ΔACE≌ΔBCD(SAS)∴AE=BD. 题型二 利用倍长中线法构造全等三角形 例2、如图，CE，CB分别是ΔABC，ΔADC的中线，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB．求证：CD＝2CE． 证明：如图，延长CE至点F，使EF＝CE，则CF＝2CE， 连接FB.∵CE是ΔABC的中线，∴AE＝BE. 在ΔBEF和ΔAEC中，BE=AE,∠BEF=∠AEC,EF=EC,∴ΔBEF≌ΔAEC(SAS). ∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∠ABC＝∠ACB， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.∵CB是ΔADC的中线，∴AB＝BD. 又AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD. 在ΔCBF和ΔCBD中，CB=CB, ∠CBF=∠CBD,BF=BD, ∴ΔCBF≌ΔCBD(SAS)·∴CF=CD·∴CD=2CE. 解题策略： 当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系.利用倍长中线法构造全等三角形 变式练习： 2、 如图，在ΔABC中，AD是边BC上的中线求证：AD＜（AB＋AC）。 证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接BE. ∵AD是边BC上的中线， ∴DC=DB. 在ΔACD和ΔEBD中，DC=DB, ∠ADC=∠EDB,AD=ED,  ∴ΔACD≌ΔEBD(SAS).  ∴AC=EB.  在ΔABE中，AE＜AB＋EB， ∴2AD<AB+AC,∴AD<(AB+AC).  2、如图，AB＝AE，ABLAE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．求证：DE＝2AM． 证明：如图，延长AM 至点N，使MN＝AM，则NA＝2AM，连接BN． ∵M为BC的中点，∴CM＝BM. 在ΔAMC和ΔNMB中，AM=NM, ∠AMC=∠NMB, CM=BM,  ∴ΔAMC≌ΔNMB(SAS), ∴AC=NB,∠C=∠NBM.∴AD=AC,∴AD=BN. ∵AB⊥AE,AD⊥AC,∴∠EAB=∠DAC=90°, ∴∠EAD+∠BAC=360°-∠EAB-∠DAC=180°, ∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°- ∠BAC=∠EAD.  在ΔEAD和ΔABN中，AE=BA,∠EAD=∠ABN,AD=BN,  .ΔEAD≌ΔABN(SAS),∴DE=NA=2AM.  基础练习： 3、 如图，AB＝AD，AC＝AE，添加下列条件，不一定能得到ΔABC≌ΔADE的是（ C ) A.BC=DE B.∠BAC=∠DAE C.∠C=∠E D.∠BAD=∠CAE 第1题 第2题 第3题 2、如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为 30° 3、如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为  82°  4、如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：ΔACD≌ΔEDC． 证明：在ΔABC与ΔEBD中， AB=BE,∠ABC=∠EBD,BC=BD, ∴ΔABC≌ΔEBD(SAS),  ∴AC=ED,∠A=∠E.AB=EB,BC=BD, ∴.AB+BD=EB+BC,  即AD＝EC. 在ΔACD与ΔEDC中，AC=ED,∠A=∠E,AD=EC, ∴.ΔACD≌ΔEDC(SAS).  5、如图，在ΔABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE＝DF，∠EDF＝∠B，BE＝DC． （1）求证：BC＝FC＋BE； （2）若∠A＝100°，求∠EDF的度数． （1）思路：证ΔBDE≌ΔCFD得到FC=BD∵BE=DC,∴BC=BD+DC＝FC＋BE (2)∵ΔBDE≌ΔCFD,∴∠B=∠C. ∵∠A=100°,∴∠B=40°.∴∠EDF=∠B,∴∠EDF=40°. 6、在ΔABC和ΔCDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F． （1）如图1，当α＝90°时，求证：①ΔACE≌ΔBCD，②AE⊥BD； （2）如图2，当α＝60°时，求∠AFB的度数； （3）如图3，直接写出∠AFD的度数为______（用含α的式子表示）. 解：思路：（1）证明：证ΔACE≌ΔBCD，∴∠CAE＝∠CBD，：∠AFB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥BD； （2）同（1）可得∠AFB＝∠ACB＝60°； （3）同（1）可得∠AFB＝∠ACB＝α，故∠AFD＝180°-α． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$