14.1 全等三角形及其性质 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

14.1 全等三角形及其性质 导与练 知识要点： 1． 能够  的两个图形叫做全等形. 2．能够   的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“_ _ ”表示，读作“   “ 3．全等三角形的对应边   ，对应角  4．经过  、 、 等变换前后的两个三角形全等. 易错点睛： 如图，ΔABC≌△ACD，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应边；③∠DAC与∠BAC是对应角；④∠ACD与∠CAB是对应角.其中结论正确的序号有    【点睛】  没抓住二符号确定对应边与对应角而出错。 典例讲解： 题型一 利用全等三角形的性质进行有关线段的计算或证明 例1、  如图，A，D，E三点在一条直线上，且ΔBAD≌ΔACE.求证：BD＝CE+DE.  变式练习： 1、 如图，ΔACE≌ΔDBF，AC＝6，BC＝4．求AD的长． 2、如图，ΔACF≌ΔDBE，AD＝11，BC＝7．（1）求证：AB＝CD；（2）求AB的长． 题型二 利用全等三角形的性质进行有关角的计算或证明 例2、 如图，ΔABC≌ΔADE，且∠CAD＝10°，∠B=∠D=25°,∠EAB=120°．求∠DFB和∠DGB的度数. 变式1、如图，在ΔABC中∠A＝30°，∠ABC＝50°．若ΔEDC≌ΔABC，且点A，C，D在一条直线上，则∠BCE的度数为（  ) A.20° B.30° C.40° D.50° 1题 2题 3题 2、 如图，ΔABC≌ΔDEF，DF／／BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在边DE上，则∠BAD的度数为   ° 3、如图，ΔABC≌ΔADE，且点D在BC上.求证：∠BAD＝∠EDC. 题型三 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 例3、 如图，ΔACE≌ΔDBF，点A，B，C，D在一条直线上.AE与DF平行吗？EC与BF呢？请说明理由. 解题策略:证明两直线平行，常通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或平行于同一线的两直线平行证得.具体采用哪种方法要根据已知条件进行灵活选取. 例4、 如图，点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，且ΔABD≌ΔEBC. （1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由； （2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由. 解题策略：证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°．当题目中没有给出任何角的度数时，常常借助两个等角的和是180°来证明． 变式练习： 1、 如图，点A，B，C，D在一条直线上，点E，F是直线AD上方的点，连接AE，CE，BF，DF，若ΔACE≌ΔFDB，FD＝3，AD＝8． （1）直线CE与DF是否平行？说明理由； （2）求CD的长； （3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数． 2、如图，E为AB上一点，AC⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，ΔACE≌ΔBED． （1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：AB＝AC＋BD． 3、如图，已知AE⊥AB，ΔACE≌ΔAFB，CE分别与AB，BF交于点D，M.线段CE与FB有什么关系？请证明你的结论. 基础练习： 1、 如图，若ΔABC≌ΔADE，则下列结论中一定成立的是（  ) A. AC=DE B.AB=AE C.∠BAD=∠CAE D.∠ABC=∠AED 2、如图，已知ΔABC≌ΔDCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论错误的是（  ) A.∠D=60° B.∠DBC=40° C.BE=10 D.AC=DB 1题 2题 3题 3、如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的度数为   4、如图，已知ΔACE≌ΔDBF，CE＝BF，AD＝9，BC＝1． （1）求证：CE//BF； （2）求AC的长度． 5、如图，ΔABC≌ΔADE，分别延长BC，ED交于点F． （1）求证：∠ACF＋∠E＝180°； （2）若∠BAC＝55°，∠CAD＝60°，求∠F的度数． 综合题探究 6、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，AB＝10，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，E是BC的中点，∠DEB＝90°，DE＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿AC边向点C运动，同时动点Q以每秒a个单位长度的速度也从点B出发，沿BA边向点A运动，若ΔAPQ与ΔDEB全等，直接写出a的值. 答案： 知识要点： 1.能够 完全重合 的两个图形叫做全等形. 2．能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“_≌_ ”表示，读作“ 全等于  “ 3．全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 4．经过 平移 、翻折、旋转 等变换前后的两个三角形全等. 易错点睛： 如图，ΔABC≌△ACD，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应 边；③∠DAC与∠BAC是对应角；④∠ACD与∠CAB是对应角.其中结论正确的序号有  ②④ 【点睛】  没抓住二符号确定对应边与对应角而出错。 典例讲解： 题型一 利用全等三角形的性质进行有关线段的计算或证明 例5、  如图，A，D，E三点在一条直线上，且ΔBAD≌ΔACE.求证：BD＝CE+DE.  证明：∵ΔBAD≌ΔACE，∴BD＝AE，AD＝CE. ∵AE=AD+DE,∴BD=AD+DE=CE+DE. 由两个三角形全等得到线段相等，再将其中一条较长的线段转化为两条线段的和，最后通过等量代换得出结论. 变式练习： 3、 如图，ΔACE≌ΔDBF，AC＝6，BC＝4．求AD的长． 解：∵ΔACE≌ΔDBF， ∴AC=DB=6.  ∴CD=DB-BC=6-4=2.  ∴AD=AC+CD=6+2=8. 2、如图，ΔACF≌ΔDBE，AD＝11，BC＝7． （1）求证：AB＝CD；（2）求AB的长． （1）证明：∵ΔACF≌ΔDBE,∴AC=DB.  ∴AC-BC=DB-BC,即AB＝CD.  （2）解：∵AD＝11，BC＝7，AB＝CDAB=（AD-BC）=2 题型二 利用全等三角形的性质进行有关角的计算或证明 例6、 如图，ΔABC≌ΔADE，且∠CAD＝10°，∠B=∠D=25°,∠EAB=120°．求∠DFB和∠DGB的度数. 解：∵ΔABC≌ΔADE，∠CAD＝10°，∠EAB＝120° ∴∠BAC=∠DAE=(∠EAB-∠CAD)=(120°-10°)=55°.  ∵∠B=25°,∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+ ∠BAC+∠B=10°+55°+25°=90° ∵∠D=25°,  ∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.  变式1、如图，在ΔABC中∠A＝30°，∠ABC＝50°．若ΔEDC≌ΔABC，且点A，C，D在一条直线上，则∠BCE的度数为（ A ) A.20° B.30° C.40° D.50° 1题 2题 3题 2、如图，ΔABC≌ΔDEF，DF／／BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在边DE上，则∠BAD的度数为  20° 3、如图，ΔABC≌ΔADE，且点D在BC上.求证：∠BAD＝∠EDC. 证明：∵ΔABC≌ΔADE， ∴∠B=∠ADE.           ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,            ∴∠BAD=∠EDC.  题型三 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 例7、 如图，ΔACE≌ΔDBF，点A，B，C，D在一条直线上.AE与DF平行吗？EC与BF呢？请说明理由. 解：AE//DF，EC//BF.理由如下： ∵ΔACE≌ΔDBF，∴∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD.  ∴AE//DF,EC//BF.  解题策略:证明两直线平行，常通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或平行于同一线的两直线平行证得.具体采用哪种方法要根据已知条件进行灵活选取. 例8、 如图，点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，且ΔABD≌ΔEBC. （1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由； （2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由. 解：（1）AC⊥BD．理由如下： ∵ΔABD≌ΔEBC,∵∠ABD=∠EBC. ∵点A，B，C在一条直线上， ∴∠ABD＋∠EBC＝180°（平角等于180°）． ∴∠ABD=∠EBC=90°,∴AC⊥BD. （2）直线AD⊥直线CE．理由如下： 如图，延长CE交AD于点F. ∵ΔABD≌ΔEBC, ∴∠D=∠C. 在RtΔABD中．∴∠A＋∠D＝90°， ∠A+∠C=90°∴∠DFC=∠A+∠C=90°, 直线AD⊥直线CE. 解题策略：证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°．当题目中没有给出任何角的度数时，常常借助两个等角的和是180°来证明． 变式练习： 2、 如图，点A，B，C，D在一条直线上，点E，F是直线AD上方的点，连接AE，CE，BF，DF，若ΔACE≌ΔFDB，FD＝3，AD＝8． （1）直线CE与DF是否平行？说明理由； （2）求CD的长； （3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数． 解：（1）CE//DF．  理由：∵ΔACE≌ΔFDB， ∴∠ACE=∠D,  ∴CE//DF. (2)ΔACE≌ΔFDB,  ∴AC=FD=3.  ∵AD=8,∴CD=AD-AC=8-3=5.  (3)∵ΔACE≌ΔFDB,∴∠A=∠F=53°.  ∴∠ACE=180°-∠A-∠E=180°-53°- 26°=101°. 2、如图，E为AB上一点，AC⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，ΔACE≌ΔBED． （1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：AB＝AC＋BD． （1）解：CE⊥DE． 证明如下：        ∵AC⊥AB,  ∴∠A=90°.             ∴∠C+∠CEA=90°.  ∵ΔACE≌ΔBED,   ∴∠C=∠DEB.  ∴∠DEB+∠CEA=90°.  ∴∠CED=180°-∠DEB-∠CEA=180°- 90°=90°∴CE⊥DE. （2）证明：∵ΔACE≌ΔBED， ∴AC=BE,AE=BD. ∴AB=BE+AE=AC+BD. 3、如图，已知AE⊥AB，ΔACE≌ΔAFB，CE分别与AB，BF交于点D，M.线段CE与FB有什么关系？请证明你的结论. 解：CE＝FB，且 CE⊥FB. 证明如下： AE⊥AB, ∵∠BAE=90°. ∴∠E+∠ADE=90°. ∵ΔACE≌ΔAFB,∴∠E=∠B,CE=FB.  又∵∠ADE＝∠BDM， ∴∠E+∠ADE=∠B+∠BDM=90°. ∴∠BMD=180°-∠B-∠BDM=90°. ∴CE⊥FB.  基础练习： 2、 如图，若ΔABC≌ΔADE，则下列结论中一定成立的是（ C) B. AC=DE B.AB=AE C.∠BAD=∠CAE D.∠ABC=∠AED 2、如图，已知ΔABC≌ΔDCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论错误的是（ C) A.∠D=60° B.∠DBC=40° C.BE=10 D.AC=DB 1题 2题 3题 3、 如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的度数为  50° 4、如图，已知ΔACE≌ΔDBF，CE＝BF，AD＝9，BC＝1． （1）求证：CE//BF； （2）求AC的长度． 解：（1）证明：∵ΔACE≌ΔDBF，∴∠ACE＝∠DBF，∴CE//BF； (2)∵ΔACE≌ΔDBF,∴AC=BD,AC-BC=BD-BC,  ∴AB=CD=(AD-BC)÷2=4,∴AC=AB+BC=4+1=5.  5、如图，ΔABC≌ΔADE，分别延长BC，ED交于点F． （1）求证：∠ACF＋∠E＝180°； （2）若∠BAC＝55°，∠CAD＝60°，求∠F的度数． 解：（1）证明：∵ΔABC≌ΔADE，∴∠E＝∠ACB． ∵∠ACF+∠ACB=180°,∴∠ACF+∠E=180°;  (2)∵ΔABC≌ΔADE,∴∠EAD≌∠BAC=55°.∵∠CAD=60°,  ∴∠CAE=∠CAD+∠EAD=115°.  ∵∠ACF+∠E+∠CAE+∠F=360°,∠ACF+∠E=180°,  ∴180°+115°+∠F=360°∴∠F=65°.  综合题探究 6、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，AB＝10，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，E是BC的中点，∠DEB＝90°，DE＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿AC边向点C运动，同时动点Q以每秒a个单位长度的速度也从点B出发，沿BA边向点A运动，若ΔAPQ与ΔDEB全等，直接写出a的值. 解：a的值为2.4或2.5．设运动时间为ts，则AP＝2t，BQ=at,AQ=10-at. ∵∠C=∠DEB=90°,∴AC//DE, ∴∠A＝∠EDB≠∠B. 若ΔAPQ≌ΔDEB， ∴AP=DE=4,AQ=DB=5, ∴2t＝4,10-at＝5，∴t＝2，a＝2.5； 若ΔAQP≌ΔDEB． ∴AP=DB=5,AQ=DE=4,∴2t=5,10-at=4,∴t=2.5,a=2.4; 综上所述，a的值为2.4或2.5 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$