第十八章　分式课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十八章　章末知识复习 A 分类练　考点集训 01 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2.根据下列表格信息,y可能为( ) C x … -2 -1 0 1 2 … y … * 0 * * 无意义 … 2 A 3 C 4 A 5 C 6 D 7 8 9 考点4　整数指数幂 10.传统文化 2025中国非遗春节联欢晚会以“非遗正青春”为主题,旨在通过展示非遗项目,传承和弘扬中华优秀传统文化,其中,非物质文化遗产苏绣作品《姑苏繁华图》的绣作中,所用最细丝线的半径约为 0.000 006 m.数据0.000 006用科学记数法可表示为( ) A.0.6×106 B.6×10-6 C.0.6×10-6 D.60×106 B 10 11 A D 12 20 13 14 (2)若该方程无解,求a的值. 15 16.2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行,此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”,某商店出售亚冬会吉祥物的挂件,已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元.用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同. 16 (1)求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多 少元. 17 (2)若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个,且两种挂件都购买,且总费用不超过2 800元,则最多购买“滨滨”挂件多少个? 解:(2)设购买m个“滨滨”挂件,则购买(100-m)个“妮妮”挂件, 根据题意,得20(100-m)+30m≤2 800, 解得m≤80,又∵m为正整数, ∴m的最大值为80. 答:最多购买“滨滨”挂件80个. 18 讲方法　数学思想 02 类型一　转化思想 类型解读 易出现的常见类型 (1)把分式的除法转化为乘法; (2)把异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法; (3)把分式方程转化为整式方程. 19 20 21 22 类型二　整体思想 类型解读 在解分式的化简求值问题时,有时将已知条件变形后整体代入化简后的式子求解,体现了整体思想. 23 24 类型三　分类讨论思想 类型解读 方程需要分类讨论的题型 (1)由分式的值确定字母的范围; (2)由分式方程解的情况确定字母的取值. 25 解:方程两边同时乘(x+2)(x-2), 得2(x+2)+mx=3(x-2), 整理,得(1-m)x=10. 当1-m=0,即m=1时,方程无解, ∴当m=1时,原分式方程无解. 由(x+2)(x-2)=0,得x=-2或x=2, ∴当x=-2时,(1-m)×(-2)=10,解得m=6. 26 当x=2时,(1-m)×2=10, 解得m=-4. ∴m=-4或m=6时,原分式方程无解. 综上,当m=-4或m=6或m=1时,原分式方程无解. 27 谢谢观赏！ 28 考点1　分式的有关概念 1.在-5x3,,-0.7xy+y3,,中,分式有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A. B. C. D. 3.若分式的值为0,则x应满足的条件是( ) A.x=-2 B.x=2 C.x≠-2 D.x=±2 考点2　分式的基本性质 4.下列各式从左到右的变形正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 5.根据分式的基本性质,分式可变形为( ) A.- B.- C. D.- 考点3　分式的运算 6.计算·(-)的结果等于( ) A.6xyz B.- C.-6xyz D.6x2yz 7.对于代数式a,b,c,d规定一种运算:=-,按照此规则, 化简的结果为( ) A.x2 B. C. D.1 8.如果x=3-,则的值等于　　 .  9.计算: (1)()3÷·()2; 解:(1)()3÷·()2=-·· =-. (2)(-)÷. 解:(2)(-)÷ =[-]· =[-]· =· =· =. 11.计算()-1+(-1)2 023-(π+1)0. 解:()-1+(-1)2 023-(π+1)0 =3-1-1 =1. 考点5　分式方程及其应用 12.方程=的解为( ) A.x=5 B.x=4 C.x=3 D.x=2 13.若关于x的方程+=1无解,则a的值是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 14.新教材样板题 数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是 15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,so.研究15, 12,10这三个数的倒数发现:-=-.我们称15,12,10这三个数为一组调和数.现有一组调和数x,8,5(x>8),则x 的值是　 　. 15.已知关于x的分式方程+=1. (1)当a=5时,求方程的解. 解:(1)当a=5时,分式方程为+=1, 5-3=x-1,解得x=3, 检验:当x=3时,x-1≠0, ∴x=3是原方程的根. 解:(2)+=1,a-3=x-1, 解得x=a-2, 由题意,得x-1=0,解得x=1, ∴a-2=1,解得a=3. ∴a的值为3. 解:(1)设每个“滨滨”挂件进价为x元,则每个“妮妮”挂件的进价为(x-10)元, 根据题意,得=,解得x=30, 经检验,x=30是所列方程的解,且符合题意, ∴x-10=20(元). 答:每个“滨滨”挂件进价为30元,则每个“妮妮”挂 件的进价为20元. 17.计算()3÷·. 解:()3÷·=·· =-. 18.计算-. 解:- =+ = =. 19.解分式方程-1=. 解:方程两边同时乘(x+3)(x-3),得x(x-3)-(x+3)(x-3)=2(x+3), 去括号,得x2-3x-x2+9=2x+6, 移项、合并同类项,得5x=3,解得x=, 检验:当x=时,(x+3)(x-3)≠0, 因此x=是原分式方程的解. 解:(-)÷ =÷ =÷ =· =. ∵x2-x-1=0,∴x2=x+1. ∴原式==1. 20.先化简,再求值:(-)÷,其中x2-x-1=0. 21.m为何值时,关于x的方程+=无解? $$第12课时　分式方程的实际应用(2)——行程问题 学新知　知识导学 01 知识点　行程问题 行程问题的关系式:路程=速度×时间. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 类型一　分式A=分式B 1.典例 已知甲车的速度比乙车的速度快 30 km/h,甲车行驶200 km所用的时间,乙车只能行驶120 km,求乙车的速度. 2 2.某列车平均提速60 km/h,用相同的时间,该列车提速前行驶100 km,提速后比提速前多行驶50 km,求该列车提速前的平均速度. 3 类型二　分式A-分式B=常数 3.典例 新教材样板题 列方程解应用题:甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发,甲、乙的平均速度比是3∶4,结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙的速度. 4 5 6 7 类型三　分式A+分式B=常数 5.典例 奥林匹克公园马拉松线路分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑.小明先进行了2 km的智慧跑,接着进行了4 km的堤上跑,一共用时40 min.已知小明进行堤上跑的平均速度是进行智慧跑的平均速度的1.5倍,求小明进行智慧跑、堤上跑的平均速度各是多少. 8 9 6.小华家离学校一共2 120 m,其中一段是 720 m的上坡路,另一段是下坡路.他跑步去学校共用了16 min,已知小华在下坡路上的平均速度是上坡路上的平均速度的2.5倍.求小华上坡、下坡的平均速度分别是多少. 10 11 7.跨学科融合 岩石会“说话”,山川有“韵律”,大自然中蕴涵着无尽的秘密,吸引着热爱研学的某校的师生们走进其中一探究竟.甲、乙两同学分别从距离活动地点 12 km和 5 km的两地同时出发参加活动,甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍.乙同学比甲同学提前4 min到达活动地点.若假设乙同学 的速度是x km/h,可列分式方程为　 　 .  精评价　层级演练 02 基础巩固 12 8.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为( ) A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h D 13 9.11月,正是秋高气爽,沿湖骑行的好时节.甲、乙两人相约从开州大桥出发沿相同路线去30 km外的目的地,已知正常情况下甲的骑行速度是乙的1.5倍.(假设骑行过程为匀速运动) (1)若乙比甲先骑行3 km,甲才开始出发,半小时后甲追上乙,则两人的速度分别为多少? 能力进阶 14 (2)若甲在出发后第一小时内按正常速度骑行,由于身体不适,一小时后将速度降低到与乙一致,结果比原计划延迟20 min到达目的地,求甲前一小时的骑行速度. 15 谢谢观赏！ 16 解:设乙车的速度为x km/h,则甲车的速度为(x+30)km/h.根据题意,得 =, 解得x=45. 经检验,x=45是原方程的解,且符合题意. 答:乙车的速度为45 km/h. 解:设提速前速度为x km/h,则 =, 解得x=120. 经检验,x=120是此方程的根,所以此方程的解为 x=120. 答:提速前平均速度为120 km/h. 解:设甲的速度为3x km/h,乙的速度为4x km/h, 由题意,得-=, ∴x=1.5, 经检验,x=1.5是分式方程的解. 则甲的速度为3x=4.5 km/h,乙的速度为 4x=6 km/h. 答:甲的速度为4.5 km/h,乙的速度为6 km/h. 4.电动垂直起降飞行器通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机,其优势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤,大大缩短交通时间.例如从浦东机场到上海市中心约50 km,使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70 min,已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度的,请求出电动垂直起降飞行器的速度. 解:设电动垂直起降飞行器的速度为x km/h,则汽车的速度为 x km/h, 根据题意,得-=, 解得x=300, 经检验,x=300是该分式方程的解, ∴电动垂直起降飞行器的速度为300 km/h. 解:设小明进行智慧跑的平均速度是x km/h,则小明进行堤上跑的平均速度是1.5x km/h,依题意,得 +=,解得x=7. 经检验,x=7是原方程的解,且符合题意. ∴1.5x=1.5×7=10.5. 答:小明进行智慧跑的平均速度是7 km/h,进行堤上跑的 平均速度是10.5 km/h. 解:设小华上坡的平均速度是x m/min,则下坡的平均速度是 2.5x m/min,依题意,得 +=16, 解得x=80. 经检验,x=80是原方程的解,且符合题意. ∴2.5x=200. 答:小华上坡的平均速度是80 m/min,下坡的平均速度 是200 m/min. 　-= 解:(1)设乙的速度是x km/h,则甲的速度是1.5x km/h,由题意,得(1.5x-x)=3, 解得x=12,则1.5x=1.5×12=18(km/h),所以,乙的速度是12 km/h,则甲速度是18 km/h. 解:(2)设甲前一小时的骑行速度是y km/h,则乙的速度是y km/h,由题意,得1+-=. 解得y=18,经检验,y=18是原方程的解,且符合题意. 答:甲前一小时的骑行速度是18 km/h. $$第5课时　分式的乘法与除法(2)——分式的乘方及乘除混合运算 学新知　知识导学 01 分子 分母 乘方 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 知识点二　分式的乘方、乘除混合运算 (1)先乘方,再乘除,同级运算按从左到右的顺序依次进行; (2)在运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、分配律; (3)要注意各分式中的分子、分母的符号的处理.结果中分子或分母的系数是负数时,一般要把分子或分母本身的“-”提到分式的前面; (4)分式的运算与分数的运算一样,结果必须是最简形式. 4 5 6 7 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 C B 9 D A 10 11 12 能力进阶 D A 13 14 15 16 谢谢观赏！ 17 知识点一　分式的乘方 分式的乘方要把　 　、　 　分别　 　.用式子表示为=.  【归纳总结】 ①这里的a,b可以是单项式,也可以是多项式;②确定分式乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号 的方法相同:正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂 是正数,奇次幂是负数. 1.典例 计算: (1)(-)2;(2)()3. 解:(1)(-)2=. (2)()3=-. 2.计算: (1)()4;(2)()3. 解:(1)()4==. (2)()3==-. 3.典例 计算(-)2·()2÷(-2ab)2. 解:(-)2·()2÷(-2ab)2=·÷(4a2b2) =··=. 4.计算÷·()2. 解:÷·()2=··=-x. 5.典例 计算÷()2. 解:÷ =÷ =· =. 6.计算÷·. 解:÷· =·· =-2. 7.计算(-)3的结果是( ) A.- B.- C.- D. 8.计算a·()2的结果是( ) A.1 B. C.a2 D.a3 9.计算8x2y4·(-)÷(-)的结果是( ) A.-3x B.3x C.-12x D.12x 10.下列代数式中计算结果等于的是( ) A.a·÷a2 B.a÷(÷a2) C.a÷·a2 D.a÷(·a2) 11.计算÷÷(x-1)2. 解:÷÷(x-1)2 =÷÷(x-1)2 =··=. 12.计算()2÷(-)×. 解:()2÷(-)×=-×× =-. 13.计算12a2b4·(-)÷(-)的结果等于( ) A.-9a B.9a C.-36a D.36a 14.如果()2÷()2=4,那么a8b4等于( ) A.16 B.19 C.12 D.8 15.计算×÷. 解:()2×÷ =×× =. 16.李老师讲完了“分式的乘法与除法”一节后,给同学们出了这样一道题:“若x=-2 025,求代数式÷·的值”.一会儿,小明说:“老师这道题中的x=-2 025是多余的.”请你判断小明的说法是否正确? 解:小明的说法正确. ÷· =·· =1, ∴无论x取任何有意义的值,都不会影响其结果,代数式的值恒为1, ∴“x=-2 025”是多余的,即小明的说法正确. $$第3课时　分式的基本性质(2)——约分和通分 学新知　知识导学 01 知识点一　最简分式 分子与分母没有　 　的分式,叫作最简分式.  公因式 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) D 2 3 知识点二　约分 (1)定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分; (2)分式的约分,一般约去分子和分母的　 　,使所得结果成为　 　.  【归纳总结】 约分的一般方法: ①若分式的分子、分母都是单项式,就直接约去分子、分母的公 因式; ②若分子或分母是多项式,应先分解因式,再确定公因式,并 约去. 所有公因式 最简分式或者整式 4 5 4.新教材样板题 在整式x,x2-1,x+1中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式,并将这个分式进行化简,再求当x=2时分式的值. 6 知识点三　通分 (1)定义:根据分式的　 　,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式　 　的　 　的分式,叫作分式的通分;  (2)最简公分母:分式的通分,关键是确定几个分式的公分母,一般取各分母的　 　的　 　的积作公分母,它叫作最简公分母.  相等 基本性质 同分母 所有因式 最高次幂 7 【归纳总结】 确定最简公分母的一般方法:①若各分母是单项式,最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和单独出现的字母及其指数的乘积; ②若各分母中有多项式,一般要先分解因式,再按照分母都是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 8 12a2 12a2b2c2　 9 3a2bc 2(x+3)(x-3) 10 11 12 精评价　层级演练 02 基础巩固 9.(2025珠海斗门区期末)下列分式是最简分式的是( ) D 13 A 14 1 -1 15 12.写出两个分式,使得它们的最简公分母为6a2b,且其中一个分式的分母不含字母a. 16 能力进阶 17 18 谢谢观赏！ 19 1.典例 (2025汕头潮阳区期末)下列各式中是最简分式的是( ) A. B. C. D. 2.指出下列分式中的最简分式:,,,. 解:∵=,=, ∴最简分式有,. 3.典例 化简下列分式: (1);(2). 解:(1)==. (2) ==. 解:==x-1. 把x=2代入上式,得原式=1(答案不唯一). 5.典例 填空: (1)分式,的最简公分母是　 　;  (2)分式,,的最简公分母是　 　. 6.填空: (1)分式,-的最简公分母是　 　;  (2)分式,,的最简公分母是　 　. 7.典例 将分式与-进行通分. 解:最简公分母是a2b2, =, -=-. 8.将分式与进行通分. 解:最简公分母是x(x+y)(x-y). ==, ==. A. B. C. D. 10.化简的结果为( ) A. B. C.-1 D.2x-1 11.约分: (1)=　 　;(2)=　 　;  (3)=　　 ;(4)=　　 .  　 　 解:根据题意,两个分式可以为 和. 本题答案不唯一. 13.求下列各式的最简公分母,并通分. -,,. 解:∵-=-,=,=, ∴-,,的最简公分母为 4(x+1)2(x-2),通分后为-,,. 14.若+=3,求的值. 解:∵+=3,∴=3.∴b+a=3ab. ∴===. $$第9课时　整数指数幂(2)——科学记数法 学新知　知识导学 01 知识点一　科学记数法 一般地,小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数. 【归纳总结】 对于大于-1的负数也可以用科学记数法表 示,其方法是先用科学记数法表示出它的相反数,再在 结果前加“-”号即可. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 用科学记数法表示下列各数: (1)0.000 056 7=　 　;  (2)-0.000 000 709=　 　;  (3)0.000 013 14=　 　;  (4)-0.003 008=　 　.  5.67×10-5 -7.09×10-7 1.314×10-5 -3.008×10-3 2 2.用科学记数法表示下列各数: (1)0.000 138=　 　;  (2)-0.000 702=　 　;  (3)0.000 008 09=　 　;  (4)-0.000 000 802=　 　.  1.38×10-4 -7.02×10-4 8.09×10-6 -8.02×10-7 3 知识点二　将科学记数法表示的数还原 把形式为a×10-n(1≤a<10,n为正整数)的数还原成小数时,只需把a的小数点向左移动n位即可. 4 3.典例 用小数表示下列各数: (1)2.5×10-4;(2)-5.03×10-5. 解:(1)2.5×10-4=0.000 25. (2)-5.03×10-5=-0.000 050 3. 5 4.用小数表示下列各数: (1)2.6×10-5;(2)3.79×10-8. 解:(1)2.6×10-5=0.000 026. (2)3.79×10-8=0.000 000 037 9. 6 知识点三　科学记数法的相关运算 5.典例 计算(结果用科学记数法表示): (1)(3×10-3)×(9×10-6); (2)(2.3×10-6)÷(-5×108). 解:(1)(3×10-3)×(9×10-6)=27×10-9=2.7×10-8. 7 6.计算(结果用科学记数法表示): (1)(-6×107)×(2×10-5); (2)(4×10-12)÷(8×10-7). 解:(1)(-6×107)×(2×10-5)=-12×102=-1.2×103. (2)(4×10-12)÷(8×10-7)=0.5×10-5=5×10-6. 8 知识点四　科学记数法与实际问题 7.典例 研究发现,一个水分子的质量大约是 3×10-26 kg,则 9 g水中大约有多少个水分子? 解:9×10-3÷(3×10-26)=3×1023(个). 答:9 g水中大约有3×1023个水分子. 9 8.用激光测距仪测量两座山峰之间的距离,从一座山峰发出的激光经过4×10-5 s到达另一座山峰,已知光速为3×108 m/s,则两座山峰的距离为多少米?(用科学记数法表示) 解:4×10-5×3×108=1.2×104(m). 答:两座山峰的距离为1.2×104 m. 10 9.“世上所传枯枝牡丹,淮南便仓最多.”千年古镇便仓的枯枝牡丹闻名遐迩.牡丹花的花粉直径约为0.000 035 m,将数据0.000 035用科学记数法表示为( ) A.3.5-5 B.10×3.5-5 C.0.35×10-4 D.3.5×10-5 精评价　层级演练 02 基础巩固 D 11 10.跨学科融合 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料,在循环使用中实现了零碳排放.甲醇的密度很小,1 cm3甲醇的质量约为0.000 79 kg,将 0.000 79用科学记数法表示应为( ) A.79×10-4 B.7.9×10-4 C.79×10-5 D.0.79×10-3 B 12 11.跨学科融合 (2025广州荔湾区期末)在显微镜下,有一种细胞形状可以近似地看成圆形,它的半径约为0.000 000 78 m,这个数用科学记数法表示为7.8×10n,则n的值为( ) A.7 B.6 C.-7 D.-6 12.(2025广州黄埔区期末)红细胞是血液中数量最多的一种血细 胞,主要负责运输氧气和二氧化碳,人的红细胞的直径大约在 0.000 007 m左右.数据0.000 007用科学记数法表示为　 　. C 7×10-6 13 13.(2025珠海香洲区期末)在制作酸奶的实验中,某种球状乳酸菌的直径仅为 0.6 μm(1 m=106 μm),将0.6 μm用科学记数法表示为( ) A.0.6×10-7 m B.6×10-7 m C.0.6×10-6 m D.6×10-5 m 能力进阶 B 14 14.(2024南京)水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.一个氢原子的质量约为1.674×10-27 kg,一个氧原子的质量约为2.657×10-26 kg,一个水分子的质量大约是( ) A.3.613 7×10-25 kg B.2.824 4×10-26 kg C.2.991 8×10-26 kg D.3.613 7×10-27 kg C 15 15.下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数? (1)2×10-3; (2)-2.4×105; (3)3.0×10-4. 解:(1)2×10-3=0.002. (2)-2.4×105=-240 000. (3)3.0×10-4=0.000 3. 16 16.已知1 cm3的氢气的质量用科学记数法表示约为9×10-5 g,一块橡皮的质量为45 g. (1)用小数表示1 cm3的氢气质量; (2)这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的多少倍? 解:(1)9×10-5=0.000 09, 即1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g. (2)45÷(9×10-5)=5×105, 即这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍. 17 谢谢观赏！ 18 (2)(2.3×10-6)÷(-5×108)=-×10-6××10-8=-×10-14= -4.6×10-15. $$专题聚焦十一 提升 |根据分式方程解的情况求字母的值(取值范围) 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 4 5 6 解:方程两边同时乘x-1,得 1-m-(x-1)=-2, 解得x=4-m. ∵x为正数,∴4-m>0,解得m<4, ∵x≠1,∴4-m≠1,即m≠3, ∴m的取值范围是m<4且m≠3. 7 8 解:去分母,得2(x-2)+1-kx=-1,∴(2-k)x=2, ∴当2-k=0或x-2=0时分式方程无解, 当2-k=0时,解得k=2, 当x-2=0,即x=2时, 可得(2-k)×2=2,解得k=1. ∴当k=2或k=1时,分式方程无解. 9 10 11 谢谢观赏！ 12 类型一　利用分式方程解的定义求字母的值 1.当a为何值时,关于x的方程=的根是1? 解:方程两边都乘4(a-x)得, 4(2ax+3)=5(a-x), ∵方程的根是1, ∴4(2a+3)=5(a-1), 解得a=-. 2.有位同学解关于x的分式方程+3=的过程中,去分母时因漏乘了3这一项,得到方程的解为5,求a的值,并正确求解原方程. 解:根据题意,得x=5是方程a+3=x-1的解, 把x=5代入,得a+3=5-1,得a=1. 把a=1代入到原方程中得+3=, 整理,得1+3(x-2)=x-1,解得x=2. 当x=2时,x-2=0, 所以原分式方程无解. 类型二　利用分式方程同解求字母的值 3.已知关于x的方程=与方程-=0的解相同,求m2-2m的值. 解:-=0,3(x-1)-2x=0, 解得x=3, 检验:当x=3时,2x(x-1)≠0, ∴x=3是原方程的根, 把x=3代入=中,可得 =, 解得m=, ∴m2-2m=-=-. ∴m2-2m的值为-. 4.方程-1=的根与方程-=0的根互为相反数,求a的值. 解:解-=0,得x=2, 经检验:x=2是方程-=0的根. ∵方程-1=的根与方程-=0的根互为相反数, ∴方程-1=的根为x=-2, 把x=-2代入-1=, 得-1=, 解得a=1. 经检验:a=1是-1=的根, ∴a的值为1. 类型三　利用分式方程解的范围求字母的取值范围 5.已知关于x的分式方程-1=的解是正数,求m的取值范围. 6.若关于x的分式方程+=4的解为正整数,则正数m的值为多少? 解:解分式方程,得x=-m+4, ∵x≠3,∴m≠3. ∵分式方程有正整数解, ∴-m+4>0,得m<12,且m>0. ∴正数m的值是6或9. 类型四　利用分式方程无解求字母的值 7.若分式方程2+=无解,求k的值. 类型五　利用分式方程与不等式的结合求字母的值 8.若关于x的不等式组有三个整数解,且关于y的分式方程=-1有整数解,求满足条件的所有整数a的和. 解:解不等式2x-3≤x,得x≤3, 解不等式4x-1>a,得x>, ∴不等式组的解集为<x≤3. ∵不等式组有三个整数解, ∴该不等式组的整数解为1,2,3. ∴0≤<1.∴-1≤a<3. ∵a是整数,∴a=-1,0,1,2. 解分式方程=-1得y=1-a. ∵y≠2,∴a≠-1. ∴满足条件的所有整数a的和是0+1+2=3. $$第2课时　分式的基本性质(1) 学新知　知识导学 01 不变 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 4 5 6 7 精评价　层级演练 02 基础巩固 B 8 D 9 A 10 11 能力进阶 D 12 D 13 14 15 谢谢观赏！ 16 知识点一　分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值 　 　.  上述性质用式子表示为=　 　,=　 .其中A,B,C(C≠0)是整式. 【归纳总结】 (1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)” 运算; (2)乘(或除以)的对象必须是同一个不等于0的整式. 　 　 1.典例 在下面的括号内填上适当的整式,使等式成立. (1)=(y≠0); (2)=; (3)=; (4)=. 2.在下面的括号内填上适当的整式,使等式成立. (1)=; (2)=; (3)=; (4)=. 3.典例 教材P142练习T3变式 不改变分式的值,把分式的分子和分母中的各项系数化为整数. 解:= =. 4.不改变分式的值,把分式的分子和分母中的各项系数化为整数. 解:==. 　 知识点二　分式变号法则 5.典例 新教材样板题 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”: (1)=　　 ;　　 (2)=　　 ;  (3)=　　 ; (4)-=　　 .  　 - - - 6.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”. (1)=　　 ;  (2)-=　　 ;  (3)-=　　 ;  (4)-=　　 . - 　 7.(2025广州黄埔区期末)根据分式的基本性质,分式可变形为( ) A. B. C. D. 8.(2025广州天河区期末)下列各式从左到右的变形一定正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 9.若把分式中x和y的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A.扩大为原来的2倍 　B.缩小为原来的 C.缩小为原来的 　D.扩大为原来的4倍 10.在括号内填上适当的整式: (1)=; (2)=; (3)=. 11.若根据分式的基本性质=,则 M为( ) A.a2-2 B.2a-1 C.2a-2 D.a2-2a 12.不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数均为正数,正确的是( ) A. B. C. D. (4)-=. 13.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号. (1);　(2);　(3);　(4)-. 解:(1)=-. (2)=. (3)=-. 14.不改变分式的值,把分式的分子、分母中各项的系数化为整数. 解:==. $$知识点一　分式的混合运算 分式的混合运算,先算　 　,再算　 　,最后算　 　.  乘除 第7课时　分式的加法与减法(2)——分式的混合运算 学新知　知识导学 01 乘方 加减 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 知识点二　分式的化简求值 根据分式的运算法则先将算式化简,再将字母的值代入求解. 4 5 6 知识点三　分式混合运算的实际应用 5.典例 教材P154例4变式 甲、乙两个家庭先后两次去同一家粮店购买大米.两次大米的售价有变化,且两个家庭的购买方式也不同,其中甲家庭每次总是买20 kg大米,而乙家庭每次均花费 20元,粮店也按价计算卖给乙家庭.设前后两次的米价分别是每千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n),请问谁的购买方式合算? 7 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 C B 9 10 11 能力进阶 A 12 13 14 13.新教材样板题 临近春节,甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年,租金为3 000元.出发时,乙厂有3名同乡员工也随车返乡(车费自付),总人数达到x名.如果包车租金不变,那么甲厂为每位员工平均每人支付车费比原来少多少元? 15 谢谢观赏！ 16 1.典例 计算(-)2·-÷. 解:(-)2·-÷ =·-·=- =-=-. 2.计算(a+1-)÷. 解:(a+1-)÷=· =. 3.典例 (2025潮州潮安区期末)先化简,再求值:(1-)÷,其中m=-. 解:(1-)÷=÷ =· =. 当m=-时,原式==. 4.先化简,再求值:(1-)÷,其中|a+1|+(b-4)2=0. 解:(1-)÷=·=. ∵|a+1|+(b-4)2=0,∴a=-1,b=4. ∴原式==-. 解:甲的平均单价为每千克=元, 乙的平均单价为每千克=元,-=. ∵m+n>0,m≠n,∴(m-n)2>0,∴>0,所以乙家庭合算. 6.化简÷(a-)的结果是( ) A.a+b B.a-b C. D. 7.化简·+的结果是( ) A.0 B.1 C.a D.a-1 8.计算(-1)÷. 解:(-1)÷=· =· =. 9.计算()2÷-. 解:()2÷- =·-=- ==. 10.(1)已知x2-x-1=0,计算(-)÷的值是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)(2024绥化)化简÷(x-)=　　 . 　 11.计算(-)÷(1-). 解:(-)÷(1-) =[-]· =· =· =· =. 12.先化简,再求值:(-)÷,其中x满足x2-2x-4=0. 解:(-)÷ =[-]· =· =. ∵x2-2x-4=0,∴x2-2x=4. ∴原式==. 解:由题意,可得甲厂原来为每位员工支付元, 乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂为每位员工支付元, 甲厂为员工支付的人均车费比原来少-=元. $$第6课时　分式的加法与减法(1)——分式的加减 学新知　知识导学 01 不变 相加减 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 通分 同分母 加减 3 4 5 6 7 精评价　层级演练 02 基础巩固 C A 8 D 9 10 11 能力进阶 D 12 13 14 谢谢观赏！ 15 知识点一　同分母分式的加减 同分母分式相加减,分母　 　,把分子　 　.  用式子表示为±=　　 . 【归纳总结】 同分母分式相加减的一般步骤: ①分母不变,把分子相加减.若分子是多项式,则添加括号后 相加减;②分子去括号,合并同类项;③把结果化成最简 分式或整式. 　 1.典例 计算: (1)-;(2)-;(3)-. 解:(1)-==1. (2)-=. (3)-== =2(x+y)=2x+2y. 知识点二　异分母分式的加减 异分母分式相加减,先　 　,变为　 　的分式,再　 　. 用式子表示为±=　± =　 　.  【归纳总结】 异分母分式相加减的一般步骤:①找出各分式的最简公分母,将各分式进行通分,化为同分母分式;②按同分母 分式相加减的一般步骤进行计算. 　 2.典例 计算: (1)-;(2)-. 解:(1)-=-=-. (2)-=-==. 3.计算: (1)+;(2)+. 解:(1)+=-==1. (2)+=-==-1. 知识点三　分式与整式相加减 4.典例 计算: (1)+1;(2)1-. 解:(1)+1=+=. (2)1-=-=. 5.计算: (1)x+;(2)-a+1. 解:(1)x+==. (2)-a+1=-=. 6.计算+的结果等于( ) A. B.a C.1 D. 7.化简+的结果为( ) A. B. C. D. 8.如图所示,一个正确的运算过程+■=被盖住了一部分,则被盖住的是( ) A. B. C.2 D.1 　 9.计算: (1)+=　 　;  (2)-=　 　;  (3)-=　 　;  (4)+=　　 . 　 　 　 10.计算+=　　 . 11.计算-2+a=　　 . 　 　 12.已知a>1,P=,Q=,R=,则P,Q,R的大小关系是( ) A.R>P>Q B.P>Q>R C.R>Q>P D.P>R>Q 13.已知2a-2b=ab,则-的值等于　 . - 14.新教材样板题 观察下面的变形规律,解答下列问题:=1- ,=-,=-,=-;… (1)若n为正整数,猜想=　　 ;  　- (2)根据上面的结论计算+++…+. 解:(2)+++…+ =+-+-+…+- =- ==. $$第十八章　分式 第1课时　从分数到分式 学新知　知识导学 01 字母 A B 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 整式 字母 2 3 B≠0 B=0 4 x≠3 x≠1 5 D 6 知识点三　分式为0的条件 当分式的分子为　 　,而分母不为　 　时,分式的值为0.  0 0 7 A D 8 知识点四　由实际问题抽象出分式 根据实际问题中的数量关系列出分式. 6.典例 春节游云浮,寻根溯源,品味地道年味!现有游客m人到云浮游玩,需要住宿,共有 n个大小相同的房间,结果还有1个 人无房住,则每间房可住的人数为　 　.  7.某校组织了师生共a人去荷花荡景区游玩,已知租用的观光车每辆可乘坐b人,师生全部上车后还剩一个位置,由此可 知租用的观光车的辆数为　　 .  9 精评价　层级演练 02 基础巩固 8.(2025湛江期末)下列式子是分式的是( ) B D 10 解:(1)由题意,得1-|x|=0且x-1≠0,解得x=-1. 答:当x=-1时,分式的值为零. (2)由题意,得2x+6=0且x2+6x+9≠0, 所以无论x取什么值,分式的值都不为零. 11 (2)由题意,得该式的值为正数时,1+m>0, ∴m>-1. 12 能力进阶 13.根据题意,列出代数式: 有两块棉田,第一块x公顷,收棉花 m kg,第二块y公顷,收棉花 n kg,这两块棉田平均每公顷的棉产量是　 　kg.  -1 13 14 谢谢观赏！ 15 知识点一　分式的概念 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有　 　,那么式子叫作分式.在分式中,　 　叫作分子,　 　叫作分母.如:,,都是分式.  【归纳总结】 一个式子是分式,需要满足的条件:①形如的式子;②A,B为　 　;③分母B中含有　 　.  1.典例 下列式子,,x2y,,-,,-,,4a,,中,哪些是整式?哪些是分式? 解:整式为,x2y,,-,,4a. 分式为,,-,,. 知识点二　分式有意义的条件 分式有意义⇔　 　;分式无意义⇔　 　. 2.典例 (1)要使分式有意义,则x的取值范围是　 　. (2)若分式有意义,则x的取值范围是　 　. 3.(1)下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是( ) A. B. C. D. (2)当x=　 　时,分式无意义. 　 4.典例 (2025东莞期末)若分式的值为0,则x的值为( ) A.x=-1 B.x=1 C.x≠1 D.x=±1 5.(2025汕头金平区期末)若分式的值为0,则x的值为( ) A.±2 B.0 C.-2 D.2 　 　 A. B. C.+y D. 9.(2025广州黄埔区期末)要使分式有意义,x应满足的条件是( ) A.x>3 B.x=3 C.x<3 D.x≠3 10.当x取什么值时,下列分式的值为零? (1); (2). 11.已知:代数式. (1)当m为何值时,该式无意义? (2)若该式的值为正数,求m的取值范围. 解:(1)∵代数式无意义, ∴m+1=0,∴m=-1. 12.已知当x=1时,分式-无意义;当 x=4时,分式的值为0,则a+b的值为　 　.  　 14.求当x取何值时,分式: (1)有意义?　　(2)无意义?　　(3)分式的值为零? 解:(1)∵分式有意义,则分母不能为0,∴x-2≠0且x+ 3≠0,∴x≠2且x≠-3. (2)∵分式无意义,则分母为0,∴x-2=0或x+3=0, ∴x=2或x=-3. (3)∵分式的值为零,则分子为0,分母不为0, ∴x-4=0,且x≠2,x≠-3,解得x=4. $$第4课时　分式的乘法与除法(1)——分式的乘除 学新知　知识导学 01 积 积 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) -4-a　 2 颠倒位置 相乘 3 【归纳总结】 4 5 知识点三　分式乘除的实际应用 3.典例 教材P147例3变式 (1)根据图(1)中阴影部分的面积写出一个公式:　 　.  x2-2xy+y2=(x-y)2 6 (2)图(2)是两块试验田,A种小麦的试验田是边长分别为a m, b m的两个正方形,B种小麦的试验田是边长分别为a m,2b m的长方形(a≠b),两块试验田的小麦都收获了500 kg.哪种小麦的单位面积产量高(请说明理由)?高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 7 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 C 9 D 10 9a2 -6xzy2 11 12 能力进阶 13 (2)嘉琪认为当x=4时,原分式的值等于1,你同意嘉琪的说法 吗?如果不同意,请说明理由? 14 9.跨学科融合 荔枝是一种南亚热带水果,盛产于我国广东、福建一带的南方地区.据史书记载,唐宋时期四川地区荔枝种植比较广泛,其中合江县是我国最北的荔枝产地.有甲、乙两筐荔枝,甲筐荔枝重(x-1)2 kg,乙筐荔枝重(x2-1)kg(其中x>1),售完后,两筐荔枝都卖了50元. 15 (1)哪筐荔枝的单价低? 16 (2)高的单价是低的单价的多少倍? 17 谢谢观赏！ 18 知识点一　分式的乘法 乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为　 　的分子,分母的积作为　 　的分母.用式子表示为·=　　 . 　 1.典例 计算: (1)·=　 　; (2)·=　　 ; (3)(a-4)·=　 　. 　 　 知识点二　分式的除法 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母　 　后,与被除式　 　.  用式子表示为÷=·=　　 .  　　 2.典例 计算:(1)÷2x2y;(2)÷; (3)(2024扬州)÷(x-2). 解:(1)÷2x2y=·==. (2)÷=-×=-. (3)÷(x-2)=×=. 解:(2)B种小麦单位面积产量高,理由如下:A种小麦单位面积产量为 kg,B种小麦单位面积产量为 kg, ∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-2ab+b2>0, 即a2+b2>2ab. ∴<. ∴B种小麦单位面积产量高. ÷=·=. ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍. 4.化简·的结果为( ) A. B. C. D. 5.使式子÷有意义的x的值是( ) A.x≠3且x≠-5 B.x≠3且x≠4 C.x≠4且 x≠-5 D.x≠3且x≠4且x≠-5 6.填空: (1)·=　 　;  (2)·=　 　;  (3)-8z2·=　 　;  (4)3ab÷=3ab·　　 =　 　. 　b 　 　 7.计算: (1)3ab2÷;(2)·. 解:(1)3ab2÷=3ab2·=. (2)·=·=. 8.嘉琪准备完成一道填空题:化简÷的结果为　　　　. 其中一部分被墨水污染了,若该题化简的结果为. (1)求被墨水污染的部分. 解:(1)设被墨水污染的部分是A, 则÷=·=, 解得A=x-4. 解:(2)不同意,理由如下: 若=1,则x=4. 由原题可知,当x=4时,x-4=0,原分式无意义,所以x≠4. 解:(1)甲筐荔枝的单价为元/kg, 乙筐荔枝的单价为元/kg, ∵x>1,∴(x-1)2<x2-1, ∴>. 所以乙筐荔枝的单价低. 解:(2)÷=·=, 所以高的单价是低的单价的倍. $$专题聚焦十 加强 |分式的化简求值 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵x-2≠0且x+2≠0且x≠0, ∴x可以取1, 当x=1时,原式=3×1=3.(答案不唯一) 13 14 15 16 17 谢谢观赏！ 18 类型一　字母是指定的数 1.(2025潮州湘桥区期末)先化简,再求值:(-)÷,其中a=2. 解:(-)÷ =(+)÷ =× =a+1. 当a=2时,原式=2+1=3. 2.(2025阳江江城区期末)先化简,再求值:·+.其中x=-1,y=2. 解:·+=·+ =+ =. 当x=-1,y=2时,原式==-. 3.先化简,再求值:()2·÷()2,其中|x-4|+(y-9)2=0. 解:()2·÷()2 =·· =. ∵|x-4|+(y-9)2=0,∴x-4=0,y-9=0. ∴x=4,y=9. ∴原式==. 类型二　字母取值满足方程(组)或不等式(组) 4.先化简,再求值:÷(a+2+),其中a为不大于3的正整数. 解:÷(a+2+) =÷(-) =÷ =· =. ∵a为不大于3的正整数,a≠2,a≠3,∴a=1, ∴原式==-. 5.(2025上海静安区期中)先化简,再求值:÷(-x+1),请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入 求值. 解: 解不等式①,得x≤2, 解不等式②,得x>-1, ∴不等式组的解集为-1<x≤2. ∴不等式组的整数解为0,1,2. ÷(-x+1) =÷[-] =÷ =· =· =. ∵x+1≠0,≠0, ∴x≠-1,x≠±2, 当x=1时,原式==. (或“当x=0时,原式==1”) 6.先化简,再求值:÷(-a-2b)-,其中a,b满足 解:÷(-a-2b)- =÷- =·- =- = =-. ∵∴ ∴原式=-=-. 解:(+)÷=· =·=3x. 类型三　选择合适的使分式有意义的数 7.(2025广州花都区期末)先化简(+)÷,然后选择一个合适的数代入求值. 解:÷- =·- 8.(2025上海长宁区期末)先化简÷-,再在-2,-1,0, 1,2中选取一个合适的x的值代入,求出代数式的值. =- = = =. ∵当x=-2,0,2或-1时,原分式无意义,∴x=1. 当x=1时,原式==. 解:(-)÷ =[-]÷ =·(x+1)(x-1) =x2-3x-2. ∵x2-3x-4=0,∴x2-3x=4. ∴原式=4-2=2. 类型四　整体代入式子求值 9.先化简,再求值:(-)÷,其中x满足x2-3x-4=0. 解:·(-1)÷ =··(y+x)(y-x) =x-y. ∵x=y+2 024,∴原式=y+2 024-y=2 024. 10.先化简,再求值:·(-1)÷,其中x=y+2 024. $$第10课时　分式方程及其解法 学新知　知识导学 01 知识点一　分式方程的概念 定义:　 　中含有未知数的方程叫作分式方程.  【归纳总结】 分式方程的重要特征:①是方程;②分母中含有未知数.二者缺一不可. 分母 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) B ②③ 2 知识点二　分式方程的解法 3 解:原方程去分母,得x=2x-1+3, 移项,合并同类项,得-x=2, 系数化为1,得x=-2, 检验:将x=-2代入2x-1,得-4-1=-5≠0, 故原方程的解为x=-2. 4 解:原方程去分母,得2(1-x)=x-(2x-6), 去括号,得2-2x=x-2x+6, 移项,得-2x-x+2x=6-2, 合并同类项,得-x=4, 系数化为1,得x=-4, 检验,当x=-4时,2x-6≠0. ∴x=-4是原分式方程的解. 5 5.下列方程中,不是分式方程的是( ) 精评价　层级演练 02 基础巩固 A 6 C 7 D 8 D 9 解:原方程两边同时乘(x-2)(x+2), 得 x(x+2)-(x-2)=(x-2)(x+2), 整理得x+2=-4,解得x=-6. 检验:当x=-6时,(x-2)(x+2)≠0, 故原方程的解是x=-6. 10 解:方程两边同时乘(x-1)(x+2), 得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 即x2+2x-x2-x+2=3. 整理,得x=1. 检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0, ∴原方程无解. 11 A.1 B.-1 C.-2 D.-3 能力进阶 C 12 A.m<-1 B.m>-1且m≠0 C.m>-1 D.m<-1且m≠-2 D 13 解:去分母,得x-2+4x=2(x+2), 去括号,得x-2+4x=2x+4, 移项,合并同类项,得3x=6, ∴x=2. 检验:当x=2时,x2-4=0, 故原方程无实数解. 14 解:由原方程,得3-2x+x-3=ax+12, 整理,得(a+1)x=-12. 当整式方程无解时,a+1=0即a=-1; 当整式方程有解,分式方程无解时,x=3,且a+1≠0,即a=-5.所以a=-1或-5时,原方程无解. 15 谢谢观赏！ 16 1.典例 下列方程属于分式方程的是( ) A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x-3=0 D.-x=1 2.下列方程中,是分式方程的有　 　(填序号).  ①+x=;②=3;③=;④-2x=. 3.典例 (2025珠海香洲区期末)解分式方程=1+. 4.(2025湛江廉江市期末)解方程=-1. A.= B.x+=2 C.-5x= D.=7 6.(2025广州白云区期末)解分式方程=时,将方程两边同时乘同一个整式,会得到一个一元一次方程,这个整式是( ) A.x B.x+1 C.x(x+1) D.x(x-1) 7.(2025中山期末)解分式方程-3=时,去分母正确的是( ) A.2x-3=3x-1 B.2x-3(x-2)=3x-1 C.2x-3(x-2)=-3x-1 D.2x-3(x-2)=-3x+1 8.(2024广东)方程=的解是( ) A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 9.(2025云浮罗定市期末)解分式方程-=1. 10.解方程-1=. 11.分式与互为相反数,则x的值为( ) 12.如果关于x的分式方程=1的解是负数,那么实数m的取值范围是( ) 13.解分式方程+=. 14.已知关于x的方程+1=无解,求a的值. $$第11课时　分式方程的实际应用(1)——工程问题 学新知　知识导学 01 知识点:工程问题 列分式方程常用的等量关系:工作量=工作效率×工作时间;工作总量=各工作量之和. 【归纳总结】 工程问题中,当工作总量没有给出时,一般将工作总量记为1.利用“工作总量=工作效率×工作时间”和题 目中的等量关系列方程求解. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 类型一　分式A=分式B 1.典例 新教材样板题 甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 2 2.某化肥厂由于采取了新技术,每天比原计划多生产化肥3 t,实际生产180 t与原计划生产120 t的时间相等,那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨? 3 类型二　分式A-分式B=常数 3.典例 传统文化 敦煌研究院推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3 000个“伽瑶”玩偶摆件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务,问原计划平均每天制作多少个摆件? 4 5 4.2025年新春佳节,某街道喜庆的大红灯笼随处可见,陈老师和家人站在街道上,凭栏赏景:“红红火火的大灯笼,看着真是让人喜气洋洋!”据悉:该街道计划挂1 200个大红灯笼,由于临近春节工作人员热情高涨,实际每天挂的灯笼数量比原计划每天挂的灯笼数量多20%,结果提前一天完成任务,原计划每天挂多少个灯笼? 6 7 类型三　分式A+分式B=常数 5.典例 为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送,两车各运6趟可完成.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾,乙车所运趟数是甲车的 2倍.甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟? 8 9 6.某机器人完成一项数据处理任务,常规模式下每小时处理的数据量固定.若先用常规模式工作5 h后,切换到加速模式继续工作 8 h,刚好完成任务.若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多25%,求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时? 10 11 7.甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件,可列方程为( ) 精评价　层级演练 02 基础巩固 D 12 8.(2024山东)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改 造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( ) A.200 B.300 C.400 D.500 B 13 9.某工程队修建一条长1 200 m的道路,采用新的施工方式,工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务. (1)那么这个工程队原计划每天修道路多少米? 能力进阶 14 (2)在这项工程中,如果要求工程队提前4天完成任务,那么实际的工作效率比原计划增加百分之几? 15 谢谢观赏！ 16 解:设乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+6)个零件.根据题意,得 =.解得x=12. 经检验,x=12是原方程的解,且符合题意. 则x+6=18. 答:甲每小时做18个零件,乙每小时做12个零件. 解:设该化肥厂原计划每天生产化肥x t,则实际每天生产(x+3)t, 由题意,得=,解得x=6. 经检验:x=6是原方程的解. 答:该化肥厂原计划每天生产化肥6 t. 解:设原计划平均每天制作x个摆件, 根据题意,得-=5, 解得x=200. 经检验,x=200是原方程的根,且符合题意, 答:原计划平均每天制作200个摆件. 解:设原计划每天挂x个灯笼,由题意得 -=1, 解得x=200, 经检验,x=200是所列方程的解,且符合实际意义. 答:原计划每天挂200个灯笼. 解:设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟,则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟,根据题意,得 +=,解得x=9, 经检验,得出x=9是原方程的解,∴2x=18. 答:甲车单独运完需9趟,乙车单独运完需18趟. 解:设常规模式下单独完成整个任务需x h, 依题意,得+·(1+25%)=1, 解得x=15 经检验,x=15适合原方程且满足题意. 答:常规模式下单独完成整个任务需15 h. A.-=30 B.-=30 C.-= D.-= 解:(1)设这个工程队原计划每天修道路 x m,由题意,得- =2,解得x=100. 经检验,x=100是原分式方程的解,且符合题意. 答:这个工程队原计划每天修道路100 m. 解:(2)设这个工程队实际每天修道路y m, 由题意,得-=4,解得y=150. 经检验,y=150是原分式方程的解,且符合题意,则(150-100)÷100×100%=50%. 答:实际的工作效率比原计划增加50%. $$第8课时　整数指数幂(1) 学新知　知识导学 01 知识点一　负整数指数幂 一般地,当n是正整数时,a-n=　 　(a≠0),这就是说a-n(a≠0)是an的倒数. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 16 2 3 B 4 5 5.典例 计算:(1)(a-1b2c-3)2 ; (2)(a-4b3)2÷(a-2b)-2. 6 6.计算(-4a-3b-2c2)2÷(2ab-2)3. 7 精评价　层级演练 02 基础巩固 D B 8 9.下列计算正确的是( ) A.(-1)0=0 B.(-1)-1=1 C.1-1=-1 D.(-1)-1=-1 10.(a-2b-3)-2的值为( ) A.a-4b-6 B.a4b-3 C.a4b6 D.a-4b6 D C 9 11.计算: (1)(3a3bc-1)2·(2a-1b-2)3; 10 (2)(x3y)-2·(2x-2y-3)-2. 11 12.计算下列各式,且把结果化为只含有正整数指数的形式: (1)(x-2)-3(yz-1)3; (2)a2b3(2a-1b)3; (3)(3a3b2c-1)-2(5ab-2c3)2. 12 13.若代数式(x-1)0-2(2x-3)-3有意义,则x的取值范围是　 . 　. 14.计算(a-3)2(ab2)-2=　 　. 能力进阶 x≠1 13 14 (2)3a-2b·2ab-3÷(-3ab-1)3. 15 16.计算: (1)(3x2y2z-1)-2·(5xy-2z3)2; 16 17 谢谢观赏！ 18 　 　 　 　 　 　 1.典例 填空: (1)3-2=　　 ;(2)2-3=　　 ;  (3)(-2)-2=　 　;(4)()-1=　 　;  (5)a-3=　　 . 2.填空: (1)(-3)-2=　　 ;(2)(-2)-4=　 　;  (3)(-)-2=　 　;(4)()-1=　 　;  (5)(-a)-2=　 　. 　 　 　 3.典例 (2025东莞期末)计算-12 024+()-2+(3.14-π)0-|-2|. 解:-12 024+()-2+(3.14-π)0-|-2| =-1+4+1-2 =2. 4.(2025汕头澄海区期末)若a=-3-2,b=,c=(-)0,则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 知识点二　整数指数幂 ①am·an=am+n(m,n是正整数);②(am)n=amn(m,n是正整数);③(ab)n= an·bn(n是正整数);④am÷an=am-n(a≠0, m,n是正整数,m>n);⑤=(n是正整数);⑥a0=1(a≠0);⑦a-n=(a≠0);⑧()-n=an(a≠0). 【注意】 以上式子中,m,n均为正整数. 解:(1)(a-1b2c-3)2 =a-2b4c-6=. (2)(a-4b3)2÷(a-2b)-2=a-8b6÷a4b-2 =a-12b8 =. 解:(-4a-3b-2c2)2÷(2ab-2)3 =16a-6b-4c4÷8a3b-6 =2a-9b2c4 =. 7.2-3的相反数是( ) A.-6 B.-8 C. D.- 8.化简[(-2]-3的值为( ) A.-64 B.64 C.- D. 解:(1)(3a3bc-1)2·(2a-1b-2)3 =9a6b2c-2·8a-3·b-6 =72a3b-4c-2 =. 解:(2)(x3y)-2·(2x-2y-3)-2 =x-6y-2··x4y6 =x-2y4 =. 解:(1)(x-2)-3(yz-1)3=x6·y3z-3=. (2)a2b3(2a-1b)3=a2b3·8a-3b3=8a-1b6=. (3)(3a3b2c-1)-2(5ab-2c3)2=a-6b-4c2·25a2b-4c6=a-4b-8c8= . 且x≠　 　 15.计算: (1)|2 023|-+(π-3.14)0-(-)-1; 解:(1)|2 023|-+(π-3.14)0-(-)-1 =2 023-2+1+6=2 028. 解:(2)3a-2b·2ab-3÷(-3ab-1)3 =3a-2b·2ab-3÷(-27a3b-3) =6a-1b-2÷(-27a3b-3) =- =-. 解:(1)(3x2y2z-1)-2·(5xy-2z3)2=()-2·()2=·=. (2)(4x2y)2·(2xyz)-4÷(yz3)-2. 解:(2)(4x2y)2·(2xyz)-4÷(yz3)-2=·÷= ·y2z6=1. $$数学活动 践活动　要点精练 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 4 5 6 7 8 谢谢观赏！ 9 活动1　探究比例的性质 1.找一组不为0的数a,b,c,d(如:a=1,b=2,c=3,d=6),使=成立.(1)将这组数代入下面两组分式中,每组的两个分式的值是否也相等? (1)解:当a=1,b=2,c=3,d=6时, ①==2,==2, 所以= ; ②==-3,==-3, 所以=. (2)请用分式的运算证明上述结论. ①和 ,②和(a≠b,c≠d). (2)证明:∵=,∴1÷=1÷, 即= ; ∵=,∴+1=+1, 即=①, ∵=,∴-1=-1, 即=②, ①÷②,得÷=÷, ∴·=·, 即=. 2.请用分式的运算证明:若=(a,b,c,d均不为0),则=. 证明:∵=,∴等式两边同时乘bd,得·bd=·bd, ∴ad=bc.等式两边同时除以cd,得=,约分得=. 活动2　探究x2+取值的规律 3.填写下表: x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 9 4 2 4 16 16 4 2 4 9 由填写完成的表,你能提出关于x2+的值的一些猜想吗?能证明你提出的猜想吗? 解:由表中的数据可知,当x的值互为相反数时,x2+的值相等. 证明如下: 当x=a时,有x2+=a2+,当x=-a时, 有x2+=(-a)2+= a2+. 即当x的值互为相反数时,x2+相等. 当x≠0时,有x2+≥2. 证明如下: 对于x≠0,有x2+ =x2-2++2=(x-)2+2, ∵(x-)2≥0, ∴x2+≥2. $$第13课时　分式方程的实际应用(3)——销售及其他问题 学新知　知识导学 01 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气.为打造书香校园,某中学计划选购甲、乙两种文学名著,已知甲种书籍每本价格比乙种书籍每本价格多10元,用1 000元单独购买甲种书籍与用 800元单独购买乙种书籍数量相同.甲、乙两种书籍每本价格分别为多少元? 2 3 2.“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚,文房四宝之名起源于南北朝时期,为丰富学生的课后服务活动,某校准备为社团购买A,B两种型号的“文房四宝”,通过市场调研得知:A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多100元,且用22 500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10 000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍.A,B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元? 4 5 知识点二　其他问题 明确问题涉及的数量关系,挖掘隐含条件,依据题目中的数量关系列出方程求解. 6 B 7 D 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 B A.增加的水量 B.蒸发掉的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量 9 6.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济环境影响,电脑价格不断下降.2025年三月份的电脑售价比2024年同期每台降价1 000元,如果卖出相同数量的电脑,2024年三月份销售额为 10万元, 2025年三月份销售额只有 8万元.2025年三月份甲种电脑每台售价多少元? 10 11 7.2025年,新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段,我国已成为全球最大的新能源汽车市场,“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一.下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比: 能力进阶 燃油车 油箱容积:50 L 油价:7.2元/升 续航里程:a km 每千米行驶费用: 元 新能源汽车 电池容量:80千瓦时 电价:0.55元/千瓦时 续航里程:a km 每千米行驶费用: 元 12 若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元,分别求出这两款车每千米行驶的费用. 13 8.“三头一掌”是衢州地方特色美食,其中最具代表性的是鸭头和兔头.在某品牌销售店中,已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元,用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同. (1)求出鸭头和兔头的单价; 14 15 (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元(鸭头和兔头都购买),请写出所有购买方案. 16 谢谢观赏！ 17 知识点一　销售问题 销售问题常用的关系:利润=售价-进价;利润率=×100%;总利润=单件的利润×销售的数量. 解:设乙种书籍每本价格为x元,则甲种书籍每本价格为(x+10)元, 根据题意,得=, 解得x=40. 经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意, ∴x+10=40+10=50(元). 答:甲种书籍每本价格为50元,乙种书籍每本价格为40元. 解:设B种型号“文房四宝”的单价是x元,则A种型号“文房四宝”的单价是(x+100)元, 由题意,得=1.5×,解得x=200, 经检验,x=200是原方程的解,且符合题意, ∴x+100=200+100=300. 答:A种型号“文房四宝”的单价是300元,B种型号“文 房四宝”的单价是200元. 3.典例 跨学科融合 将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列方程为( ) A.0.98×5=0.75x B.=0.75 C.0.75×5=0.98x D.=0.98 4.某同学在学校阅览室借了一本书,共 240页,管理员要求在两周内归还,当他读了这本书的一半时,发现每天要多读5页才能在借期内读完,问前一半他每天读多少页?如果设前一半每天读x页,则下列方程正确的是( ) A.+=14 B.+=14 C.+=1 D.+=14 5.跨学科融合 某实验室的一个容器内盛有150克食盐水,其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×= ,则未知数x表示的意义是( ) 解:设2025年三月份甲种电脑每台售价x元,=, 解得x=4 000. 经检验,x=4 000是原方程的根. 答:甲种电脑2025年三月份每台售价4 000元. 解:依题意,得-0.79=,解得a=400.经检验,a=400是原分式方程的解,且符合题意, 当a=400时,==0.9, ==0.11, 答:燃油车每千米的行驶费为0.9元,新能源汽车每千米的行 驶费为0.11元. 解:(1)设鸭头的单价为x元,则兔头的单价为(23-x)元, 由题意,得=,解得x=8, 经检验,x=8是原方程的解,且符合题意, ∴23-x=15. 答:鸭头的单价为8元,兔头的单价为15元. 解:(2)设购买鸭头m个,兔头n个, 由题意,得8m+15n=320, 整理,得m=40-n,∵m,n均为正整数, ∴或∴有2种购买方案: ①购买鸭头25个,兔头8个; ②购买鸭头10个,兔头16个. $$