精品解析：天津市弘毅中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题

天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期期中测试 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共120分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 平面ABC的一个法向量是 D. 与夹角的余弦值是 3. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 5. 已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 7. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A. B. C. D. 10. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填写在答题纸上. 11. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 12. 已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________ 13. 若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________. 14. 椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为______． 15. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为．”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆的离心率为____________. 三、解答题：本大题共4小题，共60分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 16. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． （1） 求椭圆的方程； （2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期期中测试 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共120分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 2. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 平面ABC的一个法向量是 D. 与夹角的余弦值是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 3. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 将点代入直线方程可得，解得． 则所求直线方程为．故A正确． 【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为． 5. 已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 6. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 7. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得. 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 8. 已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解. 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 9. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量， 利用向量的距离公式，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 即，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中， 要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时， M到直线AG的距离最大， 此时，即， 又 ， 所以半椭圆的方程为 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填写在答题纸上. 11. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法判断直线与平面垂直的条件，可得，从而利用空间向量共线的坐标运算，即可求得，则问题即可求解. 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 12. 已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________ 【答案】： 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，点A在圆上，切线斜率为， 用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=（x-1）， 即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和， 所以，所求面积为 考点：圆的切线方程 13. 若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________. 【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝ 【解析】 【详解】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为. 14. 椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 15. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为．”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有，，令，进而有且，结合已知列椭圆参数的齐次方程求离心率. 【详解】由题设，，令代入椭圆，有， 令，则过该点的切线，即为， 所以，而，故， 所以，则， 即，又，则. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共60分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 16. 已知圆C的方程为 （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【小问1详解】 由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆求交点坐标，再应用弦长公式求弦长. 【小问1详解】 由题设，又为正三角形，则， 所以，则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得，故，， 所以． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：    连接交于点，由底面是正方形，可得， 又因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用中位线平行，证明线面平行即可； (2)利用已知中的垂直关系，再结合勾股定理证明，从而可证明平面，即可得线面角，从而可求其余弦值; (3)利用空间向量法来求法向量，再求两法向量夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由侧棱底面， 底面，所以， 由已知得：，，所以由勾股定理得：， 因为，所以， 再由余弦定理得：， 由于，则可得， 又因为E是的中点，，所以， 又因为侧棱底面， 底面，所以， 又因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即与平面所成的角就是， 所以， 故与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 根据题意可如图建立空间直角坐标系： 则， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 因为平面，所以平面的法向量为 即， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． （1） 求椭圆的方程； （2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值 【答案】（1）,（2） 【解析】 【详解】（1）由,得.再由,解得,由题意可知， 即,解方程组，得,所以椭圆的方程，. （2）由（1）可知点，的坐标是,设点的坐标为,直线的斜率为.则直线的方程为,于是两点的坐标满足方程组,消去并整理，得.由,得.从而. .设线段的中点为，则的坐标为以下分两种情况：①当时,点的坐标是,线段的垂直平分线为轴，于是.由,得. ②当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得,由, 整理得.故.综上,或. 考点：直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.本题第一问主要就是利用方程的思想，根据题意列出方程组，即可求得椭圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $