第24章 一元二次方程单元测验2025-2026学年冀教版九年级数学上册

一元二次方程单元测验 考试范围：一元二次方程；考试时间：90分钟；满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．先移项得到，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．  【解答】 解：， ，即， ，或， ，． 故选D． 3.若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由一元二次方程的定义可知，“”可以是， 故选：． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4.用配方法解方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查配方法解一元二次方程．把原方程的常数项移到等号右边，左边配方即可． 【解答】 解：移项得，， 配方得，， 分解因式得，， 故选A． 5.如果是一元二次方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：． 6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值     A.   B.   C.  且 D.  且 【答案】C  【解析】关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根， 则，且， 解得： 且    ． 故选C． 7.电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于的一元二次方程．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 8.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【解答】 解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选B． 9.某品牌童装调查发现，童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了增加盈利，调查发现每件童装降低元，平均每天可以多售出件，要想使平均每天盈利元，那么每件应降价多少元设每天降价为元，则可列方程 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，能根据题中的等量关系列出方程解答分析题意，设每天降价为元，根据已知条件可表示出每天的销售量，再根据每天获得的利润销售量总利润，就可列出方程，得出答案． 【解答】 解：设每天降价为元，那么每天的销售量为件， 根据题意，可得， 故选B． 10.已知和是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 11.已知一个三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为(    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形 【答案】C  【解析】解：将原方程分解因式得， 解得：，， 一个三角形两边的长是和， 第三边， 三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：． 先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键． 12.王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B  【解析】解：， ， 则，即， ， ，， 错误的是乙， 故选：． 一次项移到方程的左边，两边都加上配成完全平方式，然后开平方即可得出答案． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.写出一个一元二次方程，使其有一个根为，并且二次项系数也为，方程为___________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义根据一元二次方程的解的定义，只要所写的方程满足有一个根为，并且二次项系数为就可以． 【解答】 解：一元二次方程的一般形式为，二次项系数为，即， 并且一个根也为，即可得一元二次方程． 故答案为． 14.若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】  【解析】解：，是方程的两个实数根，则有． 是方程的根，得，即：． 所以． 故答案为：． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则，而，即可求解． 本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题． 15.已知实数满足，则________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程正确利用换元法、因式分解法是解决本题的关键． 首先假设，得出方程等于，进而求出即可． 【解答】 解：假设，得出方程等于， ， ，， 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； ． 16.为了配合新型冠状病毒的防控工作，某药店将某药品经连续两次降价后，售价变为原来的若两次降价的百分率相同，则该药品每次降价的百分率为        ． 【答案】  【解析】解：设每次降价的百分率为，原售价为元， 由题意可知：， 或舍去， 故答案为：． 设每次降价的百分率为，原售价为元，根据题意列出方程即可求出答案． 本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：； ． 【答案】，；   ．  【解析】， ， 则或， 解得，； ， ， 则， 解得． 左边利用提公因式法因式分解，再进一步求解即可； 左边利用完全平方公式因式分解，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.本小题分 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ，第三步 嘉嘉是用        填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第        步开始出现错误； 请你用不同于中的方法解该方程． 【答案】配方法，二； ， ， 则或， 解得，．  【解析】解：嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误； 故答案为：配方法，二； ， ， 则或， 解得，． 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可； 利用十字相乘将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求的取值范围； 如果是满足条件的最大整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 的取值范围是； 当时的最大整数值是， 关于的方程是， 解得：， 方程一根的相反数是一元二次方程的一个根， 当时，， 解得：， 故的值为．   【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式解题的关键是根据方程有实数根，求出的值；一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 根据关于的一元二次方程有实数根，得出，即可求出的取值范围； 先求出的值，再代入方程，求出的值，再把的值的相反数代入，即可求出的值． 20.本小题分 已知． 化简； 若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)T＝(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2＝a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2＝6a2+6ab  (2)∵关于x的方程x2+2ax-ab+1＝0有两个相等的实数根，∴(2a)2-4(-ab+1)＝0，∴a2+ab＝1，∴T＝6(a2+ab)＝6×1＝6  【解析】 略  略 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若此方程有一个根是，则的值是          ； 已知，试写出该方程的一个根，并说明理由； 若此方程的两个根分别为和，则关于的方程的根为          ． 【答案】(1)0  (2)该方程的一个根为-3.理由如下：，.将代入方程，得左边右边，该方程的一个根为-3；  (3)​​​​​​​或  【解析】  解：；  略   关于的方程可整理为设，则，或，即或，或． 22.本小题分 如图，有长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆平行于的长方形花圃． 设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为_____； 当的长是多少米时，围成的花圃面积为平方米？ 【答案】解：； 解：当矩形的面积为时，有 ， 即 ， 解得：，；  当时，，符合题意；  当时，，不符合题意，舍去；  当的长为时，花圃的面积为    【解析】【分析】 本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条件，合理地列出代数式是解题的关键． 用总长减去与墙垂直的三条篱笆的长度的和即为的长； 根据面积为列出一元二次方程求解即可． 【解答】 解：， 故答案为； 见答案． 23.本小题分 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件赢利元为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件求： 若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？ 解 设 P=1200P=1200: (40−x)(20+2x)=1200(40−x)(20+2x)=1200 展开并化简： (40−x)⋅2(10+x)=1200⇒2(40−x)(10+x)=1200(40−x)⋅2(10+x)=1200⇒2(40−x)(10+x)=1200(40−x)(10+x)=600(40−x)(10+x)=600400+40x−10x−x2=600⇒−x2+30x+400=600400+40x−10x−x2=600⇒−x2+30x+400=600−x2+30x−200=0⇒x2−30x+200=0−x2+30x−200=0⇒x2−30x+200=0 解该二次方程： (x−10)(x−20)=0(x−10)(x−20)=0 得： x=10或x=20 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程单元测验 考试范围：一元二次方程；考试时间：90分钟；满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 3.若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如果是一元二次方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值     A.   B.   C.  且 D.  且 7.电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为(    ) A. B. C. D. 8.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(    ) A. B. C. D. 9.某品牌童装调查发现，童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了增加盈利，调查发现每件童装降低元，平均每天可以多售出件，要想使平均每天盈利元，那么每件应降价多少元设每天降价为元，则可列方程 A. B. C. D. 10.已知和是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.已知一个三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为(    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形 12.王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.写出一个一元二次方程，使其有一个根为，并且二次项系数也为，方程为___________． 14.若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15.已知实数满足，则________． 16.为了配合新型冠状病毒的防控工作，某药店将某药品经连续两次降价后，售价变为原来的若两次降价的百分率相同，则该药品每次降价的百分率为        ． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：； ． 18.本小题分 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ，第三步 嘉嘉是用        填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第        步开始出现错误； 请你用不同于中的方法解该方程． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求的取值范围； 如果是满足条件的最大整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值． 20.本小题分 已知． 化简； 若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若此方程有一个根是，则的值是          ； 已知，试写出该方程的一个根，并说明理由； 若此方程的两个根分别为和，则关于的方程的根为          ． 22.本小题分 如图，有长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆平行于的长方形花圃． 设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为_____； 当的长是多少米时，围成的花圃面积为平方米？ 23.本小题分 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件赢利元为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件求： 若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？ 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程单元测验 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. ，；   ．  18. 配方法，二； ， ， 则或， 解得，．  19. 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 的取值范围是； 当时的最大整数值是， 关于的方程是， 解得：， 方程一根的相反数是一元二次方程的一个根， 当时，， 解得：， 故的值为．   20. 【小题】   【小题】 关于的方程有两个相等的实数根，，，   21. 【小题】 【小题】 该方程的一个根为理由如下：，将代入方程，得左边右边，该方程的一个根为； 【小题】 或   22. 解：； 解：当矩形的面积为时，有 ， 即 ， 解得：，；  当时，，符合题意；  当时，，不符合题意，舍去；  当的长为时，花圃的面积为    23.若商场平均每天要赢利 1200 元，求每件衬衫应降价多少元？ 设 P=1200P=1200: (40−x)(20+2x)=1200(40−x)(20+2x)=1200 展开并化简： (40−x)⋅2(10+x)=1200⇒2(40−x)(10+x)=1200(40−x)⋅2(10+x)=1200⇒2(40−x)(10+x)=1200(40−x)(10+x)=600(40−x)(10+x)=600400+40x−10x−x2=600⇒−x2+30x+400=600400+40x−10x−x2=600⇒−x2+30x+400=600−x2+30x−200=0⇒x2−30x+200=0−x2+30x−200=0⇒x2−30x+200=0 解该二次方程： (x−10)(x−20)=0(x−10)(x−20)=0 得： x=10或x=20 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$