第二单元 因数与倍数 暑假提升（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

第二单元 因数与倍数 暑假提升讲义 知识梳理 一、因数和倍数的概念 1.因数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，在算式中，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。 2.倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。 二、找一个数的因数和倍数的方法 1.找因数：从1开始，一对一对地找，看哪两个整数相乘等于这个数，这两个整数就是它的因数。例如，找18的因数，，，，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 2.找倍数：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是它的倍数。例如，3的倍数有3、6、9、12……（倍数的个数是无限的）。 三、2、3、5的倍数的特征 1.2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，2的倍数也叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 3.3的倍数：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，123各位数字之和为，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 4.5的倍数：个位上是0或5的数是5的倍数。 四、质数与合数 1.质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如，2、3、5、7、11等都是质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如，4、6、8、9、10等都是合数。 3.1：1既不是质数也不是合数，因为它只有1个因数。 五、公因数和最大公因数 1.公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 2..最大公因数：其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。可以用列举法、分解质因数法、短除法等来求几个数的最大公因数。例如，求12和18的最大公因数，列举法：12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，它们公有的因数有1、2、3、6，所以最大公因数是6。 六、公倍数和最小公倍数 1.公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 2.最小公倍数：其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。同样可以用列举法、分解质因数法、短除法等来求几个数的最小公倍数。例如，求4和6的最小公倍数，列举法：4的倍数有4、8、12、16、20……，6的倍数有6、12、18、24……，它们公有的倍数有12、24……所以最小公倍数是12。 同步练习 一、填空题 1．在1~20的数中，既是奇载又是合数的数有　 　，既是偶数又是5的倍数的数有　 　。 2．一个四位数1□6□能同时被2、3、5整除，这个四位数最小是　 　；49的因数有　 　个。 3．从2 ，6 ，9 ，14 ，28中找一个与众不同的数，可以是　 　，理由是　 　。 4．在1、2、5、37、66中，　 　是奇数，　 　是质数，　 　是偶数，　 　是合数。 5．最近的数学课，周老师都会在课前布置一道练习：她说出一个整数，同学们就要写出不超过这个整数的所有质数和所有合数。这天上课，周老师给出的整数是a，小明所写的数全对无漏，当中有11个合数。周老师这天给出的整数是　 　。 二、单选题 6．三位数43能用时被2和3整除里有（　　）种增法。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．关于2x+2y的和，下面描述正确的是 (　　)(x、y是自然数)。 A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是质数 D．无法确定 8．在0、3.5、 1099、3 、62这五个数中，奇数一共有(　　)个。 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知a×2=b(a、b均是不为0的自然数)，下面说法正确的是(　　)。 A．a是b的倍数 B．2是a的因数 C．2是b的因数 D．b是2的因数 10．在678后面补一个三位数，组成的六位数可以同时被3，4，5整除，则组成的六位数最小是(　　)。 A．678130 B．678120 C．678110 D．678210 11．秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵佣，用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是(　　)、 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．6个6个地数 D．7个7个地数 三、操作题 12．请你在方格纸上画出所有面积是12平方厘米的长方形。 (每个小方格的边长都是1厘米，长方形的边长是整厘米数) 12的全部因数： ( )。 四、解决问题 13．阳光幼儿园新买进78个玩具，如果平均分给4个小班，至少再买几个才能正好分完？ 14．小玲带了50元去文具店买笔，有3种类型的笔可供选择。她买了一些笔后，店员找给她13元，小玲就说店员找错了，请说明理由。 铅笔：2元/支 马克笔：6元/支 水笔：4元/支 15．东风小学体育节开展多项特色体育活动，其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数不少于4人，可能是几行几列？ 16．五(1)班有50名学生，如果男生人数为奇数，那么女生为奇数还是偶数？如果男生人数为偶数，女生人数为奇数还是偶数？ 17． 围棋起源于我国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史。小亮发现围棋棋盘是纵横各19条线交叉形成的，每个交叉点上都可以放一颗棋子。他在每个交叉点上都放上黑色或白色的棋子，如果黑色棋子的颗数是奇数，那么白色棋子的颗数是奇数还是偶数？ 答案解析部分 1．【答案】9、15；10、20 【解析】【解答】解：在1~20的数中，既是奇数又是合数的数有：9、15； 既是偶数又是5的倍数的数有：10、20。 故答案为：9、15；10、20。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。既是偶数又是5的倍数的数个位数字是0。 2．【答案】1260；3 【解析】【解答】解：能同时被2和5整除，则四位数的个位数字是0，且1+6+0=7，因为7+0=7，7+1=8，7+3=10，7+4=11，7+6=13，7+7=14，7+9=16，7，8，10，11，13，14，16都不能被3整除，所以舍去，因为7+8=15，7+5=12，7+2=9，15、12、9都能被3整除，其中最小是9，即最小□中填2，所以，这个四位数最小是1260； 49的因数有1，7，49共3个。 故答案为：1260；3。 【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数。 3．【答案】2；2质数；其余各数是合数 【解析】【解答】解：这些数中2与其它的数不同，因为2质数；其余各数是合数（答案不唯一）。 故答案为：2；2质数；其余各数是合数。 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 4．【答案】1、5、37；2、5、37；2、66；66 【解析】【解答】解：在1、2、5、37、66中，1、5、37是奇数；1既不是质数也不是合数，66=2×3×11，2、5、37都只有因数1和它本身，所以，2、5、37是质数，66是合数；2、66是偶数。 故答案为：1、5、37；2、5、37；2、66；66。 【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）； 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数； 1既不是质数，也不是合数； 奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。 5．【答案】20 【解析】【解答】解：最小的合数是4，然后依次是 6、8、9、10、12、14、15、16、18、20 ，这里正好有11个合数；因为要写出不超过整数a的所有合数，现在数到20有11个合数，所以周老师给出的整数a是20。 故答案为：20。 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。1既不是质数也不是合数。我们可以从最小的数开始列举合数，根据合数的个数来确定整数a。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：4＋3＋2=9 4＋3＋8=15，□里面可以填2和8，有2种填法。 故答案为：B。 【分析】个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2和3的倍数。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：2x+2y=2×（x+y），和一定是偶数。 故答案为：B。 【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此判断。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：在0、3.5、 1099、3 、62这五个数中，奇数有1099。 故答案为：A。 【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此判断。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：a和2是b的因数，b是a和2的倍数。 故答案为：C。 【分析】在整数乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：要能同时被4和5整除，则补的这个三位数的个位上数字是0；而要最小则补的这个三位数的每位数字都要最小，因此，百位数字是1，当十位数字是0和1时，因为6+7+8=21，21+1+0+0=22，21+1+1+0=23，22和23都不是3的倍数，舍去；当十位数字是2时，因为6+7+8+1+2+0=24，24是3的倍数，且678120÷4=169530，即也是4的倍数，所以组成的六位数最小是678120。 故答案为：B。 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 根据4的倍数特征可知4的倍数个位上没有5，因此结合5的倍数特征可知补的这个三位数的个位数字是0；最小的一位数是0，而整数的最高位不能是0因此确定百位数字是1，再根据3的倍数特征从最小的数逐一尝试即可找到。 11．【答案】D 【解析】【解答】解：264的因数有1，2，3，4，6，8，11，12，22，24，33，44，66，88，132，264，即2个2个地数、3个3个地数、6个6个地数都能正好数完，7个7个地数不能正好数完。 故答案为：D。 【分析】根据题意可知要能正好数完则每次数的个数是264的因数，因此先找到264的因数：可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数；不属于264的因数的数法就不能正好数完，据此可以判断。 12．【答案】；1、2、3、4、6、12。 【解析】【解答】解：12=1×12=2×6=3×4， 12的全部因数：1、2、3、4、6、12。 【分析】长方形的面积=长×宽，已知每个小方格的边长都是1厘米，长方形的边长是整厘米数，我们可以找出12的因数，两个数乘积是12的就可以画出长方形，据此作图。 13．【答案】解：78÷4=19（个）......2（个）， 4-2=2（个）； 答：至少再买2个才能正好分完。 【解析】【分析】如果要平均分给4个班，则玩具的总个数要是4的倍数。首先需要计算78除以4的余数，然后根据余数确定需要补充的数量，使得总数能被4整除，据此求解。 14．【答案】解：这些笔的单价都是偶数，则总价之和必为偶数，因此找零应为偶数，而13元为奇数，所以找零错误。 【解析】【分析】偶数＋偶数=偶数，小玲花的钱数是偶数，并且小玲带的钱数50元也是偶数，偶数-偶数=偶数，找回的钱应该是偶数，而13是奇数，所以找零错误。 15．【答案】解：48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8，排除小于4的数，则 4×12=6×8=48，可能是4行12列、12行4列、6行8列、8行6列。 【解析】【分析】先写出48的所有因数，因为要求每行和每列的人数不少于4人，那么排除小于4的数，则可能是4行12列、12行4列、6行8列、8行6列。 16．【答案】解：班级总人数为50人，是偶数。若男生人数为奇数，则女生人数需满足： 奇数（男生） + 女生人数 = 偶数（总人数） 根据奇偶性规则，奇数 + 奇数 = 偶数，因此女生人数也必须是奇数。 若男生人数为偶数，则女生人数需满足： 偶数（男生） + 女生人数 = 偶数（总人数） 根据奇偶性规则，偶数 + 偶数 = 偶数，因此女生人数也必须是偶数。 【解析】【分析】已知班级总人数为50人，这是一个偶数。根据奇偶数的加法规则，奇数＋奇数=偶数，偶数＋偶数=偶数，奇数＋偶数=奇数。因此，男生和女生人数的奇偶性需满足总和为偶数的条件。 17．【答案】解：19×19=361(个)， 奇数-偶数=奇数； 答：白色棋子的颗数是奇数。 【解析】【分析】先计算出围棋棋盘上的交叉点总数，再根据黑色棋子数与棋盘上棋子总数的奇偶性来判断白色棋子数的奇偶性。 学科网（北京）股份有限公司 $$