第十四章　课件 2025-2026学年数学人教版八年级上册

　三角形全等的判定(5)——HL 知识点一　三角形全等的判定(HL) 斜边和一　 　分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“　 　”).  学新知　知识导学 01 直角边 HL 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) Rt△A′B′C′ HL 2 1.典例 如图所示,∠C=∠F=90°,AB=DE,BC=EF.求证:Rt△ABC ≌Rt△DEF. 3 知识点二　直角三角形全等的判定与性质的综合 2.典例 如图所示,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则下列结论中不正确的是( ) A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上 C.△BDF≌△CDE D.D是BE的中点 D 4 3.如图所示,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°, ∠BAC=35°,则∠BCD的度数为　 　.  110° 5 4.典例 教材 P43 练习 T1 变式 如图所示,点C是路段AB的中点,小明和小红两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,并且DA⊥AB于点A,EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50 m,则小红到路段AB的距离是多少米? 6 7 5.教材 P45 习题 T12 变式 如图所示,小明和小芳以相同的速度分别同时从A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达C,D,若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等吗?为什么? 8 9 精评价　层级演练 02 基础巩固 6.如图所示,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,CE=DE,E是AB的中点.应用上述条件,可证明△CAE ≌△DBE,这是根据( ) A.SAS B.SSA C.AAS D.HL D 10 7.如图所示,∠B=∠D=90°,AB=AD,∠1=25°,则∠2的度数为 ( ) A.25° B.40° C.65° D.60° C 11 8.如图所示,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等,那么判定△ABC与△DEF全等的依据是　 　.  HL 12 9.(2025韶关期中)如图所示,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点, AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC. 13 能力进阶 10.(2025广州期中)如图所示,在△ABC和△CDE中,∠ACB= ∠CED=90°,AB=CD,BC=DE,则下列结论不一定成立的是( ) A.△ABC≌△CDE B.CE=BE C.AB⊥CD D.∠CAB=∠ECD B 14 11.如图所示,已知∠ABE=∠ACD=90°,AD=AE,∠ADE=∠AED,那么图中有　 　对全等三角形.  3 15 12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点, E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性. 16 17 谢谢观赏！ 18 【几何语言】 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∴Rt△ABC≌　 　(　 　).  证明:∵∠C=∠F=90°, ∴△ABC与△DEF是直角三角形. 在Rt△ABC与Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 解:由DA⊥AB,EB⊥AB,得△ADC和△BEC为直角三角形. ∵C是路段AB的中点,∴AC=BC. 由题意,得CD=CE. 在Rt△ADC和Rt△BEC中, ∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL).∴BE=AD=50(m). 答:小红到路段AB的距离为50 m. 解:CB=DA.理由如下: 由CB⊥AB,DA⊥AB,得△ADB和△BCA是直角三角形. ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达C,D,∴AC=BD. 在Rt△ABD和Rt△BAC中, ∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL).∴CB=DA. 证明:∵AD⊥BE,∴∠ACB=∠DCE=90°. ∵C是BE中点,∴BC=CE. 在Rt△ABC和Rt△DEC中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 解:猜想:BF⊥AE. 理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°. 在Rt△BDC与Rt△AEC中, ∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).∴∠CBD=∠CAE. 又∠CAE+∠E=90°.∴∠EBF+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF⊥AE. $$　三角形全等的判定(1)——SAS 知识点一　三角形全等的判定(SAS) 两边和它们的夹角分别　 　的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“　 　”).  学新知　知识导学 01 相等 SAS 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) SAS 【方法技巧】 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 2 1.典例 如图所示,△ABC的三边长分别为a,b,c,∠B=72°,∠C =58°,则与△ABC一定全等的三角形是( ) A 3 2.如图所示,已知∠ACB=∠DBC,要用“SAS”判断△ABC≌ △DCB,需添加的一个条件:　 　.  AC=BD 4 3.典例 如图所示,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO.求证: △ACO≌△BDO. 5 4.(2025珠海期中)如图所示,D,E分别是AB,AC上的点,且AB= AC,AD=AE,求证:△ABE≌△ACD. 6 知识点二　“边边角”不能判定两个三角形全等 【重点必记】两个三角形,如果两边和其中一边的对角相等,那么这两个三角形不一定全等,即不能用“边边角”判定两个三角形全等. 7 5.典例 如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD,这个实验说明了什么? 解:△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.说明了不能用“边边角”判定两个三角形全等. 8 知识点三　三角形全等的判定与性质的应用 6.典例 如图所示,是一个瓶子的截面图,测量得到瓶子的外径AB的长度是10 cm,为了得到瓶子的壁厚a cm,小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一起,做了一个简单的测量工具,测得EF的长为 6 cm,则瓶子的壁厚a的值为　 　.  2 9 7.教材 P34 练习 T1 变式 有一座小山,如图所示,要测量小山两端A,B的距离,先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,量出DE的长为 68 m,则小山两端A,B的距离为　 　m.  68 10 精评价　层级演练 02 基础巩固 8.如图所示,AB与CD相交于点E,EA=EC,DE=BE,若使△AED≌ △CEB,则( ) A.应补充条件∠A=∠C B.应补充条件∠B=∠D C.不用补充 D.以上说法都不正确 C 11 9.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=8,AC平分∠BAD.若CD=5,则四边形ABCD的周长为　 　.  26 12 10.如图所示,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为　 　.  7 13 11.如图所示,已知OC平分∠MON,点A,B分别在射线OM,ON上,且OA=OB.求证:△AOC ≌△BOC. 14 能力进阶 12.如图所示,点C是线段AB的中点,∠ACD=∠BCE,CD=CE,求证: △ACE≌△BCD. 15 谢谢观赏！ 16 【几何语言】 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∴△ABC≌△A′B′C′(　 　).  证明:在△ACO和△BDO中, ∴△ACO≌△BDO(SAS). 证明:在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(SAS). 证明:∵OC平分∠MON,∴∠AOC=∠BOC. 在△AOC和△BOC中, ∴△AOC≌△BOC(SAS). 证明:∵C是线段AB的中点,∴AC=BC. ∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS). $$　三角形全等的判定(3)——SSS 知识点一　三角形全等的判定(SSS) 三边分别　 　的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).  学新知　知识导学 01 相等 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) △A′B′C′ SSS 2 1.典例 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,延长AE,交BC边于点D,则由“SSS”可以判定( ) A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDE C.△ABE≌△ACE D.以上都不正确 C 3 2.典例 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,求证:△ABD≌ △ACD. 4 3.如图所示,AB=AD,BC=DE,AE=AC.求证:△ABC≌△ADE. 5 知识点二　三角形全等的判定与性质的应用 4.典例 如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:∠D=∠E. 6 5.新教材样板题 如图所示,仪器ABCD可以用来平分一个角,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.你认为这样合理吗?为什么? 7 解:合理.理由如下:在△ABC和△ADC中, AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴△ABC ≌△ADC(SSS). ∴∠BAC=∠DAC,即∠QRE=∠PRE. ∴AE就是∠PRQ的平分线. 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 6.跨学科融合 工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:如图所示,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺的两边相同的刻度分别与M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.SSA A 9 7.如图所示,已知EF=BA,DE=CB,点A,D,C,F在一条直线上且AC= FD,以下结论错误的是( ) A.△DEF≌△CBA B.AD=CF C.CB∥DE D.以上都不对 D 10 8.如图所示,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,根据SSS还需要添加一个条件是　 . 　. AC=DF(答 案不唯一) 11 9.已知:线段a,b,c,如图所示.求作:△ABC,使AB=c,BC=a,AC= b.(不写作法,保留作图痕迹) 解:如图所示,△ABC即为所求. 12 能力进阶 10.(2025中山月考)如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则∠B与∠D的关系是( ) A.∠B>∠D B.∠B<∠D C.∠B=∠D D.不能确定 C 13 11.如图所示,在△ABC的上方有一点D,连接AD,CD,AB=AD,CB= CD,∠BCD=50°,则∠ACB的度数为　 　°. 25 14 12.如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:AD⊥AE. 15 谢谢观赏！ 16 【几何语言】 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∴△ABC≌　 　(　 　).  证明:在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS). 证明:在△ABC与△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(SSS). 证明:∵C是AB的中点,∴AC=BC. 在△ACD与△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SSS).∴∠D=∠E. 证明:在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠EAC. ∴∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD,即∠BAC=∠EAD. 又AB⊥AC,∴∠DAE=∠BAC=90°.∴AD⊥AE. $$　三角形全等的判定(4)——尺规作图 知识点一　用尺规作图作已知角 学新知　知识导学 01 1.典例 已知:∠AOB,如图所示. 求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法) 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 解:如图所示,∠A′O′B′即为所求. 2 2.(2025江门月考)尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图所示,为了得到∠MBN=∠PAQ,在用直尺和圆规作图的过程中,得到△ACD≌△BEF的依据是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS B 3 知识点二　用尺规作图作平行线 3.典例 尺规作图题,不写作法,但保留作图痕迹:如图所示,过点C作AB的平行线. 解:如图所示,CD为所求. 4 4.如图所示,点C在∠AOB的边OA上,用尺规作出了CP∥OB,作图痕迹中,弧FG是( ) A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧 C 5 知识点三　用尺规作图作三角形 5.典例 如图所示,已知线段a,b,∠1. 尺规作图:作△ABC,使得△ABC的两边分别为a,b,一内角等于∠1. 解:如图所示,△ABC为所求, 6 6.(2024深圳期中)如图所示,已知∠AOB=48°,点C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图:①以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E;②以点C为圆心,以OD长为半径作弧,交OC于点F;③以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G;④连接CG并延长交OA于点H,则∠AHC的度数为( ) A.24° B.42° C.48° D.96° D 7 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.如图所示,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是( ) A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧 B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧 C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧 D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧 D 8 8.(2024潮州期中)如图所示,是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是( ) A.同位角相等,两直线平行 B.内错角相等,两直线平行 C.两直线平行,同位角相等 D.两直线平行,内错角相等 A 9 9.(2024佛山期末)如图所示,作一个角等于已知角(尺规作图)的正确顺序是( ) A.①⑤②④③ B.①②④⑤③ C.①④③⑤② D.②①③④⑤ A 10 10.尺规作图:如图所示,已知△ABC,过点A画BC的平行线(不写作法,保留作图痕迹). 解:如图所示. 11 能力进阶 11.如图所示,已知∠AOB,以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心,以EF长为半径画弧,交弧①于点D,画射线OD.若∠AOB=32°,则∠BOD的度数为 　 　.  64° 12 12.如图所示,∠DAE=100°,∠EAB=65°,根据图中尺规作图的痕迹,可知∠ABC的度数为　 　.  35° 13 13.如图所示,已知△ABC的两角分别为∠α、∠β,求作这个三角形,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=a(不写作法,保留作图 痕迹). 解:如图所示,△ABC即为所求. 14 谢谢观赏！ 15 $$三角形全等的判定(2)——ASA和AAS 知识点一　三角形全等的判定(ASA) 两角和它们的　 　分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).  学新知　知识导学 01 夹边 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) ASA 2 1.典例 如图所示,已知∠A=∠C,OA=OC,求证:AB=CD. 3 知识点二　三角形全等的判定(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的　 　分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).  【几何语言】 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, 对边 AAS 4 2.典例 (2025东莞期中)如图所示,点A,C,B,D在一条直线上, ∠A=∠DCE,AC=BD,∠F=∠E.求证:△ABF≌△CDE. 5 知识点三　三角形全等判定方法的应用 3.典例 如图所示,海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C,D到观测点A,B所在海岸的距离CA,DB相等.请你说明理由. 6 解:∵∠CAB=∠DBA=90°,∠CAD=∠CBD, ∴∠DAB=∠CBA. 又AB=BA,∴△ABC ≌△BAD(ASA).∴CA=DB. 7 4.新教材样板题 如图所示,从C地看A,B两地的视角∠C是锐 角,从C地到A,B两地的距离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗?为什么? 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 5.小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4),你认为将其中的哪一块带到玻璃店,就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带去的是( ) A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块 D 9 6.如图所示,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB的是( ) A.∠A=∠D B.AC=BD C.∠ACB=∠DBC D.AB=DC B 10 7.新教材样板题 如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B =∠C.求证:AD=AE. 11 8.如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=∠C,AD=AE,求证:△ABD ≌△ACE. 12 能力进阶 9.如图所示,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于( ) A.DC B.BC C.AB D.AE+AC C 13 10.(2025东莞期中)游乐园的海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图所示,当海盗船静止时,转轴B到地面的距离BD=15 m.当海盗船的船头在A处时,AC⊥BD,此时测得点A到地面的距离AE=9 m.当船头从A处摆动到A′处时,A′B⊥AB,则点A′到BD的距离为　 　.  6 m 14 11.如图所示,AB⊥AC,BD⊥CD,∠1=∠2.求证:AE=DE. 15 谢谢观赏！ 16 【几何语言】 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∴△ABC≌△A′B′C′(　 　).  证明:在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO(ASA).∴AB=CD. ∴△ABC≌△A′B′C′(　 　).  证明:∵AC=BD, ∴AC+BC=BD+BC.∴AB=CD. 在△ABF和△CDE中, ∴△ABF≌△CDE(AAS). 解:相等.理由如下: 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(AAS).∴AD=BE. 证明:在△ACD和△ABE中, ∴△ACD≌△ABE(ASA). ∴AD=AE. 证明:∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(AAS). 证明:∵AB⊥AC,BD⊥CD,∴∠A=∠D=90°. 在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(AAS).∴AB=DC. 在△ABE和△DCE中, ∴△ABE≌△DCE(AAS),∴AE=DE. $$角的平分线(2)——角的平分线的 判定 知识点一　角的平分线的判定 角的内部到角两边距离　 　的点在角的平分线上.  【几何语言】 如图所示,∵　 　,　 　,　 　, ∴AP平分∠BAC. 学新知　知识导学 01 相等 PB=PC PB⊥AB PC⊥AC 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 新教材样板题 证明“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。 2 2.(1)如图(1)所示,PM⊥OA,PN⊥OB.若PM=PN,∠AOB=80°,则∠AOC的度数为　 　.  40° 图(1) 3 (2)如图(2)所示,有三条公路两两相交,要在它们所围成的三角形中间建一个加工厂,并保证加工厂到三条公路的距离相 等,作图找到工厂位置.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不必写作法和证明过程) 解:如图(2)所示,点P即为所求. 图(2) 4 知识点二　角的平分线的性质与判定的综合 3.典例 如图所示,点B,C在∠MAN的两边上,且AB=AC,D为∠CAB内的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=DF.求证:DB= DC. 5 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且DE=DC.若∠A=36°,求∠DBC的度数. 6 精评价　层级演练 02 基础巩固 5.到三角形三边的距离相等的点是( ) A.三角形三条高所在直线的交点 B.三角形三条中线的交点 C.三角形三条角平分线的交点 D.不存在这个点 C 7 6.如图所示,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是( ) A.线段CD的中点 B.CD与过点O作CD的垂线的交点 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不正确 C 8 7.(2025东莞期中)如图所示,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF ⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线. 9 8.如图所示,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,且BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上. 证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠CFD=∠BED=90°. 又∠CDF=∠BDE,BD=CD, ∴△CFD≌△BED.∴FD=DE. 又CE⊥AB,BF⊥AC, ∴点D在∠BAC的平分线上. 10 能力进阶 9.如图所示,AB∥CD,点P到AB,BC,CD距离都相等,则∠P等于 ( ) A.120° B.90° C.75° D.60° B 11 10.如图所示,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A= 55°,则∠BOC=　 　.  117.5° 12 11.教材 P53 习题 T8 改编 如图所示,在梯形ABCD中,∠A= ∠B=90°,E为AB的中点,DE平分∠ADC. (1)求证:CE平分∠BCD; 证明:(1)作EM⊥CD,垂足为M,如图所示. ∵DE平分∠ADC,∠A=90°,∴AE=EM. ∵E为AB的中点,∴AE=EB.∴EM=EB.∵EM⊥CD,∠B=90°,∴CE平分∠BCD. 13 (2)求证:AD+BC=CD. 证明:(2)由(1),得∠EMC=∠B=∠A=90°,DE=DE,AE=EM, ∴Rt△DEA≌Rt△DEM(HL).∴DA=DM. 同理可证:Rt△BEC≌Rt△MEC(HL).∴CB=CM. ∵DM+MC=CD,∴AD+BC=CD. 14 谢谢观赏！ 15 已知:如图所示,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE,求证: OP平分∠AOB. 证明:∵PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,∴∠ODP=∠OEP=90°. 在Rt△POD和Rt△POE中, ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL). ∴∠POD=∠POE. ∴OP平分∠AOB. 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF, ∴∠CAD=∠BAD. 在△ADC和△ADB中, ∴△ADC≌△ADB(SAS).∴DB=DC. 解:∵∠C=90°,∠A=36°, ∴∠ABC=180°-90°-36°=54°. ∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC, ∴点D在∠ABC的平分线上. ∴BD平分∠ABC. ∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=27°. 证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE与Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF. ∴AD是∠BAC的平分线. $$角的平分线(1)——角的平分线的 性质 知识点一　角的平分线的作法 学新知　知识导学 01 1.典例 尺规作图:作∠AOB的平分线OC(不写作法,保留作图 痕迹). 解:如图所示,OC即为所求. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 35° 2 知识点二　角的平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离　 　.  【几何语言】 如图所示,∵AP平分∠BAC,　 　,　 　, ∴　 　.  相等 PB⊥AB PC⊥AC PB=PC 3 3.典例 新教材样板题 证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”. 4 4.(1)如图(1)所示,OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A,B.若PB=4,则PA=　 　;  (2)如图(2)所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上,若PC =3,OD=6,则△POD的面积为　 　.  4 9 图(1)　　 图(2) 5 精评价　层级演练 02 基础巩固 5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若点D到AB的距离为3,则CD的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A 6 6.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的长不可能是( ) A.4 B.3.5 C.2 D.1.5 D 7 15 8 8.如图所示,在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB, AB=7,AC=3,求BE的长. 9 能力进阶 9.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与△CDE的周长分别为14和4,则AB的长为( ) A.18 B.10 C.8 D.5 D 10 10.如图所示,在△ABC中,∠CAB=50°,点D在△ABC的外部,且AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC于点F,连接BD.若∠BCE=104°,DE=DF,则∠DBC的度数为 　 　.  63° 11 11.(2025江门月考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB(E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长. 12 13 谢谢观赏！ 14 2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,按如下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半径画弧,交AB于点D,交BC于点E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧相交于点M;③作射线BM,交AC于点F.若∠A=40°,则∠ABF的度数为 　 　. 已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. 证明:∵OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE. 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是　 　.  解:∵AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB. ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE.∴BE=AB-AC=7-3=4. 解:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠C. ∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF. ∵DF⊥BC,∴∠DFB=∠DFC=90°. 在△DFB和△DFC中, ∴△DFB≌△DFC(AAS).∴DB=DC.∴△DFC的周长=DF+CD+CF =DE+BD+CF=3+5+4=12. $$第十四章　章末知识复习 考点1　全等三角形的性质 1.(2025江门期中)如图所示,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 A 分类练　考点集训 01 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2.(2025汕尾期中)如图所示,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( ) A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE C.AB=AE D.∠ABC=∠AED 3.(2024成都)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB= 45°,则∠DCE的度数为　 　.  B 100° 2 考点2　全等三角形的判定 4.一定能确定△ABC≌△DEF的条件是( ) A.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E B.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D C.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F A 3 5.(2024德州)如图所示,C是AB的中点,且CD=BE,请添加一个条件:　 　,使得△ACD≌△CBE.  AD=CE(答案不唯一) 4 6.(2024西藏)如图所示,C是线段AB的中点,AD=BE,∠A=∠B.求证:∠D=∠E. 5 7.新教材样板题 如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠EFD的大小有什么关系?说说你的理由. 6 7 考点3　角的平分线的性质与判定 8.(2024青海)如图所示,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD= 2,则点P到OA的距离是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 C 8 9.(2025中山期中)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm, CD∶AD=1∶3,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离为　 　cm.  3 9 10.(2025江门月考)如图所示,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,且BE=CF,求证:AD平分∠BAC. 10 讲方法　数学思想 02 类型一　分类讨论思想 类型解读 当判定三角形全等没有指明对应顶点(对应角或对应边)时要分情况讨论. 11 11.(2025珠海期中)如图所示,AB=4 cm,BC=6 cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以2 cm/s 的速度由B点向C点运动,同时,点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t s后,△ABP与△CQP全等,则t的值是　 　.  12 12.(2025广州期中节选)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC= 10 cm,BC=8 cm,∠B=∠C,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.当点Q的运动速度为　 　cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.  13 类型二　转化思想 类型解读 常见的转化类型 利用全等三角形的性质证明线段相等或角相等. 14 13.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF. 求证:(1)△BDE≌△CDF; 15 (2)AD是△ABC的角平分线. 证明:(2)∵△BDE≌△CDF,∴DE=DF. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴点D在∠BAC的平分线上, 即AD是△ABC的角平分线. 16 谢谢观赏！ 17 证明:∵C是线段AB的中点,∴AC=BC. 在△DAC与△EBC中, ∴△DAC≌△EBC(SAS). ∴∠D=∠E. 解:两滑梯的倾斜角∠ABC与∠EFD互余,理由如下: 在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠ABC=∠DEF. 又∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°, 即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠EFD互余. 证明:∵BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE与Rt△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DF=DE. ∴AD平分∠BAC. 1或 3或 证明:(1)∵D是BC的中点, ∴BD=CD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴△BDE≌△CDF. $$第十四章　全等三角形 　全等三角形及其性质 知识点一　全等形的概念 能够完全　 　的两个图形叫作全等形(即　 　、　 　 . 相同).  重合 学新知　知识导学 01 形状 大小 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 下列各组图形中,是全等图形的是( ) B 2.下列说法正确的是( ) A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形 C 2 知识点二　全等三角形的概念 (1)能够完全　 　的两个三角形叫作全等三角形;  (2)把两个全等的三角形重合到一起,重合的　 　叫作对应顶点,重合的　 　叫作对应边,重合的　 　叫作对应角;  (3)全等三角形的表示方法:如图所示,△　 　≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上).  重合 顶点 边 角 ABC 3 【归纳总结】 1.平移、翻折、旋转前后的图形全等.2.找全等三角形对应边或对应角方法:①大对大,小对小;②利用“≌”字母的对应关系找. 4 3.典例 教材P30T2变式 如图所示,△ABC≌△DEB,请写出图中的对应角,对应边. (1)∠ABC的对应角为　 　;  (2)∠C的对应角为　 　;  (3)AB的对应边为　 　;  (4)AC的对应边为　 　.  ∠DEB ∠DBE DE DB 5 4.(2025惠州期中)如图所示,△ABC≌△CDA,下列结论:①AB与AD是对应边;②AD与CB是对应边;③∠CAB与∠ACD是对应角;④∠BAC与∠DAC是对应角.其中正确的有( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ B 6 知识点三　全等三角形的性质 全等三角形的对应边　 　,全等三角形的对应角　 　. 相等 相等 7 5.典例 如图所示,△AOB绕点O旋转后与△COD重合. 则OA=　 　,  AB=　 　,  ∠A=　 　,  ∠B=　 　.  OC CD ∠C ∠D 8 6.(2025东莞期中)如图所示,已知△ABC≌△ADE,∠DAC=60°, ∠BAE=100°,BC,DE相交于点F,则∠DFB的度数是　 　.  20° 9 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.(2025广州期中)如图所示,△ABC≌△DCB,若AC=9,BE=6,则DE的长为( ) A.3 B.6 C.2 D.4 A 10 8.跨学科融合 下列各学科使用的教学器具中,属于全等图形的是( ) A 11 9.如图所示,已知△ABC≌△DBC,∠ABC=55°,∠ACD=60°,那么∠D=　 　°.  95 12 10.如图所示,已知△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角. 解:对应边是AC与AE,AB与AD,BC与DE.对应角是∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED. 13 能力进阶 11.(2025珠海期中)若图中的两个三角形全等,则∠α等于 ( ) A.72° B.60° C.58° D.50° C 14 12.如图所示,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论中一定正确的是 ( ) A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB D 15 13.如图所示,△ADE≌△BCF,AD=8 cm,CD=6 cm,∠A=30°,∠E =80°. (1)求BD的长; 解:(1)∵△ADE≌△BCF,AD=8 cm, ∴BC=AD=8 cm. ∵CD=6 cm, ∴BD=BC-CD=8-6=2(cm). 16 (2)求∠BCF的度数. 解:(2)∵△ADE≌△BCF,∠A=30°,∠E=80°, ∴∠B=∠A=30°,∠F=∠E=80°. ∴∠BCF=180°-(∠B+∠F)=180°-(30°+80°)=70°. 17 14.如图所示,B,C,D三点在同一条直线上,∠B=∠D=90°, △ABC≌△CDE,AB=5,BC=12,CE=13. (1)△ABC的周长为　 　;  30 18 (2)求△ACE的面积. 19 谢谢观赏！ 20 解:(2)∵△ABC≌△CDE, ∴AC=CE=13,∠ACB=∠CED. ∵∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°. ∴∠ACB+∠DCE=90°. ∴∠ACE=90°. ∴△ACE的面积为×13×13=. $$