第3章 图形的相似 单元测试2024-2025学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.若一个多边形放大后与原多边形位似，且面积放大为原来的3倍，则周长放大为原来的（　　） A.3倍 B.9倍 C.倍 D.6倍 2.如图，点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB），则下列结论中正确的是（　　） A.AC2＝AB2+BC2 B.AB2＝AC•BC C. D. 3.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，则d＝（　　） A.15 cm B.12 cm C.10 cm D.3 cm 4.下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 5.已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，且△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　） A.3 B.6 C.12 D.24 6.如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　） A. B. C. D. 7.如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为（　　） A.3：4 B.4：3 C.9：16 D.16：9 8.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A.结论1、结论2都正确 B.结论1正确、结论2不正确 C.结论1不正确、结论2正确 D.结论1、结论2都不正确 9.如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 10.已知，则k＝（　　） A.1 B.±1 C.1或﹣2 D.2 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4 cm，D为AC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A.0.5或2 B.0.5或3.5 C.2或2.5 D.2或3.5 12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF＝120°，交CD边于点F，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 13.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP：BP的值＝　     　． 14.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为　  　． 15.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的周长之比等于　   　． 16.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝　       　.（结果保留根号） 17.将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为　　． 三、解答题 18.如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD，AB＝3，BC＝2. （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD，求AC的长． 19.如图，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的长． 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长． 21.如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 22.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若一个多边形放大后与原多边形位似，且面积放大为原来的3倍，则周长放大为原来的（　　） A.3倍 B.9倍 C.倍 D.6倍 【答案】C 【解析】根据题意，扩大后的多边形与原来的多边形的相似比为：1， ∴它们的周长的比为：1， ∴周长扩大为原来的倍． 故选：C． 2.如图，点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB），则下列结论中正确的是（　　） A.AC2＝AB2+BC2 B.AB2＝AC•BC C. D. 【答案】D 【解析】∵点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB）， ∴， 即，，BC2＝AB⋅AC， 故选：D． 3.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，则d＝（　　） A.15 cm B.12 cm C.10 cm D.3 cm 【答案】A 【解析】∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm， ∴2：6＝5：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 4.下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是： 故选：C． 5.已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，且△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　） A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△DEF， ∴， ∵△ABC的周长为6， ∴△DEF的周长为12． 故选：C． 6.如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A.两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意； B.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：A． 7.如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为（　　） A.3：4 B.4：3 C.9：16 D.16：9 【答案】C 【解析】∵两个相似三角形对应高的比为3：4， ∴两个相似三角形相似比为3：4， ∴这两个三角形的面积比为9：16， 故选：C． 8.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A.结论1、结论2都正确 B.结论1正确、结论2不正确 C.结论1不正确、结论2正确 D.结论1、结论2都不正确 【答案】B 【解析】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 9.如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC， ∴△ABD∽△CDB， ∵AD∥BC， ∴△AMD∽△EMB，△EFC∽△AFD， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM， ∴△ABE∽△FDA， ∴相似三角形共有6对， 故选：A． 10.已知，则k＝（　　） A.1 B.±1 C.1或﹣2 D.2 【答案】C 【解析】分两种情况： ①当a+b+c≠0时，根据等比性质，得k1； ②当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，k2． 综上所述，k的值为1或﹣2． 故选：C． 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4 cm，D为AC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A.0.5或2 B.0.5或3.5 C.2或2.5 D.2或3.5 【答案】D 【解析】∵∠BAC＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∴ACBC4＝2 cm， ∵D是AC中点， ∴CDAC＝1 cm， 当△CDE∽△CAB时， ∴CD：CA＝CE：CB， ∴1：2＝（4﹣t）：4， ∴t＝2． 当△CDE∽△CBA时， ∴CD：BC＝CE：CA， ∴1：4＝（4﹣t）：2， ∴t＝3.5， ∴t的值为2或3.5． 故选：D． 12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF＝120°，交CD边于点F，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD是等边三角形， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝AC， ∴∠CBE+∠BEC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BEF＝120°， ∴∠CEF+∠BEC＝120°， ∴∠CEF＝∠CBE， ∵∠ECF＝∠BCE， ∴△CEF∽△CBE， ∴CF：CE＝CE：BC， ∵， ∴令AE＝x，则EC＝2x， ∴AC＝x+2x＝3x， ∴BC＝AC＝3x， ∴CF：2x＝2x：3x， ∴CFx， ∴DF＝3xxx， ∴． 故选：D． 二、填空题 13.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP：BP的值＝　     　． 【答案】 【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴APBP， ∴AP：BP， 故答案为：． 14.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为　  　． 【答案】6 【解析】由两个枫叶图案相似， 可得，解得x＝6，即x的值为6． 故答案为：6． 15.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的周长之比等于　   　． 【答案】4：9 【解析】∵两个相似三角形对应边之比是4：9， ∴它们的周长之比等于4：9， 故答案为：4：9． 16.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝　       　.（结果保留根号） 【答案】1 【解析】设正方形的ABCD的边长为x， ∴AB＝BC＝x， ∵矩形ABFG为黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x1， ∴AB＝BC1， 故答案为：1． 17.将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为　　． 【答案】 【解析】如图：将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列， 由题意可得出：△M1MN1∽△M1EA， 则， 故MN1， 故四边形M1N1A1A2的面积为S1＝111； 同理可得出：， 故四边形M2N2A2A3的面积是S2＝111， 则四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn＝1． 当n+1＝2020时，n＝2019， 所以S2019． 故答案为：． 三、解答题 18.如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD，AB＝3，BC＝2. （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD，求AC的长． 【答案】解：（1）△BCD∽△BAC．理由如下： ∵BD，AB＝3，BC＝2， ∴，， ∴， 而∠DBC＝∠CBA， ∴△BCD∽△BAC； （2）∵△BCD∽△BAC， ∴，即， ∴AC． 【解析】 19.如图，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的长． 【答案】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， AE＝4.5． 【解析】 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长． 【答案】解：∵DE∥AB， ∴， 又∵CE＝2AE， ∴2， ∴BD＝3． 【解析】 21.如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24， ∴， ∴， ∴BC＝15， ∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴OB＝3， ∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴， ∴， ∴CF＝4． 【解析】 22.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD， ∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴CD＝2DE， ∴DE＝CE， ∵F为BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴BD＝2EF； （2）解：由（1）知，BD＝2EF， ∵EF＝6， ∴BD＝12， ∵AB＝CD＝2AD＝2DE，AD＝BC，F为BC的中点， ∴，， 在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC， ∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH， ∴，， ∴，， ∴DG＝4，BH＝4， ∴GH＝BD﹣DG﹣BH＝4． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$