13.3.1.1 直角三角形的两锐角互余 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

13.3.1.1 直角三角形的两锐角互余 导与练 知识点：1．直角三角形的两个锐角 2．有两个角     的三角形是直角三角形. 易错点睛 在ΔABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为  【点睛】高BD可能在ΔABC内部，也可能在ΔABC外部. 题型一 直角三角形性质的应用 例1、 如图，在ΔABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数. 解题策略：先由三角形的角平分线找到相等的角，再由三角形的高找到合适的直角三角形，最后结合已知条件解决问题.我们可以记住一个结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线，它们的夹角等于三角形另外两个角的差的一半. 变式练习： 1. 如图，BD，CE分别是ΔABC的高和角平分线，且相交于点0．若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（   ) A.60° B.55° C.50° D.40° 第1题 第2题 第3题 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（   ) A.85° B.75° C.65° D.60° 3. 如图，在ΔABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（   ) A.20° B.60° C.70° D.80° 题型二、直角三角形的判定 例2、 ［教材P17习题11.2T10变式题］如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：ΔEPF为直角三角形. 变式练习： 1. 如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，当ΔAOC恰好是直角三角形时，∠A的度数可能为   注意：直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解. 2.如图，在ΔABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE.求证：ΔACE是直角三角形. 基础练习 1. 如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，D为AC上一点，DELBC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数是    2．在ΔABC中，∠BAC＝55°，BE，CF是ΔABC的高，直线BE，CF交于点O，则∠BOC的度数为 第1题 第3题 第4题 第5题 3.如图，在RtΔABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB 边上的一点，DC交BE于点F，若∠ADC＝80°，CB＝30°，则∠C的度数为 4.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE：∠ABC＝5：8，则∠CAB的度数为  5.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画RtΔABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有 8 个． 6.如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数． 7.【教材变式】（P17第10题改）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，∠BED＝90°．求证：AB//CD． 综合题探究 8.如图，AD是ΔABC的角平分线，E为BC延长线上一点，EP⊥AD于点P． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°．求∠E的度数； （2）若∠ACB-∠B＝30°．求∠E的度数． 答案： 知识点：1．直角三角形的两个锐角互余 2．有两个角  互余  的三角形是直角三角形. 易错点睛 在ΔABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为 50°或130° 【点睛】高BD可能在ΔABC内部，也可能在ΔABC外部. 题型一 直角三角形性质的应用 例3、 如图，在ΔABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数. 解：在ΔABC中，∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-65°-45°=70°. ∵AE是∠BAC的平分线， ∴BAB=∠BAC=35° 又AD是边BC上的高， ∴∠ADB=90°. 在RtΔABD中，∠BAD＝90°-∠B＝90°-65°＝25°． ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-25°=10°. 解题策略：先由三角形的角平分线找到相等的角，再由三角形的高找到合适的直角三角形，最后结合已知条件解决问题.我们可以记住一个结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线，它们的夹角等于三角形另外两个角的差的一半. 变式练习： 4. 如图，BD，CE分别是ΔABC的高和角平分线，且相交于点0．若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（ B  ) A.60° B.55° C.50° D.40° 第1题 第2题 第3题 5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（ B  ) A.85° B.75° C.65° D.60° 6. 如图，在ΔABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于 点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（ C  ) A.20° B.60° C.70° D.80° 题型二、直角三角形的判定 例4、 ［教材P17习题11.2T10变式题］如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：ΔEPF为直角三角形. 证明：∵AB//CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°． ∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P， ∠PEF=∠BEF,∠PFB=∠DFE. ∴∠PEF+∠PFE=(∠BEP+∠DFE)=90°.  ∴ΔEPF为直角三角形. 变式练习： 2. 如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，当ΔAOC恰好是直角三角形时，∠A的度数可能为  60°或90° 注意：直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解. 2.如图，在ΔABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE.求证：ΔACE是直角三角形. 证明：：AD是边BC上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°. ∴∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴∠AME+∠MAE=90°.  ∴∠AEM=180°-(∠AME+∠MAE)=90°.  ∴ΔACE是直角三角形。 基础练习 2. 如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，D为AC上一点，DELBC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数是 50°  2．在ΔABC中，∠BAC＝55°，BE，CF是ΔABC的高，直线BE，CF交于点O，则∠BOC的度数为  55°或125° 第1题 第3题 第4题 第5题 3.如图，在RtΔABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB 边上的一点，DC交BE于点F，若∠ADC＝80°，CB＝30°，则∠C的度数为40° 4.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE：∠ABC＝5：8，则∠CAB的度数为  50° 5.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画RtΔABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有 8 个． 6.如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数． 解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，∴∠BAC＝124°， AD为ΔABC的角平分线，∴∠CAD＝62°＝∠EAF， ∵BE⊥AC.∴∠F+∠EAF=90°.∴∠F=28°.  7.【教材变式】（P17第10题改）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，∠BED＝90°．求证：AB//CD． 证明：∵∠BED＝90°，∴∠EBD＋∠EDB＝90°． 又∵∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB， ∴∠ABD+∠CDB=180°,∴AB//CD.  综合题探究 8.如图，AD是ΔABC的角平分线，E为BC延长线上一点，EP⊥AD于点P． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°．求∠E的度数； （2）若∠ACB-∠B＝30°．求∠E的度数． 解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°． ∴∠BAC＝60°．∵AD平分∠BAC．∴∠DAC＝∠BAD＝30°． ∴∠PDE＝180°-30°-85°＝65° 又∵PE⊥AD．∴∠DPE＝90°， ∴∠E+∠PDE=90°,∴∠E=25°; （2）设∠B＝ɑ，∴∠ACB＝ɑ＋30°，∵∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝150°-2ɑ，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝75°-α， ∴∠PDC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-(α+30°)-(75°-α°)=75°,  ∵EP⊥AD,∴∠EPD=90°,∴∠E=90°-75°=15°。  www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$