第十四章　全等三角形 专题聚焦四 培优 作辅助线构造全等三角形课件 2025-2026学年数学人教版八年级上册

专题聚焦四 培优 | 作辅助线构造全等三角形 类型一　巧用“公共边”构造全等三角形 特点:条件往往给出两组对应边相等,连接对应点构成公共边即可得到第三组对应边相等,从而利用“SSS”证全等. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.已知两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图所示,在筝形ABDC中,AB=AC,BD=CD,求证:∠B=∠C. 2 2.如图所示,AB=DC,AD=BC,DE=BF,求证:BE=DF. 3 类型二　巧用“截长补短法”构造全等三角形 特点:在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等,或将某条线段延长,使之与特定线段相等. 模型展示 4 3.如图所示,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD. 5 6 4.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°, AB=BC,若E,F分别在AD,DC的延长线上,且∠EBF=60°,求证:AE =EF+CF. 7 8 类型三　巧用“倍长中线法”构造全等三角形 特点:将中线延长一倍,然后利用“SAS”判定三角形全等. 5.如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线.求证:AB+AC> 2AD. 9 10 6.如图所示,已知CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线.求 证:AC=2AE. 11 12 类型四　巧用“角平分线”构造全等三角形 特点:在处理角平分线问题时,常常要通过延长线段或截取线段,或者过角平分线上的点作角两边的垂线段,构造三角形 全等. 模型展示 13 7.已知:如图所示,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠BAD=∠CAD+∠C. 14 8.如图所示,BD是∠ABC的平分线,AD=CD.求证:∠DAB+∠BCD= 180°. 15 谢谢观赏！ 16 证明:如图所示,连接AD. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C. 证明:如图所示,连接BD. 在△ABD和△CDB中, ∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C. ∵AD=BC,DE=BF,∴AE=CF. 在△EAB和△FCD中, ∴△EAB≌△FCD(SAS).∴BE=DF. 证明:在BC上取点F,使BF=BA,连接EF,如图所示. ∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE. 在△ABE和△FBE中,, ∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠A=∠BFE. ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°. ∴∠BFE+∠D=180°. ∵∠BFE+∠CFE=180°,∴∠CFE=∠D. 在△CFE和△CDE中, ∴△CFE≌△CDE(AAS).∴CF=CD. ∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD. 证明:在AE上截取AM=CF,连接BM. 在△ABM和△CBF中, ∴△ABM≌△CBF(SAS). ∴∠ABM=∠CBF,BM=BF. ∵∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°, ∴∠CBA=120°.∴∠FBM=120°. ∵∠EBF=60°,∴∠EBM=60°. 在△BME和△BFE中, ∴△BME≌△BFE(SAS).∴EF=EM. ∴AE=EM+AM=EF+CF. 证明:如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE. ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD. 在△BDE和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA.∴BE=CA. 在△ABE中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD. 证明:如图所示,延长AE至点F,使AE=EF,连接BF. ∵AE是△ABD的中线,∴BE=DE. 在△ADE和△FBE中, ∴△ADE≌△FBE(SAS). ∴BF=DA,∠FBE=∠ADE. ∵∠BAD=∠BDA, ∴∠ABF=∠ABD+∠FBE=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC. 在△ABF和△CDA中, ∴△ABF≌△CDA(SAS).∴AC=FA. ∵FA=2AE,∴AC=2AE. 证明:如图所示,延长AD交BC于点F. ∵BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE, ∴∠ABD=∠DBF,∠ADB=∠FDB=90°. 在△ABD与△FBD中, ∴△ABD≌△FBD(ASA).∴∠BAD=∠BFD. 又∠AFB=∠CAF+∠C,∴∠BAD=∠CAD+∠C. 证明:如图所示,作DE⊥BA于点E,DF⊥BC于点F. ∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥BA,DF⊥BC, ∴DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△CDF中, ∴Rt△ADE≌Rt△CDF.∴∠DAE=∠DCB. ∵∠DAB+∠DAE=180°, ∴∠DAB+∠BCD=180°. $$