【全等三角形常见的八大模型】【八大模型+对应练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

全等三角形常见的八大模型 题型归纳 【模型1. K型(一线三垂直)模型】……………………………………………………… 4 【模型2. “手拉手”模型】……………………………………………………………… 7 【模型3. 倍长中线】……………………………………………………………………… 10 【模型4. 平行线中点】…………………………………………………………………… 16 【模型5. “雨伞”模型】………………………………………………………………… 18 【模型6. 半角模型】……………………………………………………………………… 19 【模型7. 胖瘦模型】……………………………………………………………………… 21 【模型8. “反向”手拉手模型】………………………………………………………… 22 知识清单 知识点1 K型(一线三垂直)模型 模型解读： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 解题思路：一线三重直是中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角．但很多常见的一线三重直模型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题． 知识点2 “手拉手”模型 模型解读： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 知识点3 倍长中线 模型解读： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 知识点4 平行线中点A B C D E 模型解读： 解题思路：在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案． 知识点5 “雨伞”模型 模型解读： 条件：AP是∠BAC的平分线，OB⊥AP于点O 作法：延长BO交AC于点D； 结论：① △ABO≌△ADO； ② AB=AD； ③ OB=OD。 知识点6 半角模型 模型解读： 条件：在正方形ABCD中，∠MAN=45° 结论：① MN=BM+DN； ② △MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍； ③ MN平分∠BMN，NA平分∠DNM。 知识点7 胖瘦模型 模型解读： 条件：在四边形ABCD中，BC＞BA，① AD=DC；② BD平分∠ABC；③ ∠A+∠C=180° 结论：这三个条件，已知任意两个即可求第三个 知识点8 “反向”手拉手模型 模型解读： 条件：在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BE，CD 结论：△AB’E≌△ACD 题型专练 题型1. K型(一线三垂直)模型 1．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    2．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 3．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 4．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 模型2. “手拉手”模型 1．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC． 其中正确的个数为（　　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 4．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 5．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 6．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 模型3. 倍长中线 1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 2．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 3．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 5．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得 ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 7．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 8．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 模型4. 平行线中点 1．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若，，则（ ） A． B．2 C． D． 2．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（  ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 5．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是的中位线． 求证：__________________． 证明： （2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，求GF的长． 模型5. “雨伞”模型 1．如图，平分，于点，．求证：． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 3．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 模型6. 半角模型 1．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 2．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 3．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 4．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD． （2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？ 模型7. 胖瘦模型 1．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 2．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 模型8. “反向”手拉手模型 1、如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD，CE。若∠BAD=ɑ，则∠BCE 的度数为（ ） A. 60° B. ɑ C. 60°－ɑ D. 60°+ɑ 2、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D在边AB上。若AD=5，BD=12，则 DE的长为（ ） A. 60° B. ɑ C. 60°－ɑ D. 60°+ɑ 3.如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形常见的八大模型 题型归纳 【模型1. K型(一线三垂直)模型】……………………………………………………… 4 【模型2. “手拉手”模型】……………………………………………………………… 12 【模型3. 倍长中线】……………………………………………………………………… 21 【模型4. 平行线中点】…………………………………………………………………… 39 【模型5. “雨伞”模型】………………………………………………………………… 44 【模型6. 半角模型】……………………………………………………………………… 50 【模型7. 胖瘦模型】……………………………………………………………………… 58 【模型8. “反向”手拉手模型】………………………………………………………… 60 知识清单 知识点1 K型(一线三垂直)模型 模型解读： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 解题思路：一线三重直是中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角．但很多常见的一线三重直模型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题． 知识点2 “手拉手”模型 模型解读： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 知识点3 倍长中线 模型解读： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 知识点4 平行线中点A B C D E 模型解读： 解题思路：在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案． 知识点5 “雨伞”模型 模型解读： 条件：AP是∠BAC的平分线，OB⊥AP于点O 作法：延长BO交AC于点D； 结论：① △ABO≌△ADO； ② AB=AD； ③ OB=OD。 知识点6 半角模型 模型解读： 条件：在正方形ABCD中，∠MAN=45° 结论：① MN=BM+DN； ② △MCN的周长等于正方形ABCD边长的2倍； ③ MN平分∠BMN，NA平分∠DNM。 知识点7 胖瘦模型 模型解读： 条件：在四边形ABCD中，BC＞BA，① AD=DC；② BD平分∠ABC；③ ∠A+∠C=180° 结论：这三个条件，已知任意两个即可求第三个 知识点8 “反向”手拉手模型 模型解读： 条件：在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BE，CD 结论：△AB’E≌△ACD 题型专练 题型1. K型(一线三垂直)模型 1．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练运用全等三角形的性质是解题关键．由，，，可以得到，而，，由此可以证明，所以，；同理证得，，，易得，，然后利用割补法和面积公式即可求出图形的面积即可． 【详解】解：∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 同理证得， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：50． 2．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键． 3．综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴ 4．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 模型2. “手拉手”模型 1．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC． 其中正确的个数为（　　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由题意易得∠AOC=∠BOD，然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角， ∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD， ∵OA=OB，OC=OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确； 过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示： ∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD， ∴∠AMB=∠BOA=40°， ∴∠OEC=∠OFD=90°， ∵OC=OD，∠OCA=∠ODB， ∴△OEC≌△OFD（AAS）， ∴OE=OF， ∴OM平分∠BMC，故③④正确； 所以正确的个数有4个； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键． 2．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 3．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 5．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 6．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形． （1）通过延长构造，进而推出和，再由“”证得，即可得到，从而得出结论． （2）通过延长构造得出、，然后证得，再由即可得出结论． （3）在上取点，使．根据“”证得，得到、，推出，再由“”证得得出，最后由线段和差关系求出的长． 【详解】解：（1）如图，在延长线上取点，使，连接． 在和中，，， ∴． ，， ， ． 在和中，，，， ． ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：在延长线上取点，使，连接 ． ． 在和中，，，， ． ，． 在和中，，，， ． ， ． （3）在上取点，使． 根据题意和都是直角三角形． ，， ． ，， 又， ， ． 在和中，，，， ， ． 模型3. 倍长中线 1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 【分析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围． 【详解】 如图所示，延长AD到E，使，连接CE， AD是△ABC中BC边上的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系得： ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 3．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 5．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可． 【详解】证明：延长到F，使，连接，    ∵E是中点， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得 ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）延长到点M，使，连接，证明得到，由三角形三边的关系得到，即可求出； （2）由全等三角形的性质得到，，进而证明； （3）如图2，延长到M，使得，连接，同理证明，得到，则，再证明，进一步证明，得到，由此即可证明． 【详解】解：（1）延长到点M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2），且，证明如下： 由（1）知，， ∴，， ∴； （3），证明如下： 如图3，延长到M，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，利用倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 7．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【分析】观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解； 探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解； 应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论． 【详解】观察发现 解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5， ∴2＜AE＜12． 又∵AE=2AD， ∴1＜AD＜6， 故答案为：EC，2，12，1，6； 探索应用 解：如图2，延长AE，CD交于H， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB=CH=25， ∴DH=CH-CD=17， ∵∠DFE=∠BAE， ∴∠H=∠DFE， ∴DF=DH=17， 故答案为：17； 应用拓展 证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD， 在△BPA与△EPF中， ， ∴△BPA≌△EPF（SAS）， ∴AB=FE，∠PBA=∠PEF， ∵AC=BC， ∴AC=FE， 在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°， ∵∠BAC=60°，∠CDE=120°， ∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°． ∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=∠DEB+∠EBA， ∴∠ACD=∠FED， 在△ACD与△FED中， ， ∴△ACD≌△FED（SAS）， ∴AD=FD， ∵AP=FP， ∴AP⊥DP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键． 8．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 模型4. 平行线中点 1．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若，，则（ ） A． B．2 C． D． 【分析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG=，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG=，利用，求出，即可利用勾股定理求出NG、EH． 【详解】如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N， ∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线， ∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=，AR=AR-CE=4-2=2， ∴， ∵H是AG中点， ∴HG=， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ENG中， ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键． 2．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【分析】延长EF，DA交于G，连接DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到BE=AG，F是GE的中点，结合条件BF⊥GE进而得到BF是线段GE的垂直平分线，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长EF，DA交于G，连接DE，如下图所示：    ∵F是AB的中点，∴AF=BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF 且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)， 设， 由GF=EF，且∠DFE=90°知， DF是线段GE的垂直平分线， ∴， 在Rt△GAE中，． 在Rt△AED中，， ∴，解得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键. 3．如图，在中，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF=S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠D， 在△BAF和△EDF中， , ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF=S△EDF， ∴图中阴影部分面积=S四边形ACEF． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE=FE，AD=FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度． 【详解】解：如图，延长AE交BC于F． ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC ∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE， 又∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵在△AED与△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AE=FE，AD=FC． ∵AD=5，BC=10． ∴BF=5 在Rt△ABF中，AF＝， ∴AE=AF=6.5． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，本题辅助线的作法． 5．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是的中位线． 求证：__________________． 证明： （2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，求GF的长． 【分析】（1）延长DE到点F，使得，连接CF，证明，再证四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得结论； （2）延长GE、FD交于点H  ，证，再证垂直平分GH，得 即可． 【详解】（1） 证明：如图，延长DE到点F，使得，连接CF 在和中， ， 又， ， 四边形BCFD是平行四边形 ． （2）如图2，延长GE、FD交于点H   为AD中点， ，且 在和中 ， ， 垂直平分GH， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 模型5. “雨伞”模型 1．如图，平分，于点，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论． 【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠FEC＝90°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE． 在△CFE与△CBE中， ∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CBE， ∴BE＝EF＝BF． 在△CFE与△CAD中， ∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠F＝∠ADC． 在△BFA与△CDA中， ∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC， ∴△BFA≌△CDA， ∴BF＝CD． ∴BE＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 3．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 【分析】解法一：延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明； 解法二：作的中点E，连接、，根据直角三角形得到性质就可以得出，由平分就可以得出，从而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出，证，推出，从而得到结论． 【详解】解法一： 解：延长、相交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 解法二： 解：取的中点E，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解. 【详解】证明：延长AC、BE交于F， ∵∠1=∠3，BE⊥AE， 在△AEF和△AEB中，， ∴△AEF≌△AEB(ASA)， ∴FE=BE， ∴BE=BF， ∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE， ∴∠1=∠2， 在△ACD和△BCF中，， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴AD=BF， ∴BE=AD. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度． 模型6. 半角模型 1．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 2．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解． 【详解】解：（1）全等．理由如下 ∵∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝90°＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△GAB≌△FAD（ASA）； （2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF， ∴∠GAB+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS） ∴EF＝GE ∵△GAB≌△FAD， ∴GB＝DF， ∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法； （2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型． 4．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD． （2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？ 【分析】（1）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据正方形的性质，可直接证明△EBC≌△FDC，从而得出∠BCE=∠DCF，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可证出EG=BE+GD； （2）过C作CD⊥AG，交AG延长线于D，则四边形ABCD是正方形，设EG=x，则AE=8，根据（1）可得：AG=16-x，在直角△AGE中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图3所示，延长AD至F，使DF=BE，连接CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， ∵∠CDF=180°-∠ADC， ∴∠CDF=90°， ∴∠ABC=∠CDF， ∵BE=DF， ∴△EBC≌△FDC， ∴∠BCE=∠DCF，EC=FC， ∵∠ECG=45°， ∴∠BCE+∠GCD=90°-∠ECG=90°-45°=45°， ∴∠GCD+∠DCF=∠FCG=45°， ∴∠ECG=∠FCG． ∵GC=GC，EC=FC， ∴△ECG≌△FCG， ∴EG=GF． ∵GF=GD+DF= BE+GD， ∴EG= BE+GD． （2）解：如图4，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D， 在直角梯形ABCG中， ∵AGBC，∠A=∠B=90°， 又∠CDA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCD为正方形． ∴AD=AB=BC=12． 已知∠ECG=45°，根据（1）可知，EG=BE+DG， 设EG=x，则AG=AD-DG= AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x， ∴AE=12-BE=12-4=8． 在Rt△AEG中 ∵EG2=AG2+AE2， 即x2=（16-x）2+82， 解得：x=10． ∴EG=10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键． 模型7. 胖瘦模型 1．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 2．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD． 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 模型8. “反向”手拉手模型 1、如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD，CE。若∠BAD=ɑ，则∠BCE 的度数为（ ） A. 60° B. ɑ C. 60°－ɑ D. 60°+ɑ 【详解】∵ △ABC和△BDE均为等边三角形 ∴ AB=BC，∠ABC=∠EBD=60°，BE=BD ∵ ∠ABD=∠ABC+∠DBC，∠EBC=∠EBD+∠DBC ∴ ∠ABD=∠EBC 在△ABD和△EBC中 ∴ △ABD≌△EBC（SAS） ∴ ∠BCE=∠BAD=α 故选B. 2、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D在边AB上。若AD=5，BD=12，则 DE的长为（ ） A. 11 B. 13 C. 12 D. 25 【详解】∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90° ∴ CB=CA，CD=CE，∠B=∠CAB=45°，∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD=90° ∴ ∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中， ∴ △ACE≌△BCD（SAS） ∴ ∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12 ∴ ∠EAD=∠EAC+∠CAB=90° ∴ 在Rt△EAD中，由勾股定理，得DE2=AE2+AD2=122+52=169 又∵ DE＞0 ∴ DE=13 3.如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ，，， ， ≌， ， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点 设，则，，， ，， ， ． ，， ≌， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$