22.1.1 二次函数课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 九年级数学上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 问题1. 什么是函数？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 用一次函数y = k x + b (k≠0)可以表示某些问题中变量间的关系. 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 问题2. 研究一次函数的一般思路是什么？ 实际 问题 我们再来看另一些问题中变量之间的关系. 概念 图象 应用 性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 1.如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度与它距离喷头的水平距离之间有什么关系？ 2.投篮时篮球的路线,悬索桥的钢索等,都是一条曲线，这些曲线能否用函数关系式表示？ BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 回答上述问题就要用到二次函数.像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题.通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会用进一步的体会. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 问题3 的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为，表面积为，请问表面积与棱长有什么关系？ 解析：∵正方体有六个面，且每个面的面积为 . 所以正方体的表面积为： 上式表示了正方体的表面积棱长的关系，并且对于每一个值，都对应一个值，所以是的函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 问题4 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数与球队数有什么关系？ 解析：每个队要与其他的 个球队各比赛一场，比如：甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛 所以比赛的场次数为： 即： 上式表示了比赛的场次数与球队数之间的关系，并且对于每一个值，都对应一个值，所以是的函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 问题5 某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的的值而确定，与之间的关系应怎样表示？ 解析：这种产品的原产量是 ，一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是 ， 即两年后的产量为 即： 上式表示了两年后的产量与计划增产的倍数之间的关系，并且对于每一个值，都对应一个值，所以是的函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 问题6. 以上几个问题中函数关系式有什么共同点? 的最高次数为2 一次函数的最高次数为1，而这三个函数的最高次数为2 问题7. 它们和我们以前学过的一次函数有什么不同点? BY YUSHEN BY YUSHEN 二次函数的定义 新知探究 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 结构特征： (1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 化简后自变量的最高次数是2. 为什么规定a≠0？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 当 a = 0 时 y =bx＋c 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， y =ax2＋c 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， y =ax2＋bx 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， y =ax2 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 任何一个二次函数的解析式都可以化为一般式 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1. 下列函数中 (x是自变量)，哪些是二次函数？ 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 二次函数必须同时满足三个条件： （1）函数解析式是整式． （2）化简后自变量的最高次数是2． （3）二次项系数不为0． （1） （2） （3） （4） （5） BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由． 解：将函数化简y＝(x-2)(3-x)＝-x2＋5x -6， 它是二次函数， 它的二次项系数为 ，一次项系数为 ， 常数项为 . -1 5 -6 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3.已知二次函数 . (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： (1) 由题意，得 解得 将 x = 0.5 代入函数关系式 ， 得y=0.25 (2) 由(1)得， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4.如图，用一段长为26 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 解：∵ AB 边长为 x 米， ∴ AD 边长为 (26－x) 米. ∴＝ BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 二次函数 右边是整式 自变量的指数是2 二次项系数a ≠0 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） y=ax2（a ≠0） y=ax2+bx（a ≠0） y=ax2+c（a ≠0） 一般 形式 定义 特殊 形式 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂练习 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 2.下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C -3x2 -16 12 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂练习 3. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积于底面半径之间的关系式. 解：∵圆柱的的表面积=上底面+下底面+侧面 ∴ ∵ ∴ ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂练习 4. 如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积与的关系式，如果增加4 则面积是多少？ 解：∵原矩形绿地的长宽分别为和 ， 则增加后的矩形绿地的长宽分别变为（和 ∴ 当 时 BY YUSHEN BY YUSHEN $$