2.5 二次函数与一元二次方程 教学设计 -2024-2025学年北师大版数学九年级下册

本文围绕“二次函数与一元二次方程”展开，承接函数相关知识背景，为后续数学应用奠基。通过情境导入、合作探究等环节，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养，如在实际问题分析中渗透。 本设计创新点在于结合生活实例，采用讲授、探究等多种教法，借助多媒体等教具。从学生层面提升综合应用能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点。

教案 课题 二次函数与一元二次方程 授课日期 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过探索二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，能够从实际问题中抽象出数学模型，并用数学语言描述现实世界中的抛物线问题。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过分析二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系，培养逻辑推理能力，能够运用数形结合思想解决实际问题，提升数学思维的严谨性和灵活性。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过合作探究和自主解决问题，能够用数学语言准确表达二次函数与一元二次方程的关系，并能将数学结论应用于实际问题中，如涵洞宽度计算、足球运动轨迹分析等。 教学重点 （1）通过探索二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的数形结合思想，提升数学建模能力。 （2）在真实情境中运用二次函数解决实际问题，增强学生的实践能力和综合应用素养。 教学难点 （1）理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程根的关系，并能运用数形结合的思想分析问题。 （2）将实际问题转化为数学模型，运用二次函数解决运动中的抛物线问题，并准确计算相关参数。 教法学法 讲授法、实验法、探究法、合作学习法 教具学具准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示二次函数的图像及其与一元二次方程的关系，以及涵洞抛物线问题的动态模拟。 （2）《二次函数与一元二次方程》相关的数学教材和练习册，确保学生能够通过实例加深对知识点的理解。 （3）绘图纸和绘图工具，包括直尺、圆规和铅笔，以便学生在课堂上绘制抛物线图形和进行几何分析。 教学内容设计 个性化调整 （二次备课） 一、情境导入 教师展示一张涵洞成抛物线形的图片，并提出问题：一个涵洞呈抛物线形状，其截面如图所示。现在测得，当水面宽度 AB 为 1.6 米时，涵洞顶点与水面的距离 OC 为 2.4 米。如果水位上升到某个高度到达点 F，且此时离水面距离 CF 为 1.5 米，那么涵洞的宽度 ED 是多少？是否会超过 1 米？ （生：认真观察图片，思考并尝试找出解决问题的方法） 接着，教师引导学生建立直角坐标系，并解释如何根据已知条件来确定点 D 的横坐标。在此过程中，教师强调通过求出点 D 的横坐标，可以计算出 ED 的宽度。 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程的关系 1. 求抛物线与 x 轴的交点坐标 教师首先给出一道例题：已知二次函数 y = 2x² - 4x - 6，问它的图像与 x 轴的交点坐标是什么？ （解析：y = 2x² - 4x - 6 可以被因式分解为 y = 2 (x² - 2x - 3) = 2(x - 3)(x + 1)，设2(x - 3)(x + 1) = 0，解这个方程得到 x₁ = 3 和 x₂ = -1。因此，该函数图像与 x 轴的交点坐标分别是 (3, 0) 和 (-1, 0)。） （生：跟随教师思路，尝试解答类似的问题，并讨论自己的解法） （方法总结：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是令二次函数等于 0 时方程的解。这是找到抛物线根的基本方法。） 2. 判断抛物线与 x 轴交点的数量 接着，教师引入另一个例题：对于关于 x 的二次函数 y = mx² - (m+2) x + 2 (m ≠ 0)： (1) 证明无论 m 取什么值（非零），此抛物线总是与 x 轴有两个交点； (2) 如果这两个交点的横坐标都是整数，试着找出符合条件的所有正整数值 m。 （解析：(1) 需要证明Δ > 0才能保证两个实根的存在；Δ = (m + 2)² - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)²。因为 (m - 2)² ≥ 0，所以对任意 m ≠ 0，Δ 总是非负的，从而证明了结论。(2) 通过令 y = 0，我们可以解出 x₁ = 1 和 x₂ = 2/m。只有当 m = 1 或 2 时，x₂才会是整数。故答案为m = 1 或 2。） （生：在教师的指导下分析问题，并探讨不同 m 值下抛物线的行为特征） 3. 根据抛物线与 x 轴交点情况推导字母系数的范围 然后，讨论给定函数 y = (k-3) x² + 2x + 1 图像与 x 轴有交点情况下 k 应满足的条件。 （详细说明：首先要分情况考虑，即 k-3 是否等于 0。如果不是，则根据判别式 b² - 4ac ≥ 0 来确定 k 的可能取值区间。经过计算，最终得出k ≤ 4 且 k ≠ 3。） （生：积极参与讨论，分享他们对解题策略的理解） 4. 综合运用 —— 从判别式到根与系数关系 最后，教师呈现一个稍微复杂一点的例子：对于抛物线 y = x² + ax + a - 2 先证明不论 a 为何值它都与 x 轴相交于两点； 假设这两点坐标分别为 A (x₁, 0) 和 B (x₂, 0)，并且已知 x₁² + x₂² = 3，试求 a 的具体数值。 （解析：(1) 依据判别式的定义可知 Δ > 0 即可满足题目要求；(2) 利用韦达定理表达式进行换算，解得a = 1。） （生：尝试独立完成这部分练习，同时注意积累相关技巧） 探究点二：利用二次函数模型解决实际问题 通过一个具体的例子进一步加深理解：想象一下，在足球场上守门员从 O 处开出一个高球，球从地面上 1 米的高度飞出 (A 位于 y 轴上)，球员乙在距离 O 点 6 米的位置 B 发现球正好在他的头顶上方达到最高点 M，此时球高约 4 米。球落地后再次弹起，但弹起后的抛物线与原来的形状相同，仅最大高度减半。 确定从球开始飞行直至第一次落地之间抛物线的数学描述； 计算 C 点距守门员有多远（提示：√4 ≈ 7）； 如果球员乙想要抢到球第二次触地的位置 D，那么他需要向前跑多远才能到达那里（提示：√2 ≈ 5）。 （解析：首先设定合适的坐标系统，接着根据给定数据确定抛物线方程，通过解方程找出各个关键点的位置。） （生：在小组内合作解决这些问题，并向全班汇报他们的解决方案） （注释：此类应用题能够帮助学生将抽象概念与现实生活联系起来，提高他们的综合应用能力。） 三、课堂小结 回顾本节课所学的核心知识点，包括但不限于： 如何通过建立数学模型准确描述物理现象； 二次函数图形性质及其与对应方程解之间的联系； 在解决实际问题时灵活运用所学知识的重要性。 鼓励学生们课后继续探索更多有趣的数学应用场景，并期待下次课上有机会听到大家更多的创新想法！ 课后作业布置 （1）根据本节课所学内容，绘制抛物线 y＝2x²－4x－6 的图像，并标出与 x 轴的交点坐标。 （2）已知二次函数 y＝mx²－(m＋2) x＋2（m≠0），分析 m 的取值范围，使得该抛物线与 x 轴有两个交点，且这两个交点的横坐标都是整数。 学科网（北京）股份有限公司 $$