吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

白城一中2024-2025学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设为两个不同的平面，直线，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.计算：lg 2－lg－eln 2＝(　　) A. －1 B. C. 3 D. －5 3.已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 4.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m 5.设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知，，则（ ） A. B. C. D. 7.在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. [0,1] 8.集合，，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.用表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 当时，的最小值为2 C. 不等式解集是 D. 方程的解集为 10.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 11.已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则下列结论正确的是(　　) A. 直线A1C1与B1C是异面直线 B. A1D与B1C所成的角为60° C. A1C1⊥BD D. 直线A1C1与B1C所成的角为60° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.定义运算为：，例如：，则的取值范围是 ． 13.已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 14.若幂函数图象过点(8，4)，则此函数的解析式是y＝________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知求实数a 的取值范围. 16.函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 17.已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 18.已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若时，的最小值为，求实数的值. 19.已知全集．集合，，． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白城一中2024-2025学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设为两个不同的平面，直线，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由面面垂直的判定定理可知：“”，且，所以“”是 “”的充分条件，但两个面互相垂直，并不一定一面中线必垂直另一个面， 如下图所示，，，且， 显然不能得出，即不满足必要性. 故选：A 2.计算：lg 2－lg－eln 2＝(　　) A. －1 B. C. 3 D. －5 【答案】A 【解析】lg 2－lg－eln 2＝lg－2＝1－2＝－1. 3.已知，且是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知，在此区间内，，. 因为，是方程的两根. 根据韦达定理：，. 由，可得. 又，根据， 可得. 则， 所以. 因为，即， 解得. 综上，答案选C. 4.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m 【答案】B 【解析】对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，若l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面． 5.设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， ①当时，由，可得，解得， ②当时，由，可得，即，解得， .所以选择B. 6.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，则 所以，， 则，所以. 故选：D. 7.在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. [0,1] 【答案】C 【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1. 则M，C(1,1)， 所以＝，＝(1－x,1)， 所以·＝(1－x,1)· ＝(1－x)2＋. 因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤， 即·的取值范围是. 8.集合，，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，得，则， ，得，则， 所以. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.用表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 当时，的最小值为2 C. 不等式解集是 D. 方程的解集为 【答案】ACD 【解析】对于A，设x的整数部分为a，小数部分为b， 则， 因此，A正确； 对于B，当时，，若，则， 若，则，若，则， 因此，B错误； 对于C，由不等式，得，由表示不超过x的最大整数， 知，因此原不等式的解集为，C正确； 对于D，由，知为整数且，解得，显然， 于是， 因为，即，由， 解得，则， 由，解得或（舍去），因此， 即或， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以方程的解集为，D正确． 故选：ACD. 10.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【解析】x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，A不符合题意；当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a<2，B符合题意；因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，C符合题意；显然由a＝0能推出ab＝0，所以D符合题意． 11.已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则下列结论正确的是(　　) A. 直线A1C1与B1C是异面直线 B. A1D与B1C所成的角为60° C. A1C1⊥BD D. 直线A1C1与B1C所成的角为60° 【答案】ACD 【解析】由异面直线的定义知,A正确. 由平行四边形A1DCB1,知A1D∥B1C,故B错误. 如图,连接AC,由A1C1∥AC,AC⊥BD,知A1C1⊥BD,故C正确. D中,连接C1D, ∵B1C∥A1D, ∴∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角. 又A1D,DC1,A1C1为正方体的面对角线, ∴A1D=DC1=A1C1, ∴△A1DC1为等边三角形, ∴∠C1A1D=60°,即异面直线A1C1与B1C所成的角为60°. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.定义运算为：，例如：，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 当时，，所以的取值范围是， 故答案为：. 13.已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 【答案】[2，3) 【解析】因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 14.若幂函数图象过点(8，4)，则此函数的解析式是y＝________． 【答案】 【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数图象过点(8，4)，故有4＝8α，解得α＝，所以该函数的解析式是y＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知求实数a 的取值范围. 【答案】解　 当a>1时, 当0<a<1时, ∴a>1或 即 综上，实数a的取值范围是 16.函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】解：（1）对进行化简： . 因为为正三角形，为图像最高点， 所以正三角形的高为的最大值 . 设正三角形边长为，已知高，可得，即 . 由函数图像可知，函数的周期 . 则，解得 . （2）已知，且， 则， 两边同时除以，可得 . 因为， 所以 . 所以 . . 17.已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】解　(1)， . (2)由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 18.已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若时，的最小值为，求实数的值. 【答案】解：（1）因为 . 所以 . 解得 . 所以的单调递增区间是 . （2）令， 则 . 当时， . 正弦函数在上的值域为 . 则的值域为 . 因为的最小值为，即，解得 . 19.已知全集．集合，，． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】解：（1）由，得，则，故. 由，得，则，故. 因为全集，所以或，则. （2）①当时，则，解得； ②当时，若，则或，解得. 综上所述，或，即的取值范围为. 第1页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$