精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州2024-2025学年高二下学期7月期末学业质量监测数学试题

黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 高二数学 （本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为公差不为0的等差数列，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以， 故选：B. 2. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 3. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 4. 若随机变量，且，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质可得，再利用二次函数求出最值即可. 【详解】由随机变量，且，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以有有最小值，无最大值. 故选：B 5. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正三棱锥的性质，结合线面角的定义即可求解正弦值. 【详解】 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，可设底面边长为1，侧棱长为2 连接顶点与底面中心，如图所示: 由底面正三角形的中心到点A的距离为， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为：， 则侧棱与底面所成角的正弦值为：， 故选：C. 6. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 11 B. 14 C. 11或23 D. 14或23 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 7. 某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算得解. 【详解】事件“选一人是男生”，“选一人发现近视”， 则，， 因此， 所以此人是男生的概率为. 故选：C 8. 设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定不等式并分离参数构造函数，利用导数求出最大值建立不等式即可得解. 【详解】对任意不等式，令， 求导得. 当时，，函数在上单调递增，值域为R，不符合题意; 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，. 所以原不等式恒成立的充分必要条件是（＊），即，亦即，故B错误，D正确； 当时，，条件（＊）成立，但C不成立，故C错误； 取，满足（＊），但，此时A不成立，故A错误. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差公式，结合随机变量线性关系的期望和方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，所以， 又因为，所以，故A错误； 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 由于，即，故C错误； 若，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即有最大值，故D正确； 故选：BD. 10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（ ） A. 共有种安排方式 B. 每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C. 丙独自一人在一家公司的概率为 D. 、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【详解】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. 当函数是单调函数时， B. 若，则的最小值为 C. 若恰有两个零点，则 D. 当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，举例说明判断A；求出最小值判断B；利用导数结合零点个数求出范围判断C；设出切点坐标，利用导数探讨方程解的集数判断D. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 对于A，当时，，函数是单调函数，A错误； 对于B，当时，，可得在上单调递减， 在上单调递增，，B正确； 对于C，当时，在上递减，函数至多有1个零点，不合题意； 当时，当时，；当时，，函数在 上递减，在上递增，， 由恰有两个零点，得，函数在上单调递增，， 因此，此时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 即当时，， ，函数在与上各有1个零点，从而，C正确； 对于D，当时，函数，求导得， 令过点的直线与曲线相切的切点为， 则切线方程为，即有， 整理得，令，求导得， 当时，，令，求导得， 即函数在上单调递增，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即方程有唯一解，则曲线有且仅有1条过原点的切线，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数公式和求导运算法则，即可求解参数和导数值. 【详解】由求导得：， 因为，所以， 则， 故答案为：3 13. 在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则_____. 附：，，. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，求出回归直线方程，进而求出. 【详解】依题意， ，， 则，， 因此关于的线性回归方程为， 当时，，残差；当时，，残差； 当时，，残差；当时，，残差， 因此，所以. 故答案为：1 14. 九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是_____；如图2，不同的九宫格共有_____种. 【答案】 ①. 6 ②. 8 【解析】 【分析】利用九宫格性质列式求解；确定九宫格中心位置的数字，再确定数字9所在位置，利用分步乘法计数原理求解即得. 【详解】设九宫格的三行（从上到下）的数字从左到右分别为；；， 而，则，由，得， 由，得，，解得，， 所以“?”处应填的数字是6； 数字5在九宫格的正中，数字9不能在九宫格的四个角上，否则：如，由， 知或中有一个数大于15，矛盾，因此数字9只能在与5同行或同列的4个位置之一， 此时1位置确定，而，角上数字可互换位置，其它数字只有一种填法， 所以不同九宫格共有种. 故答案为：6；8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极小值. （1）求的值及的极小值； （2）记点，求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）2，0； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极小值点求出并验证求解. （2）求出点，设出切点坐标，写出切线方程，再建立方程求出切点横坐标即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处有极小值，得，解得或， 当时，， 由，解得或；由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处有极小值，符合题意； 当时，， 由，解得或；由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因此函数处有极大值，不符合题意， 则，的极小值. 【小问2详解】 由（1）知，点，设过点的直线与曲线相切的切点为， 而，则切线方程为， 则，即，解得或， 故切线方程为或. 16. 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2024年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.2 19.8 2月 3.6 32.3 3月 4.5 41.6 4月 4.9 46.5 5月 6 55.4 参考数据：，. （1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程（结果精确到0.01）； （2）从2024年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名.依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）； （2）认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出经验回归方程. （2）完善列联表，计算的观测值，与临界值比对判断即可. 【小问1详解】 依题意，，， 则， ， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 依题意，列联表为： 参观马岭河峡谷 未参观马岭河峡谷 总计 参观万峰林 70 80 150 未参观万峰林 30 20 50 总计 100 100 200 零假设：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联， 由数表中数据经计算得，  依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据说明推断不成立， 即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 17. 2025年1月，人工智能（AI）领域被一颗重磅炸弹彻底引爆——DeepSeek以令人惊叹的速度迅速走红，成为全球瞩目的焦点，它以“低成本，高性能，开源普惠”重构了AI行业的竞争格局.黔西南州某中学高二年级学生小王拟使用DeepSeek生成范文以提升写作技能，需输入“作文标题”十“关键词”获取范文，若首次输入生成的范文满足需求（即“满意”），则停止输入；若不满意，则仅需修改“关键词”重新输入，以此类推，至多修改3次.已知第次输入获得“满意”范文的概率为，每次输入结果相互独立. （1）求小王输入3次才获得“满意”范文的概率； （2）设小王输入次数为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出所有可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 依题意，， 所以小王输入3次才获得“满意”范文的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为1，2，3，4， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 数学期望. 18. 已知，，为坐标原点，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2），是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）设点，利用给定等式建立方程，化简即可得轨迹方程. （2）设，利用三角形面积公式，结合向量运算可得，再利用点都在椭圆上联立求解即得. 【小问1详解】 设点，由，得， 即， 则，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 设， ， 则，由（1）知， ， 因此，， 所以为定值，该定值为. 19. 已知，，，设函数，，且与的最大值相等. （1）求，间的等量关系； （2）（ⅰ）证明：与都恰有1个零点； （ⅱ）记的零点为，的零点为，证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值；再利用导数分类讨论求出的最大值即可. （2）（ⅰ）利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理推理得证；（ⅱ）利用零点的定义，借助同构思想构造函数，利用导数确定单调性即可推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，； 函数的定义域为，求导得， 当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 由与的最大值相等，得，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，而，， 当时，，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点； 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点， 所以与都恰有1个零点. （ⅱ）依题意，，；，， 则，而，因此，， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，因此，由，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测 高二数学 （本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为公差不为0的等差数列，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 4 若随机变量，且，则有（ ） A 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 5. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（ ） A 11 B. 14 C. 11或23 D. 14或23 7. 某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则有最大值 10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（ ） A 共有种安排方式 B. 每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C. 丙独自一人在一家公司的概率为 D. 、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 11. 已知函数，则（ ） A. 当函数是单调函数时， B. 若，则的最小值为 C. 若恰有两个零点，则 D. 当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则_____. 13. 在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则_____. 附：，，. 14. 九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是_____；如图2，不同的九宫格共有_____种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极小值. （1）求的值及的极小值； （2）记点，求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2024年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.2 19.8 2月 3.6 32.3 3月 4.5 41.6 4月 4.9 46.5 5月 6 55.4 参考数据：，. （1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于经验回归方程（结果精确到0.01）； （2）从2024年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名.依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 2025年1月，人工智能（AI）领域被一颗重磅炸弹彻底引爆——DeepSeek以令人惊叹的速度迅速走红，成为全球瞩目的焦点，它以“低成本，高性能，开源普惠”重构了AI行业的竞争格局.黔西南州某中学高二年级学生小王拟使用DeepSeek生成范文以提升写作技能，需输入“作文标题”十“关键词”获取范文，若首次输入生成的范文满足需求（即“满意”），则停止输入；若不满意，则仅需修改“关键词”重新输入，以此类推，至多修改3次.已知第次输入获得“满意”范文的概率为，每次输入结果相互独立. （1）求小王输入3次才获得“满意”范文的概率； （2）设小王输入次数为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知，，为坐标原点，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2），是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 19. 已知，，，设函数，，且与的最大值相等. （1）求，间的等量关系； （2）（ⅰ）证明：与都恰有1个零点； （ⅱ）记的零点为，的零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $