10.1随机事件与概率课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概率 §10.1 随机事件与概率 §10.2 事件的相互独立性 §10.3 频率与概率 索引 必修 第二册 1 10.1.1 有限样本空间与随机事件 我们遇到过各种试验。在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语。它包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。 1. 随机试验 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 上述四个试验都有一个共同的特点：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示。 索引 §10.1 随机事件与概率 随机试验的特点： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。 【引例】请写出试验“抛两次枚硬币，观察正面、反面出现的情况”可能的结果。 正正，正反，反正，反反 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间。一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点。 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω= { ω1，ω2，…，ωn }为有限样本空间。有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了。 索引 §10.1 随机事件与概率 2. 随机事件 【引例】在试验“抛两次枚硬币，观察正面、反面出现的情况”中，“第一个硬币是正面”怎么表示？ “第一个硬币是正面”= { 正正，正反 } 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示。在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件，而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称Ø为不可能事件。必然事件与不可能事件不具有随机性。为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集。 索引 §10.1 随机事件与概率 【例1】判断下列事件哪些是随机事件，哪些是随机试验。 （1）记录某地一昼夜的最高温度和最低温度； （2）​抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为偶数； （3）从装有3个红球和2个蓝球的袋子中随机摸出1个球，摸到红球； （4）记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数； （5）将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数； （6）连续两次抛掷硬币，两次结果均为正面。 随机事件 随机事件 随机试验 随机事件 随机试验 随机试验 索引 §10.1 随机事件与概率 【例2】判断下列事件哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。 （1）抛一枚均匀的硬币，正面朝上；​​ ​​（2）​在标准大气压下，水加热到100℃时沸腾； （3）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽一张，抽到黑桃A； （4）一个三角形的内角和为190°； （5）明天太阳从西边升起； （6）掷一颗六面骰子，出现的点数小于7。 随机事件 必然事件 随机事件 不可能事件 不可能事件 必然事件 索引 §10.1 随机事件与概率 【例3】如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效。把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常。写出试验的样本空间。 用“1”表示元件正常工作，“0”表示元件失效状态。 元件A 元件B 元件C 总电路 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 索引 §10.1 随机事件与概率 索引 §10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算 1. 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B⊆A（或A⊇B）。 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B。 索引 §10.1 随机事件与概率 2. 和事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）。 3. 积事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点即在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）。 索引 §10.1 随机事件与概率 4. 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Ø，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）。 5. 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Ø，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为。 索引 §10.1 随机事件与概率 总结：事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件（和事件） A与B至少有一个发生 A∪B 或 A+B 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B 或 AB 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B在有且仅有一个发生 A∪B=Ω且A∩B=Ø 索引 §10.1 随机事件与概率 【例4】设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A，B，C中至少有一个发生； （4）A，B，C都发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C中不多于一个发生； （7）A，B，C中不多于两个发生； （8）A，B，C中至少有两个发生。 索引 §10.1 随机事件与概率 【例5】选择题 （1） （2） （3） C B C 索引 §10.1 随机事件与概率 拓展：事件的关系和运算的基本定律（设A，B，C为事件） （1）交换律：A∪B = B∪A；A ∩ B = B ∩ A （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C （3）分配律：A∪( B ∩ C ) = ( A∪B ) ∩ ( A∪C )； A ∩ (B∪C) = ( A∩B )∪( A ∩ C ) （4）德摩根律：； 索引 §10.1 随机事件与概率 10.1.3 古典概型 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小。对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示。 前面我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验。它们的共同特征有哪些？ （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型简称古典概型（等可能概型）。 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数。 索引 §10.1 随机事件与概率 下面我们来研究古典概型。 【例6】将一枚硬币抛掷三次。 （1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)； （2）设事件 A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2). 对于随机试验“将一枚硬币抛掷三次”中，设掷出正面为H，掷出反面为T，其样本空间为Ω={ HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT }，有23=8中结果。 （1）随机事件“恰有一次出现正面”包含的样本点为A1={ HTT，THT，TTH } （2）随机事件“至少有一次出现正面”包含的样本点为A2={ HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH } 索引 §10.1 随机事件与概率 【例7】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。 （1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； （2）求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”。 （1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果。用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m，n）表示这个试验的一个样本点。 因此该试验的样本空间Ω={（m，n）| m，n∈{ 1，2，3，4，5，6 } } 其中共有36个样本点。由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型。 索引 §10.1 随机事件与概率 （2）因为A={ (1，4)，(2，3),(3，2)，(4，1) }，所以n(A)=4，从而 因为B={ (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) }，所以n(B)=6，从而 因为C={ (2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5,1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) }，所以n(C)=15，从而 索引 §10.1 随机事件与概率 【探究】为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点。这样，(1，2)和(2，1)的结果将无法区别。 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={ (m，n) | m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≤n }，则n(Ω1)=21。其中，事件A =“两个点数之和是5”的结果变为A={ (1，4)，(2，3) }，这时P(A)=2/21。 可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1，1)和(1，2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此 P(A)=2/21是错误的。 索引 §10.1 随机事件与概率 总结：求解古典概型问题的一般思路 （1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）； （2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率。 索引 §10.1 随机事件与概率 【例8】从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人。 （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间； （2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率 解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组 (x1，x2)表示样本点。 （1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间 Ω1={ (B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2) } 不放回简单随机抽样的样本空间 Ω2={ (B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1) } 索引 §10.1 随机事件与概率 按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 Ω3={ (B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2) } （2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样 A={ (B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2) } 对于不放回简单随机抽样 A={ (B1，B2)，(B2，B1) } 因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以A=Ø，因此P(A)= 0。 索引 §10.1 随机事件与概率 上题表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层随机抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大，因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题。我们知道简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高。上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率。特别是，在按性别等比例分层随机抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现，所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要。 索引 §10.1 随机事件与概率 10.1.4 概率的基本性质 性质1 非负性：任何事件的概率都是非负的。 对任意的事件A，都有P(A)≥0。 性质2 规范性：在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生。 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(Ø)=0。 所以，对任意的事件A，概率的大小范围是 1≥P(A)≥0 索引 §10.1 随机事件与概率 性质3 互斥事件的加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么 性质4 对立事件的运算：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 推广（有限可加性）：若A1，A2，…，An是两两互不相容事件，则 索引 §10.1 随机事件与概率 性质5 单调性：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)。 性质6 一般事件的加法公式：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 推广1（三项加法）：若A1，A2，A3是任意三个事件，则 推广2（多项加法）：若A1，A2，…，An是任意n个事件，则 索引 §10.1 随机事件与概率 【例9】从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红桃”，事件B=“抽到方块”，P(A)=P(B)=1/4。那么 （1）C=“抽到红花色”，求 P(C)； （2）D=“抽到黑花色”，求 P(D)。 解：（1）因为C=A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件。根据互斥事件的概率加法公式，得 （2）因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件，因此 索引 §10.1 随机事件与概率 【例10】某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为 0.3，两天都下雨的概率为 0.1，试求： （1）至少有一天下雨的概率； （2）两天都不下雨的概率； （3）至少有一天不下雨的概率。 解：（1）设事件A=“第一天下雨”，事件B=“第二天下雨” 则至少有一天下雨的概率为 （2）两天都不下雨的概率为 （3）至少有一天不下雨的概率为 索引 §10.1 随机事件与概率 $$