21.1 一元二次方程 暑假衔接 讲义-2025-2026学年人教版九年级上册数学

21.1 一元二次方程 暑假衔接练习 使用说明 一、适用范围 本讲义适用于在暑假期间进行初中数学一元二次方程知识衔接学习的同学，可帮助同学们预习、巩固一元二次方程相关知识点，提升对该部分内容的理解与解题能力。 二、内容构成及使用方式 （一）选择题 1.题目特点： （1）涵盖了一元二次方程的定义、根的判别、根据实际问题列方程等多个方面的知识点。通过不同情境和条件设置，考查对一元二次方程相关概念及性质的准确理解。 2.使用建议： （1）对于考查定义的题目（如第1题），要牢记一元二次方程的一般形式（），仔细分析每个选项中方程的形式，看是否满足只有一个未知数且未知数最高次数是2的条件。例如，选项A的，符合一元二次方程的一般形式，可确定它是一元二次方程；而选项B分母含有未知数是分式方程，选项D含有两个未知数是二元一次方程，均不符合一元二次方程的定义。 （2）在涉及根的判别相关题目（如第2题），要理解当给定关于、、的条件时，如何将其与方程的根联系起来。比如已知，对于一元二次方程，当时方程变为，所以可以判断方程必有根。 （3）对于根据实际问题列方程的选择题（如第5题），要先分析清楚实际问题中的数量关系。比如单循环赛制中，比赛场数与球队数量之间的关系是（每支球队都要和除自己之外的其他球队比赛一场，但这样会重复计算一次，所以要除以2），根据已知共安排了28场比赛，可列出方程，从而选出正确选项。 （二）填空题 1.题目特点： （1）主要考查方程的解的概念、利用方程的根求代数式的值以及根据实际问题列出一元二次方程等内容。要求准确填写数值或列出符合题意的方程。 2.使用建议： （1）当已知某个值是方程的解时（如第6题），将该值代入方程中，通过计算得出所要求的式子的值。例如，把解代入方程，按照方程中各项的运算规则进行计算，就能求出相应的值。 （2）对于利用方程的根求代数式的值的题目（如第7题），先将已知根代入方程得到关于方程系数的一个关系式，再将这个关系式代入到要求的代数式中进行化简求值。比如已知一个根是方程的根，代入方程后得到一个等式，再把这个等式变形后的值代入到给定的代数式中，按照代数式的运算规则进行计算得出结果。 （3）在根据实际问题列方程的填空题（如第9题、第10题），要仔细分析实际问题中的等量关系。比如在互送贺卡问题中，每个人要给除自己之外的个人送贺卡，那么个人送贺卡的总数就是，已知全组共送贺卡110张，所以可列方程；在商品降价问题中，要明确每次降价后的价格是在上一次价格的基础上进行计算的，设平均每次降价的百分率为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格是，已知两次降价后售价为每件16元，可列方程。 （三）解答题 1.题目特点： （1）综合考查了一元二次方程的根的应用、代数式的化简求值以及与直线相关的知识（通过已知方程的根求直线所经过的象限）等内容。要求有较为完整的解题步骤和清晰的思路。 2.使用建议： （1）当已知一个值是方程的根时（如第11题、第13题），首先将该根代入方程中，得到一个关于方程系数的等式，然后对要求的代数式进行变形，使其能够利用这个等式进行化简求值。例如，把根代入方程后得到一个式子，再观察要求的代数式，通过对其进行添项、拆项等变形操作，将得到的等式代入其中，按照代数式的运算规则进行化简，最终得出结果。 （2）在求方程的另一个根以及相关系数的值的题目（如第12题），可以利用韦达定理（如果、是一元二次方程（）的两个根，那么，）或者将已知根代入方程求出系数的值，再解这个方程求出另一个根。比如已知一个根是3，代入方程求出的值，然后再解这个方程求出另一个根。 （3）对于涉及直线与一元二次方程根的关系的题目（如第14题），先将已知根代入方程求出相关系数的值，然后根据直线的一般式（这里和通过前面求出的系数确定），分析和的正负性，从而确定直线经过的象限。例如，把根代入方程求出系数后得到直线的表达式，再根据表达式中系数的正负情况判断直线经过的象限。 三、参考答案使用 在完成讲义上的题目后，可以对照参考答案部分查看自己的答题情况。对于做错的题目，要仔细分析参考答案中的解题思路和步骤，找出自己的错误原因，理解正确的解法，从而加深对一元二次方程相关知识点的掌握和运用能力。例如，如果自己在选择题第1题做错了，对照答案可知是对一元二次方程定义的理解不准确，那么就需要再次复习定义的相关内容，明确判断的标准。同样，对于填空题和解答题的错题，也要通过分析答案来总结经验教训，不断提升自己的解题水平。 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2=0 B．x+ =1 C．x+ =1 D．x+2y=1 2．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 3．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（　　） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（　　） A．1 B．1， C． D．以上都不对 5．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．若是关于的方程的解，则的值是　 　． 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 8．若x= 是一元二次方程 的一个根，则n的值为 　 　. 9．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　 　． 10． 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，该商品两次降价的百分率相同，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为　 　． 三、解答题 11．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值． 12．已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根. 13．先化简，再求值： ，其中a是方程x2+x﹣3=0的解. 14．已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，求直线 经过哪些象限. 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．2021 7．2027 8．1 9．x（x﹣1）＝110 10． 11．解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 12．解：设方程的另一个根为m，则 解得： ∴方程的另一个根为 ∴a=-1 3=-3. 13．解： = = = = ∵a是方程x2+x﹣3=0的解， ∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3， ∴原式= . 14．解：把 代入方程 ， 得： ， ∴ ， 由题意知： ， ∴ ， ∴ . ∴直线 经过的象限是第二、三、四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $$