第十章《二元一次方程组》暑假巩固复习 2024--2025学年人教版七年级数学下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十章《二元一次方程组》 知识点复习 一、 二元一次方程（组）的基本概念 1. 含有 两个 未知数 ，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程。 2. 使二元一次方程两边的值 相等 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解 。二元一次方程的解通常有 无数 个。 3. 把具有 相同未知数 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4. 二元一次方程组中各个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解通常有 唯一 组解（也可能无解或有无穷多解）。 5. 含有 三个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做三元一次方程。由 三个 一次方程组成的含有 三个 未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 二、 二元一次方程组的解法 核心思想：消元（化“二元”为“一元”） 解法1：代入消元法 6. 基本步骤： * 步骤1：从方程组中选一个系数比较 简单 的方程，将这个方程中的一个未知数用含有 另一个未知数 的代数式表示出来。 * 步骤2：将得到的这个代数式代入 另一个方程 中，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程 。 * 步骤3：解这个 一元一次方程 ，求出一个未知数的值。 * 步骤4：将求得的这个未知数的值代入 变形后的方程（或原方程中较简单的那个方程） 中，求出另一个未知数的值。 * 步骤5：把求得的两个未知数的值用 大括号 联立起来，就是方程组的解。 7. 关键点：选择 系数简单 或 易于变形 的方程进行变形。 解法2：加减消元法 8. 基本步骤： * 步骤1：观察方程组中同一个未知数的系数，利用 等式的性质 ，将两个方程适当变形，使其中一个未知数的系数 相等或互为相反数 。 * 步骤2：把变形后的两个方程 相加或相减 ，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程 。 * 步骤3：解这个 一元一次方程 ，求出一个未知数的值。 * 步骤4：将求得的这个未知数的值代入 原方程组中任意一个方程 中，求出另一个未知数的值。 * 步骤5：把求得的两个未知数的值用 大括号 联立起来 ，就是方程组的解。 9. 关键点：通过 乘以适当的数 使某个未知数的系数绝对值 相等 或变成相 相反数数 。 解法选择原则： 10. 当方程组中有一个方程的某个未知数的系数是 1或-1 时，用 代入消元法 比较简便。 11. 当两个方程中同一个未知数的系数 绝对值相等 或成 倍数关系 时，用 加减消元法 比较简便。 三、 二元一次方程组的应用（列方程组解应用题） 解题步骤：审、设、列、解、验、答 12. 审题：弄清题意，找出问题中的 已知量 和 未知量 ，以及它们之间的 等量关系 。 13. 设元：设出 两个 未知数（一般用 x, y 表示），注意单位。 14. 列方程组：根据找到的 两个 等量关系，列出 两个 方程，组成方程组。 15. 解方程组：用 代入法 或 加减法 求出方程组的解。 16. 检验： * 检验求得的解是否是 所列方程组的解 （计算过程是否正确）。 * 检验求得的解是否符合 问题的实际意义 。（非常重要！） 17. 作答：写出 完整 的答案（包括数值和单位）。 常见应用题类型及等量关系： 18. 和差倍分问题：总量 = 部分量之和/差，倍数关系（如：甲是乙的几倍）。 19. 行程问题： * 基本关系： 路程 = 速度 × 时间 。 * 相遇问题： 甲路程 + 乙路程 = 总路程 。 * 追及问题： 快者路程 - 慢者路程 = 原相距路程 （同向同时出发）。 20. 工程问题： * 基本关系： 工作量 = 工作效率 × 工作时间 。 * 合作问题： 甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 （常设总工作量为1）。 21. 配套问题： 某种部件总量 = 另一种部件总量 × 配套比例 （如：螺钉数 : 螺母数 = 1 : 2）。 22. 商品销售问题： * 利润 = 售价 - 进价 。 * 利润率 = (利润 / 进价) × 100% 。 * 打折： 售价 = 标价 × 折扣率 。 23. 数字问题：表示多位数（如：十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数为 10a + b ）。 24. 几何图形问题：利用周长、面积、体积公式等找等量关系（如：长方形周长 = 2(长 + 宽)，面积 = 长 × 宽）。 25. 年龄问题：年龄差 不变 ，年龄和/倍数随时间变化。 四、 三元一次方程组（选学/拓展） 26. 解三元一次方程组的基本思想是： 消元 。通过 代入法 或 加减法 ，逐步消去未知数，最终转化为 一元一次方程 求解。 27. 通常步骤：先消去 同一个 未知数，把三元一次方程组转化为 二元一次方程组 ，解出这个二元一次方程组后，再求消去的那个未知数的值。 五、 易错点与注意事项 28. 定义关键：二元一次方程要求 两个未知数 ，且 每一项 的次数都是 1 （整式方程）。 29. 解的形式：二元一次方程的解是一对 有序数对 (x, y)；二元一次方程组的解是 一组 有序数对。 30. 代入法：代入时一定要 加括号 ，防止符号错误。 31. 加减法：变形时方程两边要 同时乘以 同一个数；相加或相减时要 注意符号 。 32. 检验：解应用题时，双重检验（方程组解、实际意义）不可少！例如人数不能为分数或负数。 33. 设元清晰：设未知数时要明确，如“设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时”。 34. 单位统一：列方程前确保所有量的单位 一致 。 35. 配套比例：理解清楚“几个A配几个B”的比例关系。 知识点练习 一、选择题练习 1．下列方程：①；②x2﹣y2＝4；③；④5（x+y）＝7（x+y）；⑤8xy﹣7＝0．其中是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【解答】解：①，是二元一次方程； ②x2﹣y2＝4，不是二元一次方程； ③，不是二元一次方程； ④5（x+y）＝7（x+y），整理得2x+2y＝0，是二元一次方程； ⑤8xy﹣7＝0，不是二元一次方程． 所以是二元一次方程的是①④， 故选：B． 2．已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【解答】解：将代入原方程得：1﹣2a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴a的值为﹣1． 故选：A． 3．从方程中得出x与y的关系式为（　　） A．y＝2x B．y﹣2x＝2 C．y+3＝2x D．y﹣2x＝3 【解答】解：， ①×2﹣②，得2x﹣y＝﹣3， 3＝y﹣2x， 即y﹣2x＝3， 故选：D． 4．如果是关于x，y的方程ax+y＝7的解，那么a的值是（　　） A．3 B． C．﹣2 D．﹣5 【解答】解：把代入关于x，y的方程ax+y＝7中，得3a﹣2＝7， 解得a＝3， 故选：A． 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 6．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣6，4） B．（） C．（﹣6，5） D．（） 【解答】解：设长方形的长为x，宽为y， 则， 解得， 则|xB|＝2x，|yB|＝x+y； ∵点B在第二象限， ∴B（，）， 故选：D． 7．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm 【解答】解：设桌子的高度是x cm，长方体木块的长是a cm，宽是b cm， 由题意得， 解得：x＝78， ∴桌子的高度是78cm， 故选：B． 8．已知关于x、y的二元一次方程组和代数式2x﹣ny．若不论m取何有理数，2x﹣ny的值始终不变，则这个值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【解答】解：， ①﹣②得：y＝﹣m﹣1③， 把③代入①得：x＝2m+3， 把x＝2m+3和y＝﹣m﹣1代入2x﹣ny得： 2（2m+3）﹣n（﹣m﹣1） ＝4m+6+mn+n ＝4m+mn+6+n ＝m（4+n）+6+n， ∵不论m取何有理数，2x﹣ny的值始终不变， ∴4+n＝0， 解得：n＝﹣4， ∴这个值为：6+（﹣4）＝2， 故选：C． 9．如果是关于x，y的二元一次方程x+my＝2025的解，那么m的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2023 D．2023 【解答】解：∵方程x+my＝2025的解是， 将代入二元一次方程x+my＝2025中，得3+m＝2025， 解得m＝2022， 故选：A． 10．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将方程组，整理得， ∵方程组的解为：， ∴x1，． 解得x，y＝3； ∴关于x，y的方程组的解为：． 故选：B． 二、填空题练习 11．若x|a﹣1|+ay＝2025是二元一次方程，则a＝ 　2　 ．有 【解答】解：根据题意得|a﹣1|＝1且a≠0， 解得a＝2， 故答案为：2． 12．已知是方程ax+by＝1的解，则代数式4a﹣6b+5的值为　7　 ． 【解答】解：把代入方程ax+by＝1中，得2a﹣3b＝1， ∴4a﹣6b+5＝2（2a﹣3b）+5＝2×1+5＝7， 故答案为：7． 13．关于x，y的二元一次方程kx﹣2y＝5的解是，则k的值为 　3　 ． 【解答】解：把代入关于x，y的二元一次方程kx﹣2y＝5中，得3k﹣2×2＝5， 解得k＝3， 故答案为：3． 14．用加减消元法解方程组，由①×2﹣②得 　2x＝﹣3　 ． 【解答】解：①×2﹣②得， 6x+2y﹣（4x+2y）＝﹣2﹣1， 合并同类项得，2x＝﹣3． 15．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　　 ． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 16．若是关于x，y的二元一次程组的解，则a+b的值是　3　 ． 【解答】解：将代入原方程组得：，①+②得：3（a+b）＝9， ∴a+b＝3． 故答案为：3． 17．已知是关于x和y的二元一次方程ax+by＝0的解，则的值是　　 ． 【解答】解：已知是关于x和y的二元一次方程ax+by＝0的解， 则2a﹣b＝0， 那么2a＝b， 因此， 故答案为：． 18．已知是关于x，y二元一次方程mx+ny＝4的解，则代数式4m+6n﹣5的值是　3　 ． 【解答】解：把方程组的解代入mx+ny＝4可得2m+3n＝4， ∴4m+6n﹣5＝2（2m+3n）﹣5＝2×4﹣5＝3． 故答案为：3． 19．根据下图给出的信息，求出买1件T恤衫和2瓶矿泉水的价格为 　24　 元． 【解答】解：设买1件T恤衫和1瓶矿泉水的价格分别是x元，y元． 则， 解得． 所以买1件T恤衫和2瓶矿泉水的价格为24元． 故答案为：24． 20．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于x，y，m，n的取值，下列说法：①x+y的值一定是2；②若x＝1，则y＝3；③若x﹣y＝0，则m＝3；④若n＝6，则y＝0；正确的是 　①③④　 ． 【解答】解：由题意得， ②﹣①得2x＝n﹣m， 解得x， 把x代入①得2y＝m， 解得y， ∴， 观察图形可知：m+n＝8， ①+②得：4x+4y＝m+n＝8， ∴x+y＝2， ∴①的说法正确； ∵x+y＝2， ∴当x＝1时，y＝1， ∴②的说法错误； 若x﹣y＝0，则， 解得， ∴， 解得， ∴③的说法正确； 若n＝6，则m+6＝8，解得m＝2， ∴y0， ∴④的说法正确； 综上所述，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题练习 21．解下列方程组： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）， ①×2，得4x+2y＝2③， ②+③，得7x＝﹣7， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①，得y＝3， 所以方程组的解是； （Ⅱ）， 方程组可化为， ①﹣②，得5y＝﹣25， 解得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入①，得x＝2， 所以方程组的解是． 22．解方程组：． 【解答】解：， ①+②得：4a﹣4c＝12， 即a﹣c＝3④， ③﹣②得：3a+3c＝﹣3， 即a+c＝﹣1⑤， ④+⑤得：2a＝2， 解得：a＝1， 将a＝1代入⑤得：1+c＝﹣1， 解得：c＝﹣2， 将a＝1，c＝﹣2代入②得：1﹣2b+2＝5， 解得：b＝﹣1， 故原方程组的解为． 23．一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 【解答】解：设大盒与小盒每盒分别装x瓶和y瓶．依题意得： 解此方程组，得 答：大盒与小盒每盒分别装20瓶和12瓶． 24．已知关于x，y的二元一次方程组； （1）求x（用含a的代数式表示）； （2）判断代数式：①x+2y；②2x+y；哪个代数式为定值？并说明理由． 【解答】解：（1）， ①+②，得2x＝2a﹣6， 化简得：x＝a﹣3； （2）2x+y为定值，理由如下： ②×3，得3x+3y＝﹣21﹣3a③， ①+③，得3x+x+3y﹣y＝﹣20， ∴4x+2y＝﹣20， ∴2x+y＝﹣10， ∴代数式②2x+y为定值﹣10． 25．已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）如果方程组的解是，当点P（a，b）到x轴的距离大于3时，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由x+2y＝5得：x＝5﹣2y， ∴方程组的正整数解为：，． （2）解得， 把x＝﹣5，y＝5代入x﹣2y+m+9＝0得：﹣5﹣2×5+m+9＝0， 解得：m＝6． （3）由题意得：， ①﹣②得：4b﹣m﹣9＝5， ∴b， ∵当点P（a，b）到x轴的距离大于3， ∴b＞3，或b＜﹣3， ∴3或3， 解得：m＞﹣2或m＜﹣26． 26．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： ①+②得：11x+11y＝11，即x+y＝1． 再②﹣①得：x﹣y＝9， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）方程组的解为 　　 ； （2）利用轮换对称解法解方程组． 【解答】解：（1）， ①+2得：x+y＝1③， ②﹣①得：x﹣y＝9④， ③+④得：x＝5， 把x＝5代入①得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （2）， ①+②得：x+y＝2③， ②﹣①，得x﹣y＝4④， ③+④得：x＝3， 把 x＝3 代入③得：y＝﹣1， ∴方程组的解为：． 27．背景：随着全球气候变暖问题日益严重，低碳生活已经成为我们每个人的责任．碳足迹是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算碳足迹，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，并采取行动减少碳排放． 任务一：了解家庭“碳足迹”并计算下面出现的x和y的值． （1）家庭用电情况：记录家庭一个月的用电量，假设每消耗1千瓦时电产生0.6千克二氧化碳． （2）家庭用水情况：记录家庭一个月的用水量，假设每使用1立方米水产生x千克二氧化碳． （3）家庭用气情况：记录家庭一个月的用气量，假设每使用1立方米天然气产生2千克二氧化碳． （4）家庭出行情况：记录家庭一个月内乘坐汽车的里程数，假设每行驶1千米汽车产生y千克二氧化碳． 小强家今年4月份和5月份家庭活动及总碳足迹情况如表： 活动 时间 用电 （千瓦时） 用水 （立方米） 用气 （立方米） 出行 （千米） 总碳足迹 （千克） 4月份 90 30 7 200 145 5月份 120 30 10 500 244 （提示：总碳足迹＝用电碳足迹+用水碳足迹+用气碳足迹+出行碳足迹） 任务二：设计低碳生活行动方案 在任务一的条件下，通过计算，分析小强家庭4月份哪部分活动（用电、用水、用气、出行）的碳足迹最高？假设你是小强，你认为怎么做可以减少家庭的碳排量？ 【解答】解：（任务一）根据题意得：， 解得：． 答：x的值为0.9，y的值为0.25； （任务二）小强家庭4月份用电的碳足迹为0.6×90＝54（千克）； 小强家庭4月份用水的碳足迹为0.9×30＝27（千克）； 小强家庭4月份用气的碳足迹为2×7＝14（千克 ）； 小强家庭4月份出行的碳足迹为0.25×200＝50（千克）． ∵54＞50＞27＞14， ∴小强家庭4月份用电的碳足迹最高，节约用电及绿色出行可以减少家庭的碳排量． 28．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“镜像方程”．例如方程5x+6y＝8的“镜像方程”为8x+6y＝5． （1）写出3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”　﹣x﹣2y＝3　 ，以及它们组成的方程组的解为　　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求mn的平方根； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝p（m≠n）的一个解，请直接写出代数式m（n﹣m）+p（p﹣n）+52的值． 【解答】解：（1）方程3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”是﹣x﹣2y＝﹣1， ， ①﹣②，得4x＝﹣4， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入②，得1﹣2y＝3， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为． 故答案为：﹣x﹣3y＝2，． （2）关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与它的镜像方程”组成的方程组为， ①﹣②，得﹣2x＝2， 解得x＝﹣1， ∴x＝m＝﹣1； 将x＝m＝﹣1代入①，得﹣7﹣y＝9， 解得y＝﹣16， ∴n＝y＝﹣16． ∴mn＝16，即mn的平方根为±4． （3）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c与它的“镜像称方程”组成的方程组为， ①﹣②，得（a﹣c）x＝c﹣a， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①，得﹣a+by＝c， 解得y， ∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b， ∴y＝﹣1， ∴方程组的解为， 将代入mx﹣ny＝p，得﹣m+n＝p，即n﹣m＝p，﹣m＝p﹣n， ∴m（n﹣m）+p（p﹣n）+52＝pm﹣pm+52＝52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十章《二元一次方程组》 知识点复习 一、 二元一次方程（组）的基本概念 1. 含有 两个 ，并且含有未知数的项的次数都是 的方程，叫做二元一次方程。 2. 使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 。二元一次方程的解通常有 个。 3. 把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4. 二元一次方程组中各个方程的 ，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解通常有 组解（也可能无解或有无穷多解）。 5. 含有 三个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的方程，叫做三元一次方程。 由 一次方程组成的含有 未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 二、 二元一次方程组的解法 核心思想：消元（化“二元”为“一元”） 解法1：代入消元法 6. 基本步骤： * 步骤1：从方程组中选一个系数比较 的方程，将这个方程中的一个未知数用含 有 的代数式表示出来。 * 步骤2：将得到的这个代数式代入 中，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程 。 * 步骤3：解这个 一元一次方程 ，求出一个未知数的值。 * 步骤4：将求得的这个未知数的值代入 中，求出另一个未知数的值。 * 步骤5：把求得的两个未知数的值用 联立起来，就是方程组的解。 7. 关键点：选择 或 的方程进行变形。 解法2：加减消元法 8. 基本步骤： * 步骤1：观察方程组中同一个未知数的系数，利用 ，将两个方程适当变形，使其中一个未知数的系数 。 * 步骤2：把变形后的两个方程 ，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程 。 * 步骤3：解这个 一元一次方程 ，求出一个未知数的值。 * 步骤4：将求得的这个未知数的值代入 中，求出另一个未知 数的值。 * 步骤5：把求得的两个未知数的值用 大括号 ，就是方程组的解。 9. 关键点：通过 乘以适当的数 使某个未知数的系数绝对值 或变成 相 。 解法选择原则： 10. 当方程组中有一个方程的某个未知数的系数是 时，用 比较简便。 11. 当两个方程中同一个未知数的系数 或成 时，用 比较简便。 三、 二元一次方程组的应用（列方程组解应用题） 解题步骤：审、设、列、解、验、答 12. 审题：弄清题意，找出问题中的 和 未知量 ，以及它们之间 。 13. 设元：设出 未知数（一般用 x, y 表示），注意单位。 14. 列方程组：根据找到的 等量关系，列出 ，组成方程组。 15. 解方程组：用 求出方程组的解。 16. 检验： * 检验求得的解是否是 所列方程组的解 （计算过程是否正确）。 * 检验求得的解是否符合 问题的实际意义 。（非常重要！） 17. 作答：写出 完整 的答案（包括数值和单位）。 常见应用题类型及等量关系： 18. 和差倍分问题：总量 = 部分量之和/差，倍数关系（如：甲是乙的几倍）。 19. 行程问题： * 基本关系： 路程 = 速度 × 时间 。 * 相遇问题： 甲路程 + 乙路程 = 总路程 。 * 追及问题： 快者路程 - 慢者路程 = 原相距路程 （同向同时出发）。 20. 工程问题： * 基本关系： 工作量 = 工作效率 × 工作时间 。 * 合作问题： 甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 （常设总工作量为1）。 21. 配套问题： 某种部件总量 = 另一种部件总量 × 配套比例 （如：螺钉数 : 螺母数 = 1 : 2）。 22. 商品销售问题： * 利润 = 售价 - 进价 。 * 利润率 = (利润 / 进价) × 100% 。 * 打折： 售价 = 标价 × 折扣率 。 23. 数字问题：表示多位数（如：十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数为 10a + b ）。 24. 几何图形问题：利用周长、面积、体积公式等找等量关系（如：长方形周长 = 2(长 + 宽)，面积 = 长 × 宽）。 25. 年龄问题：年龄差 不变 ，年龄和/倍数随时间变化。 四、 三元一次方程组（选学/拓展） 26. 解三元一次方程组的基本思想是： 。通过 ，逐步消去未知数，最终转化为 求解。 27. 通常步骤：先消去 未知数，把三元一次方程组转化为 ，解出这个二元一次方程组后，再求消去的那个未知数的值。 五、 易错点与注意事项 28. 定义关键：二元一次方程要求 两个未知数 ，且 每一项 的次数都是 1 （整式方程）。 29. 解的形式：二元一次方程的解是一对 有序数对 (x, y)；二元一次方程组的解是 一组 有序数对。 30. 代入法：代入时一定要 加括号 ，防止符号错误。 31. 加减法：变形时方程两边要 同时乘以 同一个数；相加或相减时要 注意符号 。 32. 检验：解应用题时，双重检验（方程组解、实际意义）不可少！例如人数不能为分数或负数。 33. 设元清晰：设未知数时要明确，如“设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时”。 34. 单位统一：列方程前确保所有量的单位 一致 。 35. 配套比例：理解清楚“几个A配几个B”的比例关系。 知识点练习 一、选择题练习 1．下列方程：①；②x2﹣y2＝4；③；④5（x+y）＝7（x+y）；⑤8xy﹣7＝0．其中是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 2．已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 3．从方程中得出x与y的关系式为（　　） A．y＝2x B．y﹣2x＝2 C．y+3＝2x D．y﹣2x＝3 4．如果是关于x，y的方程ax+y＝7的解，那么a的值是（　　） A．3 B． C．﹣2 D．﹣5 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（　　） A．（﹣6，4） B．（） C．（﹣6，5） D．（） 7．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm 8．已知关于x、y的二元一次方程组和代数式2x﹣ny．若不论m取何有理数，2x﹣ny的值始终不变，则这个值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 9．如果是关于x，y的二元一次方程x+my＝2025的解，那么m的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2023 D．2023 10．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题练习 11．若x|a﹣1|+ay＝2025是二元一次方程，则a＝ 　 　 ． 12．已知是方程ax+by＝1的解，则代数式4a﹣6b+5的值为　 　 ． 13．关于x，y的二元一次方程kx﹣2y＝5的解是，则k的值为 　 　 ． 14．用加减消元法解方程组，由①×2﹣②得 　 　 ． 15．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　 　 ． 16．若是关于x，y的二元一次程组的解，则a+b的值是　 　 ． 17．已知是关于x和y的二元一次方程ax+by＝0的解，则的值是　 　 ． 18．已知是关于x，y二元一次方程mx+ny＝4的解，则代数式4m+6n﹣5的值是　 　 ． 19．根据下图给出的信息，求出买1件T恤衫和2瓶矿泉水的价格为 　 　 元． 20．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于x，y，m，n的取值，下列说法：①x+y的值一定是2；②若x＝1，则y＝3；③若x﹣y＝0，则m＝3；④若n＝6，则y＝0；正确的是 　 　 ． 三、解答题练习 21．解下列方程组： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 22．解方程组：． 23．一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 24．已知关于x，y的二元一次方程组； （1）求x（用含a的代数式表示）； （2）判断代数式：①x+2y；②2x+y；哪个代数式为定值？并说明理由． 25．已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）如果方程组的解是，当点P（a，b）到x轴的距离大于3时，求m的取值范围． 26．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： ①+②得：11x+11y＝11，即x+y＝1． 再②﹣①得：x﹣y＝9， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）方程组的解为 　 　 ； （2）利用轮换对称解法解方程组． 27．背景：随着全球气候变暖问题日益严重，低碳生活已经成为我们每个人的责任．碳足迹是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算碳足迹，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，并采取行动减少碳排放． 任务一：了解家庭“碳足迹”并计算下面出现的x和y的值． （1）家庭用电情况：记录家庭一个月的用电量，假设每消耗1千瓦时电产生0.6千克二氧化碳． （2）家庭用水情况：记录家庭一个月的用水量，假设每使用1立方米水产生x千克二氧化碳． （3）家庭用气情况：记录家庭一个月的用气量，假设每使用1立方米天然气产生2千克二氧化碳． （4）家庭出行情况：记录家庭一个月内乘坐汽车的里程数，假设每行驶1千米汽车产生y千克二氧化碳． 小强家今年4月份和5月份家庭活动及总碳足迹情况如表： 活动 时间 用电 （千瓦时） 用水 （立方米） 用气 （立方米） 出行 （千米） 总碳足迹 （千克） 4月份 90 30 7 200 145 5月份 120 30 10 500 244 （提示：总碳足迹＝用电碳足迹+用水碳足迹+用气碳足迹+出行碳足迹） 任务二：设计低碳生活行动方案 在任务一的条件下，通过计算，分析小强家庭4月份哪部分活动（用电、用水、用气、出行）的碳足迹最高？假设你是小强，你认为怎么做可以减少家庭的碳排量？ 28．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“镜像方程”．例如方程5x+6y＝8的“镜像方程”为8x+6y＝5． （1）写出3x﹣2y＝﹣1的“镜像方程”　 　 ，以及它们组成的方程组的解为　 　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程7x+my＝9与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求mn的平方根； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝p（m≠n）的一个解，请直接写出代数式m（n﹣m）+p（p﹣n）+52的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$