广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学模拟试卷

★启用前绝密 2025年惠来一中高二数学期末模拟试卷 一、单选题 1. 已知复数与复数都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2.直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 40 C. D. 80 4.已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 1678 B. 1666 C. 1472 D. 1460 5.椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6.设，若函数在递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 8. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ ） A. 点在直线上 B. C. 外接圆的面积为 D. 连结交轴于点，则 10. 对于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有3个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离 D. 若是曲线上任意一点，则的最大值为 三、填空题 12. 已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值是 ． 13. 若圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是 ． 14.浙江省金华市某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 6 y/千人 5 6 8 9 12 20 参考数据： 附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式： 现用曲线拟合变量与的相关关系，并课利用一元线性回归模型求参数，的最小 二乘估计，依所求回归方程为预测依据，则 .（精确到） 四、解答题 15.为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数； (2)假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且. （i）求和；（ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）在曲线上，是否存在三个不同的点、、， 使得、、成等比数列，且的图象在点处的切线与直线平行?若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由． 17.如图，四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，动点在内（含边界）且. ①求动点的轨迹的长度；②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 18.已知椭圆：的右焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 19. 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和． （1）若数列，，， ①写出，；②求数列的前项和； （2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值． ★启用前绝密 2025年惠来一中高二数学期末模拟试卷参考答案 1.【答案】D【解析】【分析】设，由题意列出方程组，求解即可. 【详解】解：设，则，，由题意可得, 解得，所以.故选：D. 2.【答案】A【解析】【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 即，故选：A． 3.【答案】B【解析】【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式，令，得， 所以在的展开式中，常数项为.故选：B． 4.【答案】B【解析】【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可. 【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2，其通项公式为，令，得， 故，则，故选：B. 5．【答案】D【详解】由题意可得，由椭圆方程可得，，解的方程可得的值. 解答：椭圆的焦点在轴上，即有，由椭圆方程可得，，， 由长轴长是短轴长的2倍，可得，解得；故选：D. 6.【答案】B【解析】【分析】把函数在递增利用导数转化为在上恒成立，利用指数函数单调性得，解对数不等式即可得解. 【详解】因为函数在递增，所以在上恒成立，则，即在上恒成立， 由函数单调递增得，又，所以，所以，所以即，解得， 所以的取值范围是.故选：B 7.【答案】B【解析】【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在图1中的几何体中，水的体积为，在图2的几何体中，水的体积为，因为，可得，解得.故选：B. 8.【答案】B【解析】【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求出，再根据二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】，令，则，所以或，所以或， 所以或，又因为，所以，所以. 故选：B.【点睛】关键点点睛：根据得出，是解决本题的关键. 9.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，结合图像，利用双曲线焦点三角形的内切圆的特征，可求出，得到双曲线方程及焦点坐标，根据内切圆的性质可推理出是直角三角形，并求得点坐标为，再根据选项要求分别判断即可. 【详解】根据题意，设的内切圆半径为，则，设内切圆与边的切点为， 则有，，结合双曲线定义和内切圆的性质可得，即.所以双曲线的方程为，焦点. 对于A，点在直线上，故A正确；由题意，点在第一象限，设内切圆与边的切点为，连接，易知且，则四边形是正方形，即有，易得点坐标为.对于B，在中，,根据勾股定理，，，所以，故B错误；对于C，由已知条件可知，三角形外接圆半径，所以圆面积为，故C正确；对于D，在中，因为，所以，则，故D正确.故答案为：ACD. 10.【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据周期的定义即可判断；对于B，令即可求得零点；对于CD，对求导，令，判断单调性即可. 【详解】对于A，因为， 所以是的一个周期，A正确；对于B，当，时，，即，即或， 解得或或，所以在上有个零点，故B正确； 对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可. ，则， 令，求得或，所以当或时，， 此时，则在上单调递增， 当时，，此时，但不恒为0， 则在上单调递减，则当时，函数取得最大值， 为，C正确；对于D，由C可知，在上不是 增函数，D错误.故选：ABC 11.【答案】ABD【解析】【分析】对A，若点在曲线上，由是否满足曲线的方程判断；对B，由曲线的对称性可令，结合可得，利用二次函数求得最值；对C，举反例说明；对D，根据题意，当点位于第二象限时，取得最大值，令，将代入，利用判别式判断. 【详解】对于A，若点在曲线上，则都满足曲线的方程，所以曲线关于轴对称，故A正确；对于B，设点在曲线上，根据选项A，同理可得曲线关于轴，坐标原点对称， 由曲线的对称性可令，则，所以， 则，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确；对于C，易知是上一点，该点到原点的距离不等于到直线的距离，故C错误；对于D，由曲线的对称性可知，当点位于第二象限时，取得最大值， 所以，令，将代入，可得，解得，即的最大值为，故D正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键. 12.【答案】【解析】【分析】通过平方即可求解；【详解】因为，平方可得：，所以，则．故答案为： 13. 【答案】【解析】【分析】求出圆圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上恰有两个点到直线的距离为， 则，即，解得或． 因此，实数的取值范围是.故答案为：. 14.【答案】【分析】利用题目的数据，得出，的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个选项判断即可.【详解】由题知，，，，， 所以，,故答案为. 15.【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出的值，再利用频率分布直方图计算平均数公式计算平均数即可；（2）（i）解法一：利用条件概率和全概率公式求解，解法二：由列联表利用古典概型的概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【详解】（1），解得， 所以每天体育锻炼时间的平均数为. （2）（i）解法1：（概率性质）由频率分布直方图可知，所以， 因为，所以，， 所以，解得. 解法2：（古典概型）由频率直方图可知，由列联表： 合计 合计 可知，解得，所以. （ii）由（2）可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以，解得，所以取最小值15， 所以该样本至少有人. 16.【解析】【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）假设这样的点、、存在，则，结合化简得出，不妨设，令，则，得，设，利用导数分析该函数的单调性，推导出，即可得出结论. 小问1详解】因为，则，则， 因此，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】假设这样的点、、存在，则，直线的斜率为， 即，即， 故，所以， 不妨设，令，则，得． 设，则， 令，则，所以在上单调递增． 所以，即，在上单调递增，， 所以方程无解．故这样的点、、不存在． 17.【解析】【分析】（1）通过证明平面，可完成证明；（2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】由，可知，三角形为等腰直角三角形，， ，又因为，由余弦定理得：， 即得，，因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】①依题意，建立如图坐标系，设的坐标为，， 由，化简得：，即， 设线段的中点，则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，1为半径的四分之一圆弧，故其长度为. ②由①可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以，综上所述，. 18.【解析】【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而得解； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，分析、的斜率均存在，由，即可得证； （ii）设的中点为，求出的垂直平分线，即可求出点坐标，再由表示出三角形的面积，再换元，利用导数求出函数的最大值. 【小问1详解】依题意可得，解得，则，所以椭圆方程为； 【小问2详解】（i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则，所以，，若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意），所以、的斜率均存在， 所以， 又，所以，即， 又因为、均在椭圆上，由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以，所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 19. 【解析】【分析】（1）①因为的正因数有1，3，9，所以，； ②的正因数有，由等比数列求和公式得到，裂项相消得到，求和得到答案； （2）分别计算出，，，，，，得到，；因为，故，，，结合，得到，，，所以． 【小问1详解】①因为的正因数有1，3，9，所以，； ②由题意可知：的正因数有， 则，， 可得， 所以． 【小问2详解】为素数，的正因数组成的集合为，，；的正因数组成的集合为，，；的正因数组成的集合为，，；的正因数组成的集合为，则， ， 所以，．因为，所以，，，由（2）知，，则，，，所以． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 47 1 学科网（北京）股份有限公司 $$