广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学复习专项练习（三角函数、解三角形）

惠来一中高二三角函数、解三角形期末复习 一、单选题 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 2. 在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 3.已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 4.若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5.已知函数在区间上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(       ) A． B． C． D． 6.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 8.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的 是（    ） A． B．若，，则满足条件的△ABC有两个 C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为 D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是 三、填空题 9. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占， 则. 10.已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 四、解答题 11. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小；（2）若，，求的面积． 12. 已知函数()，点A是图象上的一个最高点，B、C为图象的 两个对称中心，面积的最小值为． （1）求的值；（2）在区间上有20个极值点，求实数m的取值范围． 13. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角；（2）若的角平分线交于点，求. 14.如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，. （1）求； （2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值. 惠来一中高二三角函数、解三角形期末复习参考答案 1.【答案】D【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算.【分析】先用诱导公式化简，变形求得，再根据二倍角公式及齐次式化简求解即可. 【详解】，所以， 即，所以，所以.故选：D. 2.【答案】C【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 整理得，由余弦定理得，而，所以. 3.【答案】C【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据余弦函数的对称中心在其图象上，将代入解析式可求得，再利用余弦函数单调性求出单调递增区间即可的答案.【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，，又，所以，得函数， 令，，即，；故的单调递增区间为，，而当时，单调递增区间为，又，所以C正确，其余区间都不符合题意.故选：C. 4.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式建立方程，求出，再利用同角公式计算即可.【详解】显然，而， 因此，解得，由，得， 所以.故选：D 5．D【详解】∵，，∴， 函数在区间上恰有3个零点，则如图，﹒故选：D． 6.【答案】D【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用.【分析】根据三角形面积公式，以及和差角公式可得，根据三角函数的性质以及基本不等式可得，且,以及，即可代入求解. 【详解】由可得, 故， 由于,当且仅当,以及时，等号成立，结合， 因此，且,以及，故,因此，故选：D 7.【答案】ABC【解析】【分析】借助二倍角公式可得，结合奇函数定义计算可得A；由正弦型函数的周期性计算可得B；由正弦函数的值域计算可得C；由正弦型函数的单调性计算可得D.【详解】；对A：定义域为， ，故是奇函数，故A正确； 对B：，故的最小正周期为，故B正确； 对C：由，则，故C正确； 对D：令，则， 故在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：ABC. 8.【答案】ACD【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】A根据面积公式和余弦定理得即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦公式可得，根据正弦定理得，结合角的范围即可判断；C根据题意，平方后得，结合基本不等式得，根据面积公式即可判断；D令，则，根据正弦定理得，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断. 【详解】对于A，，则，根据余弦定理得，即，由，故A正确； 对于B，根据正弦定理可得，, 即，由，， 根据正弦定理得，，由，故只有一解，故B错误；对于C，， ，即，，，即，当且仅当，即时等号成立， 所以，即△ABC面积的最大值为，故C正确； 对于D，令，则，在中，根据正弦定理得， ，在上单调递减，所以当时，有最大值，当时，有最小值，所以的取值范围是，故D正确.故选：ACD. 9.【答案】①. (也可以写成) ②. 72 【解析】【分析】再中由正弦定理可得，在中求解即可；由正态分布的3原则建立不等式求解即可. 【详解】（1）中，，， 在中，.(结果还可以是) （2）由于，因此，所以， 故至少要测量72次.故答案为：(也可以写成)；72 【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解原则，学会利用原则求解相关问题，属于中档题. 10.【答案】【解析】【分析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，， 即 则， 当且仅当时取到等号；故答案为【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题. 11.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解；（2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】在中，，由正弦定理得， ．又，， ，，，，． 【小问2详解】在中，，，，由正弦定理得，，由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 12.【解析】【分析】（1）由题意可知由题意可知：，进而结合面积关系运算求解； （2）由（1）可知：，以为整体，结合正弦函数的性质列式求解. 【小问1详解】因为，则的最小正周期，由题意可知：， 可得面积的最小值，解得. 【小问2详解】由（1）可知：，因为，则， 又因为在区间上有20个极值点，则， 解得，所以实数m的取值范围是. 13.【解析】【分析】（1）借助正弦定理边化角后，借助两角和的正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理可得，利用等面积法结合三角形面积公式计算即可得解. 【小问1详解】由正弦定理可得， 即有， 即，又，故， 即，又，故； 【小问2详解】，即， 即，即，即， 由余弦定理可得， 即，故. 14.【分析】（1）由已知可推出，整理得到.根据的范围可得，进而即可得出； （2）由已知可得，进而根据即可得出，根据，即可得出三角形面积的最大值. 【解析】（1）已知，由正弦定理可得 ，由， 所以，即，所以. 因为，，，所以，则，所以. （2）在中，由余弦定理得知：， 即，因为，所以. 因为，所以. ，.因为，，所以，当，即时，面积有最大值. 47 1 学科网（北京）股份有限公司 $$