第4章《相似三角形》单元检测 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

第4章《相似三角形》单元检测2025-2026学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．如图，已知直线，，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3． 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C， 然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离． 有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 4． 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m， 则她的影长为（    ） A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m 5． 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB， 他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上． 纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m， 则树高AB为（    ） A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m 7． 如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小， 则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 8. 如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点， 则：（    ） A．： B．： C．： D．： 9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为； 动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动， 那么经过（    ）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 10 .如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点， 连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11． 已知，则的值为___________． 12 . 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图． 点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处， 已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米， 那么该古城墙的高度CD是 米． 13． 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个， 不能得出和相似的是： （填序号）． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE︰BC＝2︰3，AC与DE相交于点F， 若S△AFD＝9，则S△EFC＝ ． 15. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示， 此时液面 . 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G， 连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=． 在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分） 17．已知：，求的值． 18．如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．    19. 小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B， 此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米， 请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 20. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1) 求证：△AEF∽△ABC； (2) 如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 21．如图， 在中， 点P是的边上的一点． (1) 请判断三人的说法的对错： 小星 ，小红 ， 小亮 ．（填“对”或“错”） (2) 选择一种正确的方法， 求证： ； (3) 在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 22 .如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． (1) 求证：∠DAF＝∠CDE； (2) 求证：△ADF∽△DEC； (3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长. 23．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 24．已知：正方形与正方形共顶点C． 连，． (1) 探究： 如图1，点E在正方形的边上，点F在正方形的边上， 连接．则与间的数量关系是： ． (2) 拓展： 将如图2中正方形绕点C顺时针方向旋转α角（）， 图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3) 运用： 正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时， 如图3所示，延长交于点H．若，则 参考解答 一、选择题： 1．C 2．A 3. D 4. C 5. A 6. D 7． D 8. D 9. C 10 .B 3、 填空题：11． 12 . 8 13.③ 14.4 15.3 16.①②④． 三、解答题： 17．解：将两边减去1得， ．        ∴ ． 18．解：∵， ∴， ∴，即， 解得2， 故CD长为2． 19.解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 20.（1）解：（1）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 21．（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错 （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 解得．负值舍去 22 。解：如图： （1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B=∠ADC ∵∠AFE=∠B， ∴∠AFE=∠ADC ∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2 ∴∠1+∠2=∠3+∠2， 即∠1=∠3 ∴∠DAF=∠CDE （2） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠2=∠4 由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC (3)∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD ∴DE= 由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7 ∴ ∴ ∴AF= 23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=． ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE  ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB． （3）答：EB=EG，BE⊥EG   理由如下：如图. ∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF ∴.即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF=45°. ∴EB=EG，∠BEG=90° ∴EB=EG，BE⊥EG． 24．（1）解：如图1中， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴A，G，C三点在一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系为； （3）解：如图3中， ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， 设，则， ∵ ∴由可得， ∴， ∴， ∴， ∴由可得， 解得：，即． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$