专题九 计数原理、概率与统计课件——2026届高三数学一轮复习

专题九 计数原理、概率与统计 1 体系透视 题型透析 目 录 题型41 常见的排列、组合问题 题型42 排列组合新题型 题型43 二项式系数与项的系数问题 题型44 整除及余数问题 题型45 条件概率及全概率公式 题型46 二项分布和超几何分布 题型47 正态分布 题型48 变量间的相关关系及回归方程 题型49 独立性检验 题型41　常见的排列、组合问题 角度1　排列问题 题型透析 例1　由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条 件的六位数的个数为 ( ) A.60　    B.108　    C.132　    D.144     B     解析　先排3个奇数,有 =6种排法, 排完奇数后形成4个空,插入余下3个偶数,有 =24种排法, 但此时0放在首位的情况有 =6种, 故满足条件的六位数的个数为6×(24-6)=108. 故选B. 例2    3名男生和2名女生参加某宣讲活动. (1)活动结束后,这五位同学和班主任合影留念,要求班主任站在甲、乙同学中间,有多 少种不同的排法? (2)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等,则这五位同学和班主任合影留 念时甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的排法? (3)这五位同学合影留念时,同学甲不站在最左端,同学乙不站在最右端,有多少种不同 的排法?(写出必要的数学式,结果用数字作答) 解析    (1)先将甲、乙同学排列,再把班主任和甲、乙同学看作一个整体,与其他3名同 学排列,则不同的排法有  =48种. (2)先将6人全排列,有 种排法,考虑到甲、乙、丙三人排列有 种,所以甲、乙、丙三 人按高矮从左到右排列时,不同的排法有 =120种. (3)先将五位同学全排列,有 种排法;同学甲站在最左端的情形有 种;同学乙站在最 右端的情形有 ;同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形有 种, 所以不同的排法有 -2 + =78种. 归纳总结　排列问题的常用解题策略 例3     已知某班级将学生分为4个不同的大组,每个大组均有 14名学生,现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动,要求每个大组至少有1名同学参 加,则不同的抽取结果共有 ( ) A.( )4· 种　     B.( )3· 种 C.4( )3· 种　    D.2( )4· 种     C     角度2　组合问题 思路导引　要求每个大组至少有1名同学参加,即在4个大组中,必有一个大组有2名同 学参加活动,其余组各有1个同学.运用分步乘法计数原理求解. 解析　由题意,先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组,有 种, 再从另外三个大组中分别抽取1名同学,有( )3种,最后确定有2个同学参加的组的人 选,有 种.由分步乘法计数原理,知不同的抽取结果共有 · ·( )3=4( )3· 种. 故选C. 例4    2024年12月7日西南大学附属中学校举行了办学110周年庆典,为此某班设计了富 含寓意的11个文创作品,已知甲同学喜欢作品A、B,乙同学喜欢作品B、C、D,丙同学 除了不喜欢E作品,其他作品都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选取一个作为礼 物收藏,若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品,则不同的选法有 ( ) A.50种　    B.48种　    C.45种　    D.40种     D     解析　若甲选A,则乙有 种选法,丙有 种选法,故共有1× × =24种选法; 若甲选B,则乙有 种选法,丙有 种选法,故共有1× × =16种选法. 综上可得,不同的选法有24+16=40种. 故选D. 归纳总结     1.组合问题的两类常见题型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另 外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视“至少”与“最 多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏,用直接法和间接法都可以求解,通常分类少 时用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 2.有限制条件的组合问题的解题思路 从限制条件入手,组合问题只是从整体中选出部分即可,常见情况有: (1)某些元素必选; (2)某些元素不选; (3)把元素分组,根据在各组中分别选多少分类. 例5    5月15日是全国低碳日,2024年全国节能宣传周为5月13至19日,其主题是“绿色 转型,节能攻坚”.某市在5月13,15,17日安排5位人员进行节能宣传,要求每天至少派1 位,且每位人员只进行一次宣传,则不同的分派方法有( ) A.60种　    B.90种　    C.150种　    D.180种     C     角度3　分组分配问题 思路导引　按照1,1,3与1,2,2进行分组,然后将分好组的人员进行分配. 解析　将5位人员分成3组,有两种情况.第一种情况:1,1,3,第二种情况:1,2,2,其中第一种 情况有 =10种分组方法,第二种情况有 =15种分组方法,将分好的3组全排列有  =6种方法,则由分步乘法计数原理,得不同的分派方法有(10+15)×6=150种.故选C. 归纳总结　分组分配问题的解题策略     注意　不同元素的分配问题需要先分组后分配,若为完全均匀分组或部分均匀分组,需 在分组时除以相同组数的全排列. 题型42　排列组合新题型 例　“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《详解九章算法》一书,393年后欧 洲帕斯卡也发现这个三角图形,所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”,它结构优 美、性质奇特,生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系.例如生活中的最短 路径问题:如图1所示,从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数(图2)与杨辉三角中 对应的数性质相同.已知图3是国际象棋简易棋盘,现有一棋子“车”的起始位置是 “a1”,则它要到“g7”位置的最短路径的条数为 ( )            B     A.1 716　    B.924　     C.792　     D.462 解析　由题意,棋子“车”的起始位置是“a1”到达“g7”位置的最短路径,需要走12 步,其中6步向右,6步向上, 所以最短路径的条数为 = =924. 故选B. 题型43　二项式系数与项的系数问题 角度1　特定项的系数 例1      (x+y)4的展开式中x2y3的系数为 ( ) A.4　    B.6　    C.8　    D.10     C     解析     (x+y)4=x(x+y)4+ (x+y)4, 含x2y3的项为x xy3+  x3y1=4x2y3+4x2y3=8x2y3,所以 (x+y)4的展开式中x2y3的系数 为8. 故选C. 例2    (1+2x-3x2)5的展开式中含x5的项的系数为__________.     92     解析    解法一(1+2x-3x2)5=[(1+2x)-3x2]5= (1+2x)5+ (1+2x)4(-3x2)+ (1+2x)3(-3x2)2+…+  (-3x2)5,所以x5的系数为  ×25+  ×23×(-3)+  ×2×(-3)2=92. 解法二将(1+2x-3x2)5看作5个因式1+2x-3x2的乘积,这5个因式中形成x5的来源有: ①5个因式各出一个2x,这样的方式有 种,对应的项为 (2x)5; ②有3个因式各出一个2x,有1个因式出一个-3x2,剩余1个因式出一个1,这样的方式有 ·  种,对应的项为 (2x)3 (-3x2); ③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个-3x2,剩余2个因式各出一个1,这样的方式有   种,对应的项为 ×2x× ×(-3x2)2, 所以含x5的项的系数为25+ ×23× ×(-3)+ ×2× ×(-3)2=92. 归纳总结     1.求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法 求通项Tk+1= an-kbk→令字母的指数符合要求→解k的值→代回通项即可得特定项(或其 系数). 2.求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法 求通项Tk+1Tr+1= an-kbk· cm-rdr=  an-kbkcm-r·dr→令字母的指数符合要求→解k和r的值→ 代回通项即可得特定项(或其系数). 3.(a+b+c)n的展开式中特定项(特定项系数)的求解方法 例3    (多选)下列命题正确的是 ( ) A.(3x+1)5的展开式中,一共有6项 B.在 的展开式中,所有二项式系数的和为64 C.若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+a3+…+a8=0 D.二项式(1-3x)n=a0+a1x+…+anxn,若|a0|+|a1|+…+|an|=1 024,则n=6     ABC     角度2　二项式系数和与各项系数和 解析　对于A,(3x+1)5的展开式一共有6项,A中命题正确; 对于B,在 的展开式中,所有二项式系数的和为26=64,故B中命题正确; 对于C,令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=(1-2)8=1,令x=0,得a0=(1-0)8=1, 所以a1+a2+a3+…+a8=0,故C中命题正确; 对于D,二项式(1-3x)n=a0+a1x+…+anxn,则(1+3x)n=|a0|+|a1|x+…+|an|xn, 令x=1,得|a0|+|a1|+…+|an|=(1+3)n=4n=1 024,则n=5,故D中命题不正确.故选ABC. 方法总结　赋值法求各项系数的和 1.对形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可. 2.一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的 系数的和为g(1),奇数项的系数和为 [g(1)+g(-1)],偶数项的系数和为 [g(1)-g(-1)]. 角度3　项的系数与二项式系数的最值问题 例4　已知(3x+y)n的展开式中各项系数之和是二项式系数之和的64倍.则 (1)展开式中二项式系数最大的项是_______________; (2)展开式中系数最大的项是________________.     1 458x5y         540x3y3     解析    (1)令x=y=1,得展开式中各项系数之和为4n,又二项式系数之和为2n, 依题意,4n=64×2n,得n=6,则(3x+y)6的展开式的通项为Tk+1= (3x)6-kyk=36-k  x6-kyk, 故二项式系数最大的项为36-3  x6-3y3=540x3y3. (2)设展开式中第k+1项的系数最大,则  由①,可得 ≥3× , 即 ≥ ,解得k≤ ; 由②,可得3× ≥ , 即 ≥ ,解得k≥ . 故有 ≤k≤ ,因为k∈N,所以k=1, 即展开式中系数最大的项是T2=35 x5y=1 458x5y. 归纳总结　二项展开式中系数最大项的求法 　　如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式 各项系数分别为A1,A2,…, ,且第k项系数最大,由 解得k,从而得结果. 题型44　整除及余数问题 例　设a∈Z,且0≤a≤13,若512 025+a能被13整除,则a等于 ( ) A.0　    B.1　    C.11　    D.12     B     思路导引    51=4×13-1=52-1 512 025+a=(52-1)2 025+a 将(52-1)2 025展开进行分析求解. 解析    512 025+a=(52-1)2 025+a= ·522 025- ·522 024+ ·522 023-…+ ·52- +a,因为 512 025+a能被13整除, ·522 025- ·522 024+ ·522 023-…+ ·52能被13整除,所以 - +a=-1+a也能被13整除,又a∈Z,且0≤a≤13,所以a=1. 方法总结     　　在证明整除问题或求余数问题时,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来 展开,然后结合整除的有关知识来解决. 题型45　条件概率及全概率公式 角度1　条件概率 例1　在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三 人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级 的条件下,乙达到优秀等级的概率为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　设事件A=“甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级”,事件B=“乙达到 优秀等级”,所以P(A)=0.5×(1-0.6)×(1-0.7)+(1-0.5)×0.6×(1-0.7)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.7= 0.29,P(AB)=(1-0.5)×0.6×(1-0.7)=0.09, 所以P(B|A)= = = ,故选C. 例2　“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,n阶幻方(n≥3, n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之 和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不 同的数,记“取到的3个数和为15”为事件A,“取到的3个数可以构成一个等差数列” 为事件B,则P(B|A)= ( )   A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     解析　事件A包含的样本点有(8,1,6),(3,5,7),(4,9,2),(8,3,4),(1,5,9),(6,7,2),(8,5,2),(4,5,6), 共8个.事件AB包含的样本点有(3,5,7),(1,5,9),(8,5,2),(4,5,6),共4个,所以P(B|A)= =  = . 方法总结　条件概率的求法 定义法 先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)= 求P(B|A) 样本点 个数法 借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n (A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)=   角度2　全概率公式 例3　甲袋中有5个红球和3个白球,乙袋中有4个红球和2个白球,如果所有小球只存在 颜色的差别,并且整个取球过程是盲取,分两步进行:第一步,从甲袋中随机取出一球放 入乙袋,分别用A1、A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件;第二步,从乙袋中随机取出 两球,用B表示第二步由乙袋中取出的球都是红球的事件,则事件B的概率是_________. 解析　因为P(A1)= ,P(A2)= , P(B|A1)= = , P(B|A2)= = = , 所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= × + × = . 技巧总结　全概率公式的应用 　　全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的 一组原因,如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病 因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中. (1)何时用:多种原因导致事件的发生. (2)如何用:将事件分成两两不相容的完备事件组. (3)数学本质是先利用一组两两互斥的事件(和为必然事件)分割事件B,再由概率的加法 公式和乘法公式求事件A的概率. 题型46　二项分布和超几何分布 例     近日,某企业举行“猜灯谜,闹元宵”趣味竞赛活动,每个员 工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中;小王每道谜语 能猜中的概率均为p(0<p<1),且猜中每道谜语与否互不影响. (1)分别求小张,小王猜中谜语道数的分布列; (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,求p的取值范围. 思路导引　小张猜谜的模型特点   小王猜谜的模型特点   通过两个模型特点的对比,可知小张猜谜模型 属于超几何分布模型,小王猜谜模型属于二项分布模型,然后求解. 解析    (1)设小张猜中谜语的道数为X,可知随机变量X服从超几何分布,X的取值分别为 2,3,4, P(X=2)= = = , P(X=3)= = = , P(X=4)= = = , 故小张猜中谜语道数的分布列为 X 2 3 4 P       设小王猜中谜语的道数为Y,可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4,p),Y的取值分别为0,1, 2,3,4, P(Y=0)=(1-p)4, P(Y=1)= (1-p)3p=4p(1-p)3, P(Y=2)= (1-p)2p2=6p2(1-p)2, P(Y=3)= (1-p)p3=4p3(1-p),P(Y=4)=p4. 故小王猜中谜语道数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4 (2)由(1)可知E(X)=2× +3× +4× =3,E(Y)=4p, 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,则3>4p,可得0<p< . 归纳总结　二项分布与超几何分布的应用 一、二项分布的实际应用 1.确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p; (2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性; (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p). 2.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤 (1)根据题意设出随机变量; (2)分析随机变量是否服从二项分布; (3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值; (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 二、超几何分布的实际应用 1.超几何分布的特征 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数; (2)考察对象分两类且已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布的适用场景 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型. 题型47　正态分布 例    为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生 产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条 生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的 零件数,求P(X≥1)及X的数学期望. (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =  xi=9.97,s= = ≈0.212,其中xi为抽取的第i个零 件的尺寸,i=1,2,…,16. 用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值 ,利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查.剔除( -3 , +3 )之外的数据,用剩下的数据估计μ和 σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3,0.997 316≈0.957 7,  ≈0.09. 解析    (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 3, 从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 7, 故X~B(16,0.002 7). 因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈1-0.957 7=0.042 3. X的数学期望为E(X)=16×0.002 7=0.043 2. (2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 7,一天内抽 取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很 小. 因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异 常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ii)由 =9.97,s≈0.212, 得μ的估计值为 =9.97,σ的估计值为 =0.212, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在( -3 , +3 )之外, 因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除( -3 , +3 )之外的数据9.22, 剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.   =16×0.2122+16×9.972≈1 591.134, 剔除( -3 , +3 )之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 ×(1 591.134-9.222-15×10.022) ≈0.008, 因此σ的估计值为 ≈0.09. 方法总结     1.对于正态分布N(μ,σ2)可知: (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3 直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解. 题型48　变量间的相关关系及回归方程 例    某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和 年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.          (xi- )2 46.6 563 6.8 289.8  (wi- )2  (xi- )(yi- )  (wi- )(yi- ) 1.6 1 469 108.8 表中wi= , =  wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程. (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 = + u的斜率和截距的最小二乘 估计分别为 = , = -  . 解析    (1)根据散点图判断,y=c+d 更适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程 类型. (2)令w= ,y=c+dw, 由表可知: = = =68,  = -  =563-68×6.8=100.6, 所以y关于x的回归方程为y=100.6+68 . (3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值为 =100.6+68 =576.6, 年利润z的预报值为 =576.6×0.2-49=66.32. (ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值  =0.2×(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12=-( -6.8)2+66.36, 所以当 =6.8,即x=46.24时,年利润的预报值最大, 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 方法总结　求经验回归方程的步骤 1.计算出 、 、 + +…+ 、x1y1+x2y2+…+xnyn; 2.计算 、 ; 3.写出经验回归方程 = x+ . 题型49　独立性检验 例　为了解高二(1)班学生数学建模能力的总体水平,王老师组织该班的50名学生(其中 男生24人,女生26人)参加数学建模能力竞赛活动. (1)若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”,统计得到如下列联表,依据小 概率值α=0.01的独立性检验,能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联? 没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计 20 30 50 (2)现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随 机抽取3人作进一步的调研,记随机变量X为这3人中男生的人数,求X的分布列和数学期 望. 附: χ2= ,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析    (1)零假设为H0:该班学生的数学建模能力与性别无关, 因为χ2= = ≈4.327<6.635, 所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据证明推断H0不成立, 因此可以认为H0成立,即该班学生的数学建模能力与性别无关. (2)从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,其中男生有3人,女 生有2人.随机变量X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)= = , P(X=2)= = = , P(X=3)= = . 则X的分布列为 X 1 2 3 P       所以E(X)=1× +2× +3× = . 技巧总结　应用独立性检验解决实际问题的基本步骤 1.提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释; 2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值; 3.查表确定临界值xα; α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4.得出推断结论. 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y无关. $$