专题八　平面解析几何课件——2026届高三数学一轮复习

专题八　平面解析几何 1 体系透视 题型透析 目 录 题型32 直线与圆的位置关系 题型33 圆与圆的位置关系 题型34 隐圆问题 题型35 椭圆、双曲线的离心率问题 题型36 焦点三角形问题 题型37 双曲线的渐近线问题 题型38 抛物线的焦点弦问题 题型39 点差法与中点弦 题型40 圆锥曲线定义的拓展 2 题型32　直线与圆的位置关系 题型透析 例1    (多选) 已知直线l:mx-y+2+m=0和圆C:(x-1)2+(y-2)2 =9相交于M,N两点,则下列说法正确的是 ( ) A.直线l过定点(-1,2) B.|MN|的最小值为3 C. · 的最小值为-9 D.圆C上到直线l的距离为 的点恰好有三个,则m=      AC     思路导引           解析　对于A,直线l:mx-y+2+m=0,即m(x+1)-(y-2)=0, 由 解得 所以定点坐标为(-1,2),A中说法正确. 对于B,圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为(1,2),半径为3,点(-1,2)与圆心(1,2)的距离为2,所以| MN|的最小值为2 =2 ,此时直线l垂直于x轴,但是l的斜率存在,故|MN|无最小值, 故B中说法错误. 对于C, · =| |·| |·cos< , >=9cos< , >, 当< , >=π,即直线l的方程为y=2时, · 取得最小值-9,所以C中说法正确. 对于D,若圆C上到直线l的距离为 的点恰好有三个,则圆心到直线l的距离为 ,所以  = = ,整理得16m2=9m2+9,7m2=9,m=± ,所以D中说法错误.故选 AC. 归纳总结　直线系方程 1.过点(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(其中A,B不全为零); 2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+C0=0(C≠C0); 3.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+C0=0(AB≠0); 4.过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时注意检验l2是否满 足题意). 例2    (多选) 已知圆C:x2+(y+2)2=8,点A在直线x-y+6=0上,过A作 圆C的两条切线AM,AN(M,N为切点),则下列结论正确的是 ( ) A.|AM|的最小值为2  B.当AN⊥x轴时,四边形AMCN的面积为6  C.原点O到直线MN距离的最大值为  D.△AMN的外接圆恒过两个定点     AD     解析    A选项,连接AC,由题意得C(0,-2),∠AMC=∠ANC=90°,则|AM|=|AN|=  = . 若|AM|最小,则|AC|最小, 又|AC|min= =4 (AC垂直于直线x-y+6=0),所以|AM|min= =2 ,故A中结 论正确; B选项,A(-2 ,6-2 ),N(-2 ,-2)满足AN⊥x轴,但S四边形AMCN=2S△ACN=|AN||CN|=(8-2 )×2  =16 -8≠6 ,故B中结论错误; C选项,设点A(t,6+t),点O到MN的距离为d,则以AC为直径的圆的方程为 +  = ,即(x2+y2-4y-12)-t(x+y+2)=0, 两圆方程相减得MN的方程为tx+(t+8)y+2t+8=0,当t=-4时,d=0,当t≠-4时,d= =  < = ,故C中结论错误; D选项,由∠AMC=∠ANC=90°可知,△AMN的外接圆是以AC为直径的圆,由C可知圆的 方程为 + = ,即(x2+y2-4y-12)-t(x+y+2)=0, 由 解得 或 故该圆恒过(0,-2)和(-4,2),故D中结论正确.故 选AD. 归纳总结　有关圆的切线问题的解法 1.求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法   2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法(必有两条切线)   知识拓展　两圆相交时,公共弦所在直线的方程 　　设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2> 0)②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.方程③表示 圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.(链接人教A版选择性必修第一册P98练习第2题) 题型33　圆与圆的位置关系 例1     若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线,则下列 直线一定不经过点(a,b)的是 ( ) A.2x+y- =0　    B.2x-y+2=0 C.x+y- =0　     D.x-y+2=0     D     思路导引   解析　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4的圆心为C2(a,b),半 径为r2=2. 若圆C1与圆C2恰有一条公切线,则两圆内切, 所以|C1C2|=|r1-r2|,即 =1,所以点(a,b)的轨迹为圆x2+y2=1. 对于A,圆心(0,0)到直线2x+y- =0的距离为 = <1,则该直线过点(a,b),故A 不符合题意; 对于B,圆心(0,0)到直线2x-y+2=0的距离为 = <1,则该直线过点(a,b),故B不 符合题意; 对于C,圆心(0,0)到直线x+y- =0的距离为 =1,则该直线过点(a,b),故C不符合 题意; 对于D,圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离为 = >1,则该直线不过点(a,b),故D符 合题意.故选D. 例2    (多选)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x-6)2+y2=4,P,Q分别 为圆O和圆M上的动点,下列说法正确的是     ( ) A.过点A(4,2)作圆M的切线有且只有一条 B.若圆O和圆M恰有3条公切线,则r=4 C.若|PQ|的最小值为1,则r=3 D.若r=2,则直线PQ的斜率的最大值为      BD     思路导引             解析　由圆M:(x-6)2+y2=4,可得圆心为M(6,0),半径为R=2, 由圆O:x2+y2=r2(r>0),可得圆心为O(0,0),半径为r. 对于A,因为点A(4,2)在圆M外,所以过点(4,2)作圆M的切线有2条,所以A中说法不正确. 对于B,若圆O和圆M恰有3条公切线,则圆O和圆M相外切,所以|OM|=r+R,即6=r+2,解得r =4,所以B中说法正确. 对于C,当圆O和圆M外离时,|PQ|的最小值为|OM|-r-R=1,此时r=3; 当圆O和圆M内含时,|PQ|的最小值为r-|OM|-R=1,此时r=9,所以C中说法不正确. 对于D,当r=2时,直线PQ的斜率取最大值的情况如图,易证△OPD≌△MQD, 又|OM|=6,所以|DM|=3.   在Rt△QDM中,可得|QD|= = ,所以tan∠QDM= = , 即直线PQ的斜率的最大值为 ,所以D中说法正确.故选BD. 归纳总结　圆与圆的位置关系判断 　　设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则 位置关系 图形 公共点个数 d,R,r的关系 公切线条数 外离   0 d>R+r 4 外切   1 d=R+r 3 相交   2 R-r<d< R+r 2 内切   1 d=R-r 1 内含   0 d<R-r 0 题型34　隐圆问题 例    (多选) 已知两定点A(-2,0),B(1,0),动点M满足条件|MA|=2|MB|, 其轨迹是曲线C,过B作直线l交曲线C于P,Q两点,则下列结论正确的是 ( ) A.|PQ|的取值范围是[2 ,4] B.当点A,B,P,Q不共线时,△APQ面积的最大值为6 C.当直线l的斜率k≠0时,AB平分∠PAQ D.tan∠PAQ的最大值为      ACD     解析　设M(x,y), 因为|MA|=2|MB|,所以 =2 ,整理可得(x-2)2+y2=4, 可知曲线C是以C(2,0)为圆心,2为半径的圆. 对于选项A,因为(1-2)2+02=1<4,所以点B在曲线C内,则直线l与曲线C必相交, |PQ|的最大值为2r=4(直线l过圆心),最小值为2 =2 (l与x轴垂直), 所以|PQ|的取值范围是[2 ,4],故A正确; 由题意设l:x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立方程得  消去x可得(m2+1)y2-2my-3=0, 则y1+y2= ,y1y2=- . 对于选项B,|y1-y2|= = , 令t= ,t≥ , 则m2= , 可得|y1-y2|= = = , 因为f(t)=t+ 在[ ,+∞)内单调递增, 所以f(t)的最小值为f( )= , 即t+ ≥ ,则|y1-y2|= ≤2 , 则S△APQ= |AB|·|y1-y2|≤ ×3×2 =3 , 所以△APQ面积的最大值为3 ,故B错误; 对于选项C,因为kPA+kAQ= + = + = , 又因为y1+y2= ,y1y2=- , 则2my1y2+3(y1+y2)=2m + =0, 即kPA+kAQ=0,可知∠PAB=∠QAB,所以AB平分∠PAQ,故C正确; 对于选项D,由题意知A,P,Q三点不共线,因为AB平分∠PAQ,所以∠PAQ=2∠PAB. 当PA与C相切时,∠PAB取到最大值,   此时sin∠PAB= = = ,又∠PAB为锐角,则∠PAB= ,即∠PAB的最大值为 , 则∠PAQ的最大值为 , 所以tan∠PAQ的最大值为tan  = ,故D正确.故选ACD. 归纳总结　常见的隐圆类型 1.定长对定点(圆的定义):平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆; 2.定长对定角:平面内动点M到两个定点A,B的张角为直角,即∠AMB= ,则点M的轨迹 为圆; 3.定长对定比(阿氏圆):平面内动点M到两个定点A,B的距离之比为大于0且不等于1的 常数,即 =λ(λ>0且λ≠1),则点M的轨迹为圆. 题型35　椭圆、双曲线的离心率问题 角度1　椭圆的离心率或范围 例1    已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点, 点P在过A且斜率为 的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      D     解析    解法一因为△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c, 由AP的斜率为 得tan∠PAF2= , 所以sin∠PAF2= ,cos∠PAF2= , 在△PAF2中,由正弦定理得 = , 则 = = = ,则a=4c,e= . 解法二如图,过点P向x轴作垂线,垂足为M, 因为△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°, 所以|PF2|=|F1F2|=2c, 所以|F2M|=c,|PM|= c, 由AP的斜率为 得tan∠PAF2= , 所以在△PAM中, = , 所以a=4c,e= ,故选D. 例2　已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且|PF1|= 4|PF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( ) A. 　    B. 　     C. 　     D.      D     思路导引       解析　因为|PF1|=4|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a,所以4|PF2|+|PF2|=2a, 故|PF2|= ,|PF1|= , 因为|PF1|∈[a-c,a+c],所以a-c≤ ≤a+c, 即1-e≤ ≤1+e,解得e≥ , 又因为e∈(0,1),所以e∈ . 故选D. 角度2　双曲线的离心率或范围 例3     设F1,F2是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原 点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|= |OP|,则C的离心率为 ( ) A. 　    B. 　    C.2　    D.      B     思路导引       解析　由题可知|PF2|=b,|OF2|=c, ∴|OP|=a. 在Rt△POF2中,cos∠PF2O= = , 在△PF1F2中,cos∠PF2O= = , ∴ = ⇒c2=3a2, ∴e= . 故选B. 例4     已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),若双曲线不存在 以点(2a,a)为中点的弦,则双曲线离心率e的取值范围是_________. 思路导引　满足过点(2a,a)的直线与双曲线至多有一个交点即可. 解析　由题意得点(2a,a)在双曲线外部或在双曲线上,则 - ≤1,得 ≤ . 假设存在以点(2a,a)为中点的弦, 设弦与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 则 =2a, =a,由点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上得  两式作差得 = , ∴kAB= = = = . ∵不存在该中点弦,∴直线AB与双曲线至多有一个交点,则 ≥ , ≥ , ∴ ≤ ≤ ,∵e= = ,∴ ≤e≤ ,即 ≤e≤ . 角度3　椭圆、双曲线的离心率综合问题 例5     已知e1,e2分别为椭圆 + =1(a>b>0)和双曲线 - =1的离 心率,双曲线渐近线的斜率不超过 ,则 的最大值是 ( ) A.2　    B.3　    C.4　    D.5     B     解析　由椭圆 + =1(a>b>0)的离心率e1= = ,双曲线 - =1的离心率e2= =  ,可得 = = . 令k= ,因为双曲线的渐近线的斜率不超过 ,所以 ≤ ,则0<k2≤ , 此时 = =-1+ ∈(1,9], 即 ∈(1,3],则 的最大值是3.故选B. 归纳总结　求椭圆或双曲线离心率的方法 椭圆 双曲线 定义法 通过已知条件列出方程(组),求得a,c的值,再根据e= 直接求解 e=  e=  构建关于 a,c的齐 次式法 由已知条件得出关于a,c的齐次方程或齐次不等式,然后转化为关于e的方程 或不等式求解 题型36　焦点三角形问题 例    (多选)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),以F1F2为直 径的圆与C在第一象限内交于点P,延长线段PF2交C于点Q.若|PF2|=2|QF2|,则  ( ) A.|QF2|+|PF1|=|QF1| B.△PQF1的面积为 a2 C.椭圆C的离心率为  D.直线QF1的斜率为-      ACD 解析　对于A,由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,又|PF2|=2|QF2|, 所以|QF2|+|PF1|=|QF1|,故A正确; 对于B,设|QF2|=x(x>0),则|PF2|=2x. 因为|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 所以|PF1|=2a-2x,|QF1|=2a-x. 因为F1F2为圆的直径,所以∠F1PQ=90°, 在Rt△PF1Q中, +|PQ|2= , 即(2a-2x)2+(3x)2=(2a-x)2,整理得a=3x, 所以 = ·|PQ|·|PF1|= ·3x·(2a-2x)= a2,故B错误; 对于C,在Rt△PF1F2中,|PF1|=2a-2x= ,|PF2|= .由 + = ,即 + = (2c)2,解得e2= = ,即e= ,故C正确; 对于D,在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2= = = ,在Rt△PF1Q中,tan∠PF1Q= = =  ,所以tan∠F2F1Q=tan(∠PF1Q-∠PF1F2)= = = ,所以直线 QF1的斜率为k=tan(180°-∠F2F1Q)=-tan∠F2F1Q=- ,故D正确.故选ACD. 归纳总结　椭圆、双曲线焦点三角形的相关结论 曲线 椭圆 双曲线 图形     面积 |PF1‖PF2|=  , S= |PF1‖PF2|·sin θ=b2tan   |PF1‖PF2|= ,S=  离心率 e=  =  =  e=  =  =  题型37　双曲线的渐近线问题 例1     已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分 别为A1,A2,点M在C上且MF⊥x轴,直线MA1,MA2与y轴分别交于点P,Q,若3|OQ|=4|OP|(O 为坐标原点),则C的渐近线方程为 ( ) A.y=±2 x　    B.y=±2 x　     C.y=±4 x　    D.y=±2 x     C     解析　由题意知F(c,0),A1(-a,0),A2(a,0), 因为MF⊥x轴, 所以xM=c,则有 - =1,解得yM=± , 不妨令M在第一象限,则M , 直线MA1的斜率为 = = , 所以直线MA1的方程为y= (x+a), 令x=0,可得y= ,所以|OP|= . 直线MA2的斜率为 = = , 所以直线MA2的方程为y= (x-a), 令x=0,可得y=- , 所以|OQ|= , 由3|OQ|=4|OP|可得 = ,解得c=7a, 所以c2=a2+b2=49a2,解得 =48,即 =4 , 所以C的渐近线方程为y=±4 x.故选C.   例2　已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为2c,F1,F2为其左、右焦点,直线l经过点 (0,b)且斜率为1,若l上存在点P满足|PF1|-|PF2|=2b,则C的离心率的取值范围为( ) A.(1, )　    B.( , )　    C.(1, )　    D.( ,+∞)     A     思路导引　|PF1|-|PF2|=2b 点P在某双曲线(不是双曲线C)上,该双曲线的焦点也是F1, F2 涉及直线与双曲线的交点问题,可借助渐近线分析. 解析　由题意,满足|PF1|-|PF2|=2b的点P在双曲线 - =1(b>0,a>0)的右支上,所以直线l 与该双曲线右支有交点.如图,直线l的斜率是1,双曲线 - =1(b>0,a>0)的渐近线是y= ± x,由图可知要使l与该双曲线右支有交点,只需1< ,所以a>b,从而a2>b2=c2-a2,故 <2, 所以e< ,又e>1,所以1<e< .   归纳总结　借助渐近线分析直线与双曲线的交点个数 1.当直线l过原点时,若其斜率k∈ ∪ ,则直线l与双曲线没有交点,如图1; 若k∈ ,则直线l与双曲线有两个关于原点对称的交点,如图2. 2.当直线l过双曲线内部定点P时,若直线l的斜率k=± ,即l与渐近线平行,则l与双曲线有 1个交点,如图3中的l1和l2;若直线l的斜率k∈ ,则直线l与双曲线的两支各有1个交 点,如图3中的l;若k∈ ∪ ,则直线与双曲线的同支有2个交点,如图4中的l.         3.当直线过双曲线外部定点P(不与原点重合)时,分析交点个数还需借助切线(过点P与 双曲线相切的直线). 题型38　抛物线的焦点弦问题 例1     抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线 于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值为 ( ) A.5　    B.9　    C.8　    D.10     B     思路导引    AB过焦点  + = =1 求|AF|+4|BF|的最小值. 解析　由抛物线焦点弦性质可得 + = =1,则|AF|= , 所以|AF|+4|BF|= +4|BF|, 令m=|BF|,m>1, 所以|AF|+4|BF|= +4m= +4(m-1)+4=5+4(m-1)+ ≥5+2 =9,当 且仅当4(m-1)= ,即m= 时等号成立. 所以|AF|+4|BF|的最小值为9.故选B. 例2    (多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交 于A、B两点,则下列说法正确的是( ) A.若F(1,0),则l:x=-  B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4 C.存在以AB为直径的圆与l相交 D.若直线AB:y=  ,且A点在x轴的上方,则 =3      BD     解析　对于A,若F(1,0),则 =1,故l:x=- =-1,故A中说法错误. 对于B,若F(1,0),则 =1⇒p=2,则抛物线方程为y2=4x,设过点F(1,0)的直线方程为x=my+ 1,联立 消x可得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,故|AB|= x1+x2+p=m(y1+y2)+4=4m2+4≥4,故当m=0时,弦AB长度最短,为4,故B中说法正确. 对于C,设AB的中点为E,直线AB的方程为x=ky+ ,联立 消x可得y2-2pky-p2=0,Δ =4p2k2+4p2>0,设A(x3,y3),B(x4,y4),则y3+y4=2pk,所以x3+x4=k(y3+y4)+p=2pk2+p, 所以E , 则点E 到准线l:x=- 的距离为pk2+p,而 = = =  =pk2+p, 故以AB为直径的圆与l相切,故C中说法错误. 对于D,联立 消y可得3x2-5px+ =0,解得x= 或x= ,由于A点在x轴的上 方,所以xA= ,xB= ,故A ,B ,又F , 所以 =(-p,- p), = , 所以 =3 ,故D中说法正确.故选BD. 归纳总结     　　如图,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,l为准线,过点F的直线与抛物线交于A,B两点. 则: 1.以AB为直径的圆M与准线l相切; 2.以AF为直径的圆C与y轴相切; 3.以BF为直径的圆D与y轴相切; 4.圆C与圆D外切,圆C与圆D分别与圆M内切. 题型39　点差法与中点弦 例1     已知直线l:x-y+3=0与双曲线C: - =1(a>0,b>0)交于A,B两 点,点P(1,4)是弦AB的中点,则双曲线C的渐近线方程是 ( ) A.y=± x　    B.y=±2x　    C.y=± x　    D.y=±4x     B     思路导引    P(1,4)是弦AB中点 kAB= ·  得a与b的关系 得渐近线 方程. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1, - =1, 两式相减可得 = , 所以kAB= = · . 由点P(1,4)是弦AB的中点,且直线l:x-y+3=0,可得x1+x2=2,y1+y2=8,y1-y2=x1-x2, 即有b2=4a2,b=2a,经验证,此时直线与双曲线有两个交点. 故双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选B. 例2    (多选)已知双曲线Γ: -y2=1,对于点P,若Γ上存在两个点M、N,使得P为线段MN的 中点,则称P为Γ的一个“τ”点,下列各点中,是Γ的“τ”点的为     ( ) A.(1,0)　    B.(2,1)　    C.(2,2)　    D.(3,1)     CD     解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),若MN⊥x轴,则线段MN的中点在x轴上. 对于A选项,若(1,0)为Γ的一个“τ”点,则y1+y2=0,可得y2=-y1, 此时MN⊥x轴或MN过原点, 若MN⊥x轴,则直线MN的方程为x=1,但直线x=1与双曲线Γ无公共点, 若MN过原点,则线段MN的中点为原点,不符合题意,A不满足题意. 由题意可知直线MN的斜率存在, 由M,N在Γ上得 两式作差可得 =(y1-y2)(y1+y2), 则kMN= = · . 若(2,1)为Γ的一个“τ”点, 则直线MN的方程为y-1= (x-2), 即y= x, 此时,直线MN过原点,则M、N关于原点对称,与假设矛盾,B不满足题意; 若(2,2)为Γ的一个“τ”点, 则kMN= = , 则直线MN的方程为y-2= (x-2), 即y= x+ , 联立 消去y可得3x2-12x-52=0, Δ=(-12)2+4×3×52>0,C满足题意; 若(3,1)为Γ的一个“τ”点, 则kMN= = , 则直线MN的方程为y-1= (x-3),即y= x- , 联立 消去y可得5x2-30x+41=0,Δ=(-30)2-4×5×41>0,D满足题意.故选CD. 归纳总结     1.求解与中点弦有关问题的两种方法 (1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系 数的关系,建立等式关系或不等式关系. (2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆 锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中 点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中 点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零. 2.中点弦的常见结论 设AB为圆锥曲线的弦,点M(x0,y0)为弦AB的中点,O为坐标原点. 标准方程 结论  + =1(a>b>0) kAB·kOM=-   + =1(a>b>0) kAB·kOM=-   - =1(a>0,b>0) kAB·kOM=   - =1(a>0,b>0) kAB·kOM=  y2=2px(p≠0) kAB=  x2=2py(p≠0) kAB=  题型40　圆锥曲线定义的拓展 例　已知点M,N是椭圆C: + =1(a>b>0)上的两点,且线段MN恰为圆x2+y2=r2(r>0)的一 条直径,A为椭圆C上与M,N不重合的一点,且直线AM,AN的斜率之积为- ,则椭圆C的离 心率为_________. 解析    解法一如图,设A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),   则 + =1, + =1. 两式相减得 + =0, 即 =- . ∵直线AM,AN的斜率之积为- , ∴ · =- ,∴- =- . ∴椭圆的离心率e= = = = = . 解法二根据题目条件可知点M,N是椭圆C: + =1(a>b>0)上关于原点对称的两点,又 由于A为椭圆C上与M,N不重合的一点,且直线AM,AN的斜率之积为- ,故根据椭圆的第 三定义可知kAM·kAN=e2-1=- . ∵椭圆离心率e∈(0,1),∴e= , 即椭圆C的离心率为 . 延伸拓展     1.圆锥曲线的第二定义及相关结论 (1)椭圆的第二定义:若点M(x,y)与定点F(c,0)(或F'(-c,0))的距离和它到定直线l:x=  或 l':x=-  的距离的比是常数 (0<c<a),则点M的轨迹是椭圆.其中,定点F(c,0)是椭圆的一 个焦点,直线l:x= 称为相应于焦点F的准线;定点F'(-c,0)是椭圆的另一个焦点,直线l':x= - 称为相应于焦点F'的准线. 双曲线的第二定义:若点M(x,y)与定点F(c,0)(或F'(-c,0))的距离和它到定直线l:x=  或 l':x=-  的距离的比是常数 (0<a<c),则点M的轨迹是双曲线.其中,定点F(c,0)是双曲线 的一个焦点,直线l:x= 称为相应于焦点F的准线;定点F'(-c,0)是双曲线的另一个焦点, 直线l':x=- 称为相应于焦点F'的准线. (2)与圆锥曲线第二定义有关的结论 图形 焦半径     |PF1|=e|PA|=e =a+ex,|PF2|= e|PB|=e =a-ex   |PF2|=e|PB| =e(|BN|-|PN|)= e , 解得|PF2|= , 同理得|QF2|=  图形 焦半径     |PF2|=e|PA|=e(|AN|-|PN|)=e c- - |PF2|·cos(π-θ) , 解得|PF2|= , 同理得|QF2|= (Q为直线PF2与 双曲线的另一个交点) 2.圆锥曲线的第三定义 (1)椭圆的第三定义:平面内与两个定点A1(m,n),A2(-m,-n)的斜率乘积等于常数e2-1(0<e< 1)的动点P(x,y)的轨迹叫做椭圆(其中x≠±m). (2)双曲线的第三定义:平面内与两个定点A1(m,n),A2(-m,-n)的斜率乘积等于常数e2-1(e> 1)的动点P(x,y)的轨迹叫做双曲线(其中x≠±m). $$