专题七　立体几何与空间向量课件——2026届高三数学一轮复习

专题七　立体几何与空间向量 1 体系透视 题型透析 目 录 题型29 空间几何体的外接球问题 题型30 空间几何体的内切球问题 题型31 空间角与距离 题型29　空间几何体的外接球问题 　　常见空间几何体外接球模型及相关结论 题型透析 几何体 图示及相关结论(R为几何体外接球的半径) 长方体   长方体的体对角线的中点就是其外接球球心,4R2=a2+b2+c2 可还原至 长方体的 锥体   已知AP,AB,AC两两垂直,则4R2=AP2+AB2+AC2   已知AP,AB,BC两两垂直,则4R2=PA2+AB2+BC2 可还原至 长方体的 锥体   已知AB⊥BC,BC⊥PC,PA⊥AB,则4R2=PA2+AB2=PC2+BC2   已知AB=CD,AD=BC,AC=BD,则4R2=  圆柱   圆柱上、下底面中心连线的中点即为其外接球的球心,R2=d2+r2= +r2(h为圆柱的高) 直三棱柱   直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的连线的中点,2r= ,R2=d2+r2 正棱锥 (以正四棱 锥为例)   外接球球心在底面高线上,R2=(h-R)2+r2   外接球球心在底面高线的延长线上,R2=(R-h)2+r2 圆锥   外接球球心在底面高线上,R2=(h-R)2+r2   外接球球心在底面高线的延长线上,R2=(R-h)2+r2 圆台   球心在圆台上、下底面中心连线上, + =h(h为圆台的高)   球心在圆台上、下底面中心连线所在直线上, - =h(h为圆台的高) 例1　在菱形ABCD中,AB=2,AC=2 ,将△ABC沿对角线AC折起,使点B到达B'的位置,且 二面角B'-AC-D为直二面角,则三棱锥B'-ACD的外接球的表面积为 ( ) A.5π　    B.16π　    C.20π　    D.100π     C     解析　如图1所示, 在菱形ABCD中,AC,BD互相垂直且平分,点E为垂足, AB=BC=CD=DA=2,EC=EA= AC= , 则sin∠CDE= ,∠CDE=60°,则∠ADC=120°, 由勾股定理得BE=DE= = =1. 设△ACD外接圆的圆心为O1,则△ACD外接圆的半径为r1=O1D= = =2, O1E=O1D-DE=2-1=1,设△ACB'外接圆的圆心为O2,同理可得△ACB'外接圆的半径为r2= O2B'=2,O2E=O2B'-B'E=2-1=1,如图2所示,  　      设三棱锥B'-ACD的外接球的球心、半径分别为点O,R, 故OO1⊥DE,OO2⊥B'E,由题意知AC⊥DE,AC⊥B'E,由二面角B'-AC-D为直二面角,知平 面DAC⊥平面ACB'.易知∠B'ED是二面角B'-AC-D的平面角,所以B'E⊥ED,即O2E⊥EO1, 可知四边形O1OO2E为矩形,所以O1O=O2E=1,由勾股定理得OD2=O1O2+O1D2=5=R2,所以 三棱锥B'-ACD的外接球的表面积为S=4πR2=4π×5=20π.故选C. 例2     如图1,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2 ,点P到 平面ABC的距离为2,且点P在平面ABC内的射影与点C在直线AB的两侧.如图2,△A'B'C' 是底面△ABC在斜二测画法下的直观图(其中A与A'对应,B与B'对应),A'C'=2B'C'=2,则三 棱锥P-ABC外接球的表面积为___________.            12π     思路导引　利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R,即可得出 外接球的表面积. 解析　因为A'C'=2B'C'=2,∠B'C'A'=45°, 所以AC=BC=2,AC⊥BC. 过点P作PD⊥平面ABC于点D,则PD=2, 由PA=PB=AB=2 , 可知CD平分∠BCA, 设AB与CD的交点为O, 则OP=PAsin 60°= , 所以OD= = =OC, 所以四边形ACBD是正方形, 故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体,   则该正方体的体对角线PC即为三棱锥P-ABC外接球的一条直径, 设该外接球的半径为R,则2R= =2 ,即R= ,则三棱锥P-ABC外接球的表面 积为S=4πR2=12π. 归纳总结　常见空间几何体外接球球心的确定方法 1.定义法:如果一个定点与一个空间多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就 是该空间多面体的外接球的球心. 2.补形法:解决棱锥外接球问题,常用补形法.如果棱锥的各个顶点都是某个长方体的顶 点,可以将该棱锥补形成长方体,再根据长方体的体对角线长等于球的直径来求解. 3.双面定球心法:如图,在三棱锥P-ABC中, (1)选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1, (2)选定侧面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2, (3)分别过O1作面ABC的垂线,和O2作面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O. 题型30　空间几何体的内切球问题 　　常见空间几何体内切球模型及相关结论 几何体 图示 相关结论(R为几何体内切 球半径) 正方体     R=  圆柱     r,h分别为圆柱的底面圆半 径和高,R=r且h=2R 正三 棱柱     r,h分别为柱体的底面三角 形内切圆半径和高,R=r且h =2R 正棱锥 (以正四棱 锥为例)     PE为锥体的斜高,h,r分别为 锥体的高和底面内切圆半 径,由△POF∽△PEO1得  = , = =  三棱锥   记三棱锥的四个面的面积 分别为S1,S2,S3,S4,则R= (V为三棱锥的体积) 例1　已知某棱长为2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切,则该球的表面积为  ( ) A.4π　    B.2π　    C. 　    D.π     A     解析　如图所示,在棱长为2的正方体中构造棱长为2 的正四面体ABCD,由图可知正 四面体的棱切球即为正方体的内切球,故所求球的半径为1,所以该正四面体棱切球的 表面积为S=4πR2=4π,故选A.   知识拓展     　　棱长为a的正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球的常用结论: (1)外接球:球心是正方体的中心,半径r= a; (2)内切球:球心是正方体的中心,半径r= ; (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= a. 例2　已知正四棱锥的侧棱长为 ,底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.4           B 思路导引    思路一求得四棱锥的高和斜高→利用等体积法求得内切球的半径→求得 其体积. 思路二在正四棱锥中构造直角三角形→确定内切球的球心位置→求出四棱锥的内切 球半径→应用公式求球的体积. 解析    解法一(等体积法)如图1,设O为正四棱锥的底面中心,E为BC的中点,连接PO,OE, PE,则PO为四棱锥的高,PE为侧面三角形PBC的高,因为BC=2,PB= , 所以PE= =2, 则PO= = , 设该四棱锥的内切球的半径为r, 则 ·S正方形ABCD·PO= (S正方形ABCD+4S△PBC)r, 即 ×4× =  × 4+4× ×2×2 ·r, 解得r= , 故该四棱锥的内切球的体积为V= π× = ,故选B.  　      解法二(几何法)如图2,连接AC,BD,交于点H, 取BC的中点G, 连接HG,PH,PG, 则PH⊥平面ABCD,PG⊥BC, 因为正四棱锥的侧棱长为 ,底面边长为2, 所以PG= = =2,PH= = = , 所以在Rt△PHG中,sin∠HPG= = , 所以∠HPG= . 设该四棱锥的内切球的半径为r,内切球的球心为O,过点O作OQ⊥PG,则OH=OQ=r,PO =2r,所以PO+OH=3r= , 解得r= , 故该四棱锥的内切球的体积为V= π× = ,故选B. 归纳总结　几何体内切球问题的处理技巧 1.球心在过切点且与切面垂直的直线上; 2.球心到各面的距离相等; 3.三棱锥的内切球半径r= (V为三棱锥的体积); 4.作出轴截面(截面中含切点,球心等元素),利用三角形的相似关系求解内切球的半径. 题型31　空间角与距离 角度1　异面直线所成的角 例1    在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成 的角为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      D     解析    解法一如图所示,连接BC1,C1P,   易知四边形ABC1D1是平行四边形,∴BC1∥AD1, ∴∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与PB所成的角,(平移找角) 设正方体的棱长为a,则BC1= a,C1P= a,PB= = a. 在△C1BP中,cos∠PBC1= = ,(解三角形,利用余弦定理的推论求解) ∴∠PBC1= ,即直线PB与AD1所成的角为 . 故选D. 解法二以点D为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),   设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(1,1,2),D1(0,0,2),从而 =(1,1, -2), =(-2,0,2), 因而|cos< , >|= = = . 所以直线PB与AD1所成的角为 . 故选D. 解法三(利用特殊三角形解) 连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1(或其补角)是异面直线 PB与AD1所成的角,连接A1B,A1C1,易知△A1BC1为正三角形,又P为A1C1的中点, 所以∠PBC1= ,故选D. 归纳总结     1.用平移法求异面直线所成角 异面 共面 解三角形(一般常用到正弦定理和余弦定理). 说明:平移的方法一般有以下三种,①利用题图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;③补形平移. 2.用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示两异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意两异面直线所成角的范围是 ,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹 角的余弦值的绝对值. 角度2　直线与平面所成角 例2     如图,在平面四边形ABCD中,AB∥DC,△ABD 是边长为2的正三角形,DC=3,O为AB的中点,将△AOD沿OD折到△POD的位置,PC=  . (1)求证:PO⊥BD; (2)若E为PC的中点,求直线BE与平面PDC所成角的正弦值.  　      解析    (1)证明:依题意,△ABD是边长为2的正三角形,O为AB的中点,所以OD⊥AB, 所以OD⊥PO,OD⊥BO,PD=2, 因为CD=3,PC= , 所以PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD, 又OB∥DC,所以OB⊥PD, 又OD∩PD=D,OD,PD⊂平面POD,所以OB⊥平面POD, 因为OP⊂平面POD,所以OB⊥OP, 又OB∩OD=O,OB,OD⊂平面BODC, 所以OP⊥平面BODC, 又BD⊂平面BODC,所以PO⊥BD. (2)如图,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),P(0,0,1),D(0, ,0),C(3, ,0),E ,所以  = , =(3,0,0), =(0,- ,1).设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则  令y=1,则z= ,n=(0,1, ),设直线BE与平面PDC所成角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = = , 所以直线BE与平面PDC所成角的正弦值为 .   归纳总结　求直线与平面所成角的方法 1.定义法 (1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定垂足的位置 是关键; (2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角; (3)求:构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角. 2.向量法 sin θ=|cos< ,n>|= (其中 为平面α的斜线AB的方向向量,n为平面α的法向量,θ 为斜线与平面α所成的角). 角度3　二面角或平面与平面的夹角 例3     如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥AB,且PB=PD,底面 ABCD是边长为2 的菱形,∠BAD= . (1)证明:平面PAC⊥平面ABCD; (2)若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为 ,点Q为棱PC上的动点(不包括端点),求 二面角A-BQ-C的正弦值的最小值.   解析    (1)证明:连接BD交AC于点O,连接PO, 因为四边形ABCD是菱形, 所以BD⊥AC,O为BD的中点, 因为PD=PB,所以PO⊥BD. 又AC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O, 所以BD⊥平面PAC,又BD⊂平面ABCD, 所以平面PAC⊥平面ABCD. (2)过P作PH⊥AC交AC于点H,连接DH,因为平面PAC⊥平面ABCD,PH⊥AC,平面PAC ∩平面ABCD=AC,PH⊂平面PAC,所以PH⊥平面ABCD, 则∠PCH即为直线CP与平面ABCD所成角, 因为AB⊥PD,AB⊥PH,PH,PD⊂平面PHD,PH∩PD=P,所以AB⊥平面PHD, 因为DH⊂平面PHD,所以AB⊥DH,因为AO⊥BD,DH∩AO=H,△ABD为等边三角形,所 以H为△ABD的重心, 所以OH= OA= × ×2 =1,则CH=OH+OC=1+3=4, 在Rt△PCH中,sin∠PCH= = , 解得PH=3. 以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-3, 0),B( ,0,0),C(0,3,0),P(0,-1,3),则 =(- ,-1,3), =(- ,3,0), =(0,2,3), =(0,4,-3),  =( ,3,0),   设平面BQC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则  令y1=3,则n1=(3 ,3,4).设 =λ =(0,4λ,-3λ),λ∈(0,1),则 = + =(0,4λ+2,3-3λ), 设平面ABQ的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则  令x2= ,则n2= . 设平面ABQ与平面BQC的夹角为θ, 则cos θ=|cos<n1,n2>|= = = , 令3+ =t,3+ =3+ =3+ = + , 因为λ∈(0,1),所以t> , 则cos θ=  = , 当 = ,即t= ,λ= 时, (cos θ)max= , 此时(sin θ)min= , 所以二面角A-BQ-C的正弦值的最小值为 . 归纳总结　求二面角或平面与平面的夹角的方法 1.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线, 如图,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 2.向量法 (1)构建恰当的空间直角坐标系; (2)准确求解相关点的坐标; (3)求出平面的法向量; (4)利用公式求出向量夹角的余弦值,由图形判断二面角的余弦值的正负,平面与平面的 夹角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 角度4　空间距离 例4     如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥ DC,AB=AA1=2,AD=DC=1,M,N分别为DD1,B1C1的中点. (1)求证:D1N∥平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值; (3)求点B到平面CB1M的距离.   思路导引    (1)通过证明 与平面CB1M的法向量垂直得到D1N∥平面CB1M; (2)先求平面CB1M与平面BB1C1C的法向量夹角的余弦值,进而得到平面CB1M与平面BB1 C1C夹角的余弦值; (3)利用点到平面的距离公式,求出点B到平面CB1M的距离. 解析　依题意,以A为原点,分别以 , , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直 角坐标系(如图),可得B(2,0,0),C(1,1,0),B1(2,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),M(0,1,1),N .   (1)证明: =(-1,0,1), =(1,-1,2). 设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z), 则  即  不妨设z=1,可得n=(1,3,1). 因为 = , ·n= ×1+ ×3+0×1=0,所以 ⊥n. 又D1N⊄平面CB1M, 所以D1N∥平面CB1M. (2)依题意, =(-1,1,0), =(0,0,2),同(1)可得m=(1,1,0)是平面BB1C1C的一个法向量.于 是cos<n,m>= = . 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为 . (3)设点B到平面CB1M的距离为d, 则d= = . 所以点B到平面CB1M的距离为 . 归纳总结     1.求点到直线的距离的方法 (1)设过点P的直线l的单位方向向量为n,A为直线l外一点,则点A到直线l的距离d=  ; (2)若能求出点在直线上的射影坐标,可以直接利用两点间距离公式求距离. 2.求点到平面的距离的方法 (1)向量法求点P到平面α的距离的解题步骤: ①在α内任选一点A,求出 ; ②求出平面α的法向量n; ③由公式d= 计算点P到平面α的距离. 注意:上述公式也可以用于求异面直线间的距离,此时P,A就是分别位于两条直线上的 任意两点,n是与两直线的方向向量都垂直的向量. (2)等体积法:用等体积转换法求点到平面的距离. $$