专题二 函数及其性质课件-2026届高三数学一轮复习

专题二 函数及其性质 1 体系透视 题型透析 目 录 题型7 函数单调性的应用 题型8 函数奇偶性的应用 题型9 双对称求周期 题型10 类周期函数 题型11 嵌套函数的零点问题 题型12 利用函数零点求参数范围 题型7　函数单调性的应用 题型透析 例1    已知函数f(x)= 若对任意x1<x2, 都有f(x1)-f(x2)<x1-x2,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1)　    B.[1,+∞)　     C. 　     D.     A     思路导引       解析　由f(x1)-f(x2)<x1-x2,得f(x1)-x1<f(x2)-x2,令g(x)=f(x)-x,则g(x1)<g(x2), 所以g(x)在R上单调递增. g(x)=f(x)-x=  当x≤1时,由g(x)=2-(a+1)x单调递增, 得-(a+1)>0,(一次函数的单调性由一次项系数的正负决定)所以a<-1. 当x>1时,因为g(x)= x3- ax2+2a2x- 单调递增,所以g'(x)≥0恒成立, 即x2-3ax+2a2≥0恒成立, 又因为a<-1,所以 <- ,(二次函数的单调性受其图象对称轴位置影响) 所以需满足12-3a+2a2≥0, 所以a≤ 或a≥1,所以a<-1. 因为g(x)在R上单调递增,所以还应该满足2-(a+1)≤ - a+2a2- ,解得a≤- 或a≥1. 综上,a<-1. 故选A. 提醒　分段函数的单调性除要注意各段的单调性,还要注意分界点处的函数值. 例2    定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1,x2∈(0,+∞) 且x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,且f(xy)=f(x)+f(y), f(4)= ,则不等式f(2x)-f(x-3)>1的解集为 ( ) A.(0,4)　    B.(0,+∞)　    C.(3,4)　    D.(2,3)     C     思路导引       解析　∵f(x)满足∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=2, 则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)= ,即f(2)= , ∴f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=1,∴f(2x)-f(x-3)>1化为f(2x)-f(x-3)>f(8), 即f(2x)>f(8)+f(x-3),即f(2x)>f[8×(x-3)]=f(8x-24), 则 (不要忘记函数的定义域) 解得3<x<4, 所以不等式f(2x)-f(x-3)>1的解集为(3,4).故选C. 技巧总结　函数单调性的应用 比较大小 (1)若要比较的函数值的自变量在同一单调区间内,则利用函数单调性比较大小; (2)若要比较的函数值的自变量不在同一单调区间内,利用函数奇偶性和周期性将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数单调性比较大小 解不等式 在解函数不等式时,可以利用函数单调性的“可逆性”“脱去”函数符号f,化为一般不等式求解.注意:必须在定义域内或给定的范围内进行 求参数的取值范围 题型8　函数奇偶性的应用 例     若f(x)=ln(x+ ),则f(x2-8)+f(2x)≥0的解集为 ( ) A.{x|-2≤x≤4}　      B.{x|-4≤x≤2} C.{x|x≥4或x≤-2}　    D.{x|x≥2或x≤-4}     D     思路导引       解析　由f(-x)=ln[-x+ ]=ln( -x)=-ln( +x)=-f(x),且定义域为R,知f(x)为 奇函数. 由y=x,y= 在(0,+∞)上单调递增,得t= +x在(0,+∞)上单调递增, 又y=ln t在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=ln(x+ )在(0,+∞)上单调递增, 则f(x)在R上单调递增. 由f(x2-8)+f(2x)≥0⇒f(x2-8)≥-f(2x)=f(-2x)⇒x2-8≥-2x, 即x2+2x-8=(x+4)(x-2)≥0,解得x≥2或x≤-4, 故不等式的解集为{x|x≥2或x≤-4}.故选D. 知识拓展　常见的奇偶函数模型 1.常见的奇函数: (1)函数f(x)=m· (x≠0)或函数f(x)=m· ; (2)函数f(x)=±(ax-a-x); (3)函数f(x)=loga =loga 或函数f(x)=loga =loga ; (4)函数f(x)=loga( ±mx)(m≠0). 2.常见的偶函数:函数f(x)=±(ax+a-x). (以上各式中a>0,且a≠1) 题型9　双对称求周期 例1    已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2, 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50　    B.0　    C.2　    D.50     C     思路导引    思路一   思路二  解析    解法一因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称①,且f(0)=0, 因为f(1-x)=f(1+x), 所以f(x)的图象关于直线x=1对称②, 由①②可得f(x)是周期为4的函数,(双对称函数的周期性) 对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)= -f(2)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)=2. 解法二∵f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),① 又∵f(1-x)=f(1+x), ∴f(-x)=f(2+x)(用1+x代替x),② 由①②得f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)(用2+x代替x), ∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4, 对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)= -f(2)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2. 故选C. 例2    (多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)满足f(2+x)+f(2-x)=0, 且f(x)在(-2,0)上单调递增,则以下说法一定正确的是 ( ) A. f(2)=2 B. f(x)为周期函数 C. f(2 026)=0 D. f(x)在(10,12)上单调递增 BC     思路导引       解析　对于A,由f(2+x)+f(2-x)=0,得f(x)的图象关于点(2,0)对称,又因为f(x)的定义域为R, 所以f(2)=0,故A中说法不正确; 对于B,因为f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称.因为f(2+x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图 象关于点(2,0)对称,所以f(x)的一个周期为8,故B中说法正确; 对于C,由B知, f(2 026)=f(8×253+2)=f(2)=0,故C中说法正确; 对于D,因为f(x)的周期为8,所以f(x)在(10,12)上的单调性与在(2,4)上的单调性相同,又因 为f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在(2,4)上的单调性与在(0,2)上的单调性相同,又 因为f(x)的图象关于y轴对称, f(x)在(-2,0)上单调递增,所以f(x)在(10,12)上单调递减,故D 中说法不正确.故选BC. 总结提升　函数的对称性与周期性的关系 1.如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且周期 T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同). 2.如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数f(x)是周期函 数,且周期T=2(b-a). 3.如果函数f(x)(x∈D)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,且周期T=4(b-a).记忆口诀:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心 四倍差. 题型10　类周期函数 类周期函数的定义 从周期函数f(x+T)=f(x)进行延伸拓展,若函数g(x)满足g(x+T)=ag(bx)+c(a,b>0,c∈R),则称 函数g(x)为类周期函数.当a=b=1,c=0时,g(x)就是周期函数. 例    设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x)❶,且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1). ❷若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥- ,则m的取值范围是  ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      B     思路导引       解析　∵x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1), f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),即f(x)的图象每向右平移1个 单位长度,对应的函数值变为原来的2倍. 如图所示,当2<x≤3时, f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=- , 整理得9x2-45x+56=0,∴(3x-7)(3x-8)=0,解得x1= ,x2= (舍去),∴m∈ 时,都有f(x)≥ - .故选B. 知识拓展　类周期函数问题的处理方法 　　对于满足g(x+T)=ag(bx)+c(a,b>0,c∈R)的类周期函数g(x),知道g(x)在(x0,x0+T](或[x0, x0+T))上的解析式.常采用以下步骤: 1.利用函数g(x)的类周期性,找到函数g(x)各段值域之间的关系,如涉及精细分析则需要 将函数g(x)各段的解析式求出来,如有必要画出函数g(x)各段的图象. 2.对函数g(x)各段开展分类讨论,或根据函数g(x)各段的图象解决问题. 题型11　嵌套函数的零点问题 例　已知函数f(x)= 则函数g(x)=f[f(x)]-2f(x)+1的零点个数是 ( ) A.4　    B.5　    C.6　    D.7     B     思路导引　令t=f(x),g(x)=0,则f(t)-2t+1=0,分别作出y=f(x)和y=2x-1的图象,得到两图象交 点的横坐标,再观察图象即可得到所求零点个数. 解析　令t=f(x),g(x)=0,则f(t)-2t+1=0, 分别作出y=f(x)和y=2x-1的图象, 由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2,t1<t2, 则t1=0,1<t2<2,即有f(x)=0有2个不等实根, 1<f(x)<2时,t2=f(x)有3个不等实根, 综上,可得g(x)=0的实根个数为5, 即函数g(x)=f[f(x)]-2f(x)+1的零点个数是5.故选B. 解题技巧　求嵌套函数零点问题的步骤 题型12　利用函数零点求参数范围 例     已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取 值范围是 ( ) A.[-1,0)　    B.[0,+∞)　    C.[-1,+∞)　    D.[1,+∞)     C     思路导引       解析　令g(x)=f(x)+x+a=0,则f(x)=-x-a,则g(x)的零点个数转化为f(x)的图象与y=-x-a的图 象的交点个数.作出f(x)= 的图象,如图.   平行移动直线y=-x,当直线过点A时,直线与函数图象有两个交点,由图知-a≤1,即a≥-1, 故选C. 方法总结     　　根据函数零点个数或方程有根求参数的值(或取值范围)   $$