专题四 三角函数与解三角形课件-2026届高三数学一轮复习

专题四 三角函数与解三角形 1 体系透视 题型透析 目 录 题型18 三角恒等变换中的凑角技巧 题型19 三角函数的性质及应用 题型20 解三角形中的最值和范围问题 题型18　三角恒等变换中的凑角技巧 例1     若cos = ,则sin 2α=　     ( ) A. 　    B. 　    C.- 　    D.-      D     思路导引       题型透析 解析    sin 2α=cos =2cos2 -1=2× -1=- ,故选D. 例2     已知2cos(2α+β)-3cos β=0,则tan αtan(α+β)= ( ) A.5　    B. 　    C.-5　    D.-      D     思路导引       解析　由题意得2cos(2α+β)=3cos β, 得2cos(α+β+α)=3cos(α+β-α), 则2cos(α+β)cos α-2sin(α+β)sin α=3cos(α+β)cos α+3sin(α+β)sin α, 即-5sin(α+β)sin α=cos(α+β)cos α, 所以-5tan(α+β)tan α=1, 所以tan(α+β)tan α=- ,故选D. 归纳总结     1.由已知角表示所求角,如2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=α+β-β=α-β+β,α= +  ,β= - 等. 2.当已知角或其倍角与所求角的和或差是 的整数倍时,如 + = ,  - = 等,可以利用诱导公式求解. 题型19　三角函数的性质及应用 1.三角函数的单调性 (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合函数单调性规 律“同增异减”. (2)求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中A≠0,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+ φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要先借助诱导公式将x的系数化 为正数. (3)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求 解. 2.三角函数的奇偶性     3.三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期,一般先通过三角恒等变换化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx +φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B(A,ω,φ,B为常数,A≠0,ω≠0)的形式,再应用公式T= (正弦、 余弦型)或T= (正切型)求解. 4.三角函数图象的对称性 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A≠0,ω≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或 最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函 数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行. 例    (多选) 函数g(x)=sin (ω>0)的图象与x轴交 点的横坐标构成一个公差为 的等差数列❶,向右平移 个单位长度得到函数f(x)的图 象❷,则下列结论正确的是 ( ) A.y=f 为奇函数 B. f(x)的图象关于直线x= 对称 C. f(x)在区间 上单调递增 D.函数y=f(x)+ f '(x)在区间 上的值域为[-1,1]     ABC     思路导引　由❶知,函数g(x)的最小正周期为 ×2=π,ω=2;由❷知, f(x)=g = sin =sin ,然后依次分析各选项. 解析　设g(x)的最小正周期为T,由题意可得 = ,即T=π,则 =π,由ω>0,可得ω=2, 则g(x)=sin ,所以f(x)=g =sin =sin . 对于A,y=f =sin =sin 2x为奇函数,故A中结论正确; 对于B,因为f =sin =sin  =-1为最小值, 所以f(x)的图象关于直线x= 对称,故B中结论正确; 对于C,因为x∈ ,所以2x- ∈ ,又y=sin x在 内单调递增,所以f(x) 在区间 上单调递增,故C中结论正确; 对于D,因为y=f(x)+ f'(x)=sin +cos = sin = sin , 由x∈ ,得2x- ∈ , 则sin ∈ , 所以y= sin ∈[-1, ],故D中结论错误.故选ABC. 题型20　解三角形中的最值和范围问题 例1     已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(a+b)·(sin A -sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为_________. 思路导引       解析　由(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C及正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理的推论得cos A= , 又A∈(0,π),故A= ,又因为a=2, 所以b2+c2-4=bc, 4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号),即bc≤4, 所以S= bcsin A≤ ×4× = ,即△ABC面积的最大值为 . 例2     如图,在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取 值范围是_________________.       ( -  ,  +  )     思路导引       解析　如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB最长,在△BCE中, ∠B=∠BCE=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得 = ,即 = ,解 得BE= + ,平移AD,当D与C重合时,AB最短,设此时与AB交于点F,在△BCF中,∠B= ∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理可得 = ,即 = ,解得BF=  - ,所以AB的取值范围为( - , + ).   归纳总结     1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相 关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. (2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形 式. (3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量是什么,若已知边的范围,求角的范围可利用余 弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边对大角等. $$