专题五　平面向量与复数课件——2026届高三数学一轮复习

专题五　平面向量与复数 1 体系透视 题型透析 目 录 题型21 三角形“四心”与奔驰定理 题型22 等和线定理 题型23 极化恒等式 题型24 复数的几何意义 题型21　三角形“四心”与奔驰定理 角度1　向量与三角形“四心” 　　在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. (1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P 为△ABC的内心. (2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心. (3) + + =0⇔G为△ABC的重心. 题型透析 (4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心. 例1　已知三角形ABC中,点G、O分别是△ABC的重心和外心,且 · =6,| |=2,则边 BC的长为_________.     6     思路导引       解析　如图,延长AG交BC于D,连接OD, 作OH⊥AC于H, 则D,H分别是BC,CA的中点,   则 · =| || |cos∠OAC=| || |=  =  , 同理 · =  =  . 因为G为△ABC的重心, 所以 =  = × ( + )= ( + ), 所以 · = ( + )· = ( · + · )= ( + )=6,即 + =36, 又| |= | |=3, 所以 | + |=3, = = + +2 · =36, 所以 · =0,即AB⊥AC, 所以| |=2| |=6. 角度2　奔驰定理 　　若点O为△ABC内一点(如图),则S△BOC +S△COA +S△AOB =0.   证明:根据三角形重心的性质推导.在射线OB与OC上分别取点B1与点C1,使得点O为 △AB1C1的重心,取B1C1的中点D,AB1的中点E,如图.   由点D为B1C1的中点,得 + =2 ,又点O为△AB1C1的重心,所以 =-2 ,所以  + + =0. 设 =p (p>0), =q (q>0),则 +  +  =0,且| |=p| |,| |=q| |,所 以pq +q +p =0.因为S△BOC= | || |·sin∠BOC, = | || |·sin∠B1OC1, 所以 = =pq.同理 = =p, = =q,所以  +   +  =0.因为点O为△AB1C1的重心,所以 = = ,所以S△BOC + S△COA +S△AOB =0. 例2    (多选)“奔驰定理”因其图形酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美 的结论.它的具体内容是:已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为 SA,SB,SC,则SA +SB +SC =0.以下命题正确的有 ( )   A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心,则BC +AC +AB =0 C.若M为△ABC的垂心,3 +4 +5 =0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5     ABC     D.若∠BAC=45°,∠ABC=60°,M为△ABC的外心,则SA∶SB∶SC= ∶2∶1 解析    A选项,因为SA∶SB∶SC=1∶1∶1, 所以 + + =0, 如图1,取BC的中点D,连接MD,则 + =2 ,所以2 =- ,故A,M,D三点共线,且 MA=2MD, 同理,取AB的中点E,AC的中点F,连接ME,MF,可得B,M,F三点共线,C,M,E三点共线,且 CM=2ME,BM=2MF, 所以M为△ABC的重心,A中命题正确;        B选项,设△ABC的内切圆半径为r, 则SA= BC·r,SB= AC·r,SC= AB·r, 所以 BC·r + AC·r + AB·r =0, 即BC +AC +AB =0,B中命题正确; C选项,若M为△ABC的垂心,3 +4 +5 =0,则SA∶SB∶SC=3∶4∶5, 如图2,AI⊥BC,CG⊥AB,BH⊥AC, 因为S△ABC=SA+SB+SC, 则 = = ,即AM∶MI=3∶1,  = = ,即MH∶BM=1∶2,  = ,即MG∶MC=5∶7, 设MI=m,MH=n,MG=5t, 则AM=3m,BM=2n,MC=7t, 因为∠CAI=∠CBH,sin∠CAI= ,sin∠CBH= , 所以 = ,即m= n, 同理可得 = , 即m= t,故n= t. 因为cos∠BMI= = = , 所以sin∠BMI= = , 故BI=BMsin∠BMI=2n· = n, 因为cos∠CMI= = = , 所以sin∠CMI= = , 故CI=MCsin∠CMI=7t· = t, tan∠ABC= ,tan∠BCA= , 所以tan∠ABC∶tan∠BCA= · = = = = = , 同理可得tan∠BAC∶tan∠ABC= , 故tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5,C中命题正确; D选项,设△ABC的外接圆半径为R,若∠BAC=45°,∠ABC=60°,M为△ABC的外心, 则∠ACB=75°,∠BMC=2∠BAC=90°,∠AMC=2∠ABC=120°,∠AMB=2∠ACB=150°, 故SA= R2sin 90°= R2,SB= R2sin 120°= R2,SC= R2sin 150°= R2, 所以SA∶SB∶SC=2∶ ∶1,D中命题错误. 故选ABC. 归纳总结　奔驰定理与三角形“四心”的关系 1.若O是△ABC的重心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=1∶1∶1. 2.若O是△ABC的内心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c. 3.若O是△ABC的外心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin 2∠BAC∶sin 2∠ABC∶sin 2∠ACB. 4.若O是锐角△ABC的垂心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB. 题型22　等和线定理 1.等和线定理 如图,平面内一个基底{ , }及任意向量 满足 =λ +μ (λ,μ∈R),若点P在直线 AB上或在平行于AB的直线CD上时,λ+μ=k 定值k= ,Q为OP与直线AB的交点 ,反 之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线CD称为等和线. (1)当点O在直线AB与点P所在的直线CD之间时,k<0; (2)当点P所在的直线CD过点O时,k=0; (3)当点P所在的直线CD在点O和直线AB之间时,k∈(0,1); (4)当点P在直线AB上时,k=1; (5)当直线AB在点O与点P所在的直线CD之间时,k∈(1,+∞). 2.等和线的应用 用基底表示的系数和问题可考虑用等和线求解,其核心是找到基向量终点连线的平行 线,将系数和问题转化为线段比例问题. 例1     在扇形OAB中,∠AOB=60°,| |=1,C为 上的一个 动点,且 =x +y ,则x+4y的取值范围为 ( ) A.[1,4)　    B.[1,4]　    C.[2,3)　    D.[2,3]     B     思路导引    思路一等和线法,找到系数和为1的等和线;思路二建系法,建立平面直角坐 标系,再利用三角函数性质求解. 解析    解法一(等和线法)由题意得, =x +4y (配凑系数,利用等和线求解),令 =  ,如图1,则直线AB1为k=1的等和线,所有与直线AB1平行的直线中,过点B的直线离点O 最远,此时k的值最大,且k= =4,显然k的最小值为1,即x+4y∈[1,4].  　      解法二(建系法)以O为原点,OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图2, 令∠COB=θ,则0°≤θ≤60°,C(cos θ,sin θ). 因为| |=1,所以B(1,0),A , 因为 =x +y , 所以 则  则x+4y=- sin θ+4cos θ,当0°≤θ≤60°时, 易知f(θ)=- sin θ+4cos θ单调递减,故f(θ)∈[1,4]. 例2     如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,点D在边BC上,延长AD 到点P,使得AP=9,若 =m +  (m为常数),则CD的长度是___________.        或0     解析　因为m+ -m= 为定值,所以结合等和线知 = .所以PD=6,AD=3.当点D与点 C重合时,AD=AC=3,符合题意;当点D与点C不重合时,在△ACD中,AD=AC=3,cos∠ACD = = ,所以CD=2ACcos∠ACD=2×3× = . 综上所述,CD的长度为 或0. 题型23　极化恒等式 1.极化恒等式:a·b= [(a+b)2-(a-b)2]. 2.几何解释 (1)平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的 , 即a·b= [(a+b)2-(a-b)2](如图).   极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之 间的等量关系. (2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即 ·  = - (M为BC的中点)(如图). 例1    如图,在四边形ABCD中,| |=4, · =12,E为AC的中点,  =2 ,则 · 的值为 ( )   A.0　    B.12　    C.2　    D.6     A     思路导引　利用极化恒等式将数量积用向量的模表示. 解析　∵| |=4,E为AC的中点, ∴| |=| |=2. 根据极化恒等式可得 · =| |2-| |2= -4=12,∴| |=4,∴| |= | |=2, ∴ · =| |2-| |2=4-4=0. 例2    窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的汉族传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受国内外人士喜爱.图甲是一个正八边形窗花隔断,图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长 为2 ,M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点,则 · 的最大值为 ( )        A.30+4 　    B.28+8  C.26+16 　    D.24+16    D     思路导引　取AB的中点O,连接MO,将问题转化为求| |的最大值即可. 解析　如图,取AB的中点O,连接MO,BE,OE, 分别过点C,D作BE的垂线,垂足为I,J, 由极化恒等式可得 · = - = -2, 当点M与点F或点E重合时,| |取得最大值,易得四边形CDJI为矩形,△BCI,△DEJ为等 腰直角三角形,则IJ=2 ,BI=EJ=2, 则BE=4+2 ,又BO= , 则 的最大值为BO2+BE2=( )2+(4+2 )2=26+16 , 所以 · 的最大值为24+16 . 题型24　复数的几何意义 例1     已知复数z满足|z-1-i|=1,则|z+i|的最大值为 ( ) A. +1　     B. +1　     C.2 +1　    D.2 +1     B     思路导引　利用复数模的几何意义进行转化,根据圆的性质求出最大值. 解析　|z-1-i|=1表示在复平面内复数z对应的点Z的轨迹是以点C(1,1)为圆心,1为半径的 圆.|z+i|是点Z到点A(0,-1)的距离,而|AC|= = ,所以|z+i|的最大值为 + 1.故选B. 例2    (多选)已知复数z1=1+i,z2=x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是 ( ) A.当x>0,y>0时,z2在复平面内对应的点在第一象限 B.当且仅当x=-1时,z1+z2为纯虚数 C.当|z1z2|=2时,|z2|=  D.|z1-z2|=1表示z2在复平面内对应的点的轨迹是圆     ACD     解析    A选项,因为z2在复平面内对应的点的坐标为(x,y),x>0,y>0, 所以z2在复平面内对应的点在第一象限,因此A中结论正确; B选项,z1+z2=(x+1)+(y+1)i为纯虚数,则x=-1且y≠-1(提示:纯虚数满足实部为0,虚部不为 0),因此B中结论错误; C选项,|z1z2|=|z1||z2|=2,而|z1|= , 因此|z2|= ,因此C中结论正确; D选项,|z1-z2|= =1,因此(x-1)2+(y-1)2=1,所以z2在复平面内对应的点的轨迹 是圆心为(1,1),半径为1的圆,因此D中结论正确.故选ACD. 归纳总结     　　设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是A(a,b),B(c,d), (1)|z1-z2|=|AB|= ,则|z1-z2|的几何意义是复平面内复数z1,z2对应的点A,B的 距离. (2)设复数z对应的点是Z, ①若|z-z1|=r,r>0,则点Z的轨迹为圆; ②若r1<|z-z1|<r2(0<r1<r2),则点Z的轨迹为圆环,但不包括边界; ③若|z-z1|=|z-z2|,则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线. $$