专题一 集合、常用逻辑用语与不等式课件-2026届高三数学一轮复习

专题一集合、逻辑用语与不等式 1 体系透视 题型透析 目 录 题型1 集合中的容斥原理 题型2 集合中的创新题 题型3 充分、必要条件的判断 题型4 基本不等式中的拼凑法和换元法 题型5 基本不等式链的应用 题型6 双重最值问题 题型1 集合中的容斥原理 容斥原理实质上是一种计数方法,在计数时我们先不考虑重叠的情况,把包含于某 内容中的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的数目去掉,最终使得计 算结果既无遗漏又无重复. 在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫 做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如,A={a,b,c},则card(A)=3. 题型透析 1.两个集合的容斥原理 一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所 示.   2.三个集合的容斥原理 一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)- card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示.   例 “运动改造大脑”,为了增强身体素质,某班学生积极 参加学校组织的体育特色课堂,课堂分为球类项目A、径赛项目B、其他健身项目C.该 班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项 目C;其中有6名同学同时选择A和B,4名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和C.若 全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是  ( ) A.51 B.50 C.49 D.48 B 思路导引   解析 把选择项目A,B,C的同学分别看作3个不同的集合A,B,C. 由题意,知card(A)=25,card(B)=20,card(C)=18,card(A∩B)=6,card(A∩C)=4,card(B∩C)=3,   因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,所以这个班同学 人数是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)=25+20+18-6-4-3=50.故选B. 题型2 集合中的创新题 例1 (集合新定义)定义非空数集M的“和睦数H”如下:将M中的 元素按照递减的次序排列,然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果. 例如,集合{1,2,3,4,5}的“和睦数”是5+4-3+2-1=7,{2,4}的“和睦数”是4+2=6,{1}的 “和睦数”是1.对于集合A= n  ∈N,n∈N ,其所有非空子集的“和睦数”的总和 为 ( ) A.82 B.74 C.12 D.70 A 思路导引   解析 A= n  ∈N,n∈N ={1,2,3,6},其非空子集有24-1=15个. 当子集为单元素集{1},{2},{3},{6}时,“和睦数”分别为1,2,3,6,和为12; 当子集为双元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}时, “和睦数”分别为3,4,7,5,8,9,和为36; 当子集为三元素集{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6}时, “和睦数”分别为4,7,8,7,和为26; 当子集为四元素集{1,2,3,6}时,“和睦数”为6+3-2+1=8. 故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82.故选A. 例2 (集合新运算)定义集合运算:A B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},若集 合A={0,2},B={-1,1},则集合A B中所有元素之和为_. 4 思路导引   解析 A={0,2},B={-1,1}, 当x=0,y= 1时,z=0; 当x=2,y=-1时,z=-2; 当x=2,y=1时,z=6. 所以A B={0,-2,6},所以集合A B中所有元素之和为0+(-2)+6=4. 例3 (集合新性质)对于非空实数集合A,记A*={y|∀x∈A,y ≤x},设非空实数集合P满足条件“若x<1,则x∉P”且M⊆P,给出下列命题: ①若全集为实数集R,对于任意非空实数集合A,必有∁RA=A*; ②对于任意给定符合题设条件的集合M,P,必有P*⊆M*; ③存在符合题设条件的集合M,P,使得M*∩P= ; ④存在符合题设条件的集合M,P,使得M∩P*≠ . 其中所有正确命题的序号是_. ②③④ 思路导引   解析 对于非空实数集A,记A*={y|∀x∈A,y≤x},则A*中元素为不大于A中所有值的数, 即A*为不大于A中最小元素的数组成的集合. ①当集合A中元素的下边界趋向负无穷时,如A=(-∞,2],∁RA=(2,+∞),A*= ,故①错误; ②M⊆P,假设M中元素的最小值为m,P中元素的最小值为p,那么m≥p. 因此M*表示不大于m所有数组成的集合,P*表示所有不大于p的数组成的集合,则P*⊆M*, 故②正确; ③令M=P= x 1<x<  ,则M*={x|x≤1},故M*∩P= ,故③正确; ④令M=P={x|2≤x<3},则P*={x|x≤2},故M∩P*={x|x=2}≠ ,故④正确. 故答案为②③④. 知识拓展 对于以集合为背景的创新问题常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发 现”为目的.集合中的创新问题主要体现在:(1)集合中的新定义问题;(2)集合中的新运 算问题;(3)集合中的新性质问题.解决集合中的创新题的着手点如下: (1)正确理解新定义、新运算、新性质,剥去它们的外表,转化为我们熟悉的集合知识; (2)合理利用集合性质是破解问题的关键; (3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法进行求解,当不满足要求 时,只需通过举反例来说明. 题型3 充分、必要条件的判断 例1 集合M={y|y=2x,x>0},N={y|y=log2x},那么“x∈M”是“x∈N”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 思路导引   解析 因为M={y|y=2x,x>0}={y|y>0},N={y|y=log2x}=R,所以集合M是集合N的真子集,则 “x∈M”是“x∈N”的充分而不必要条件. 故选A. 例2 已知集合A={x|x2-(m2+2m-1)x+2m3-m2≤0},集合B= x  ≤2x≤ 16 ,若x∈B是x∈A的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 ( ) A.[-2,2] B.(-2,2] C.[-2,2) D.(-2,2) B 思路导引   解析 因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,所以A⫋B.由题意知B={x|-5≤x≤4},A={x|(x -m2)(x-2m+1)≤0}, 令(x-m2)(x-2m+1)=0,得x1=m2,x2=2m-1, 当x1=x2,即m=1时,A={1},满足题意; 当x1≠x2,即m≠1时,由m2-(2m-1)=(m-1)2>0,得A={x|2m-1≤x≤m2}. 由集合A是集合B的真子集,得 或 解得-2<m≤2且m≠1. 综上所述,m∈(-2,2]. 故选B. 方法总结 充分、必要条件的判断方法 1.定义法:根据p q,q p是否成立进行判断. 2.集合法:根据p,q成立与对应的集合间的关系判断.(详见体系透视P2) 题型4 基本不等式中的拼凑法和换元法 角度1 拼凑法 例1 已知x>2y>0,则x+ + 的最小值为  ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 C 思路导引   解析 ∵x>2y>0, ∴x-2y>0,x+2y>0. x+ + = [(x+2y)+(x-2y)]+ + = + + + ≥ 2 +2 =6, 当且仅当 即 时等号成立. ∴x+ + 的最小值为6. 故选C. 方法总结 1.拆项的技巧与方法 将相关代数式中的一项或几项拆为另几项的和或差的形式 如 =x+2+  ,构造 出“和为定值”或“积为定值”的形式. 2.添项配凑法的常用技巧 (1)单变量观察分母:   (2)双变量观察分母:   角度2 换元法 例2 (“1”的代换) 在1和11之间插入m个数,使得这m+2个数 成等差数列.若这m个数中第1个为a,第m个为b ,则 + 的最小值是  ( ) A.  B.2 C.3 D.  C 思路导引   解析 由题意知a+b=1+11=12,1<a<b<11,则 + =1,所以 + =  = +  + + ≥ +2 =3, 当且仅当 = ,a+b=12,即b=10,a=2时等号成立,此时a,b满足1<a<b<11,m=9, 所以 + 的最小值是3. 故选C. 例3 (整体换元)已知实数x>y>0,则 + 的最小值为  ( ) A.12 B.9 C.6 D.3 B 思路导引   解析  + = + ,  的分子,分母同除以y2 设t= -1, 由x>y>0,得t>0, 则原式=3(t+1)+ =4t+ +5≥2 +5=9,当且仅当4t= ,即t= 时等号成立.故 +  的最小值为9. 故选B. 技巧总结 “1”的代换的解题步骤 已知正数x,y满足ax+by=1,求 + 的最小值 满足 + =1,求ax+by的最小值,也是一 样的操作 ,其中a,b,c,d都为正数. 第一步:将“1”用ax+by代替, + = (ax+by)=ac+bd+ad  +bc  , 第二步:使用基本不等式,ad  +bc  ≥2 ,当且仅当ad  =bc  时取等号, 第三步:得出 + 的最小值为ac+bd+2 . 题型5 基本不等式链的应用 基本不等式链: ∀a>0,b>0,有 ≤ ≤ ≤ ,当且仅当a=b时取等号,其中 和  分别叫做a和b的调和平均数、平方平均数.上述不等式链中比较常用的是后三项的大 小关系,且常以平方形式ab≤ ≤ 出现,此时a,b可以为任意实数. 证明:首先,要证 ≤ ,只要证 ≤ ,即要证 ≥ ,即要证a+b≥2 .因 为a-2 +b= ≥0, 所以a+b≥2 ,当且仅当a=b时等号成立,所以原式得证. 要证 ≤ ,即证 ≤ . 因为 - = ≥0, 所以 ≤ ,当且仅当a=b时等号成立. 综上, ≤ ≤ ≤ ,其中a,b都是正数,当且仅当a=b时等号成立. 例 (多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑,所用时间分别为t1,t2, t3.甲有一半的时间以速度v1米/秒奔跑,另一半的时间以速度v2米/秒奔跑;乙全程以速度  米/秒奔跑;丙有一半的路程以速度v1米/秒奔跑,另一半的路程以速度v2米/秒奔跑. 其中v1>0,v2>0.则下列结论一定成立的是 ( ) A.t1≤t2≤t3 B.t1≥t2≥t3 C.t1t3=  D. + =  AC 解析 由题意知 t1v1+ t1v2=100,t2 =100,t3= + , 所以t1= ,t2= ,t3= ,由基本不等式可得 ≥ ,所以 ≤ =  ,所以 ≥ ≥ >0,故t1≤t2≤t3,当且仅当v1=v2时等号全部成立.故A中结 论成立,B中结论不成立; 又   =( )2,所以t1t3= ,故C中结论成立;  + = , = , 取v1=1,v2=2,此时 + ≠ ,所以D中结论不一定成立. 题型6 双重最值问题 形如求max{min{f1(x1), f2(x2),…,fn(xn)}}的问题称为“双重最值问题”.按其变元的 个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题. 角度1 一元双重最值问题 一元双重最值问题的本质为函数最值问题,难点是分类讨论. 例1 (多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}= 若f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,则下列关 于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是 ( ) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有两个解 C.函数F(x)有3个单调区间 D.函数F(x)有最大值0,无最小值 ABD 解析 令f(x)≤g(x), 即2-x2≤x2-2, 解得x≤- 或x≥ , 所以F(x)= 作出F(x)的图象如图所示,   由图象可得,函数F(x)为偶函数,有两个零点- , ,四个单调区间,当x=  时,函数F(x) 取得最大值0,无最小值. 故选ABD. 例2 记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-x+1,-x+6},则函数 f(x)的最大值为_. 思路导引   解析 作出f(x)的图象,如图中实线部分所示,由图可知, f(x)在点A处取得最大值,由  解得y= ,故f(x)的最大值为 .   方法总结 求解y=max{f(x),g(x)}(或y=min{f(x),g(x)})的最大值(或最小值)的步骤: 1.分别作出f(x),g(x)的图象, 2.结合图象,直接读出最高点或最低点, 3.联立得方程组,求出最大值或最小值. 角度2 多元双重最值问题 多元双重最值问题的本质为不等式问题,可采用平衡系数法,结合基本不等式(二 元或三元)和条件式中的不等关系,消去参数,务必注意取等条件,保证所求最值能取到. 例3 记max{a,b}为a,b两数的最大值,当正数x,y(x>y)变化时,t=max 的最小 值为_. 10 思路导引 思路一 思路二 解析 解法一由题意知t≥x2,t≥ ,∴2t≥x2+ . 又x2+ ≥x2+ =x2+ ≥2 =20, ∴2t≥20,即t≥10, 当且仅当  即  时等号成立,所以t=max 的最小值为10. 解法二由题意知t≥x2>0,t≥ >0, ∴t2≥x2  . 又x2  ≥x2  =x2  =100,∴t2≥100,即t≥10, 当且仅当y=x-y,即x=2y>0时等号成立, 所以t=max 的最小值为10. 模型总结 用基本不等式求解多元双重最值问题 不妨以y=max{min{f(x1), f(x2),…, f(xn)}}为例. 1.令M=min{f(x1), f(x2),…, f(xn)}; 2.  3.结合题目所给条件式,消去f(x1), f(x2),…, f(xn),得到关于M的不等式g(M)≤0, 一般用加或乘,使用过程中要注意取等条件的验证; 4.解出M≤A,且要使等号成立,A即为所求最大值. $$