1.2集合间的基本关系-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕集合间的基本关系展开，涵盖子集、真子集、集合相等及空集等核心知识点。承接实数关系背景，为后续集合运算奠基。通过创设情境、小组讨论等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于类比实数关系引入，采用小组讨论激发学生思维。从学生层面提升其逻辑思维能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破集合关系判断及参数求解等教学难点。

1.2集合间的基本关系　 教 学 目 标 、 重 点 难 点 教学目标： 1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义. 2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系. 3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围，在具体情境中了解空集的含义. 4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系,树立数形结合的思想. 教学重点：集合间的包含与相等的关系；子集与真子集的概念. 教学难点：能根据集合间的关系求解相关参数；属于关系与包含关系的区别. 教学流程 课堂探究： 创设情境： 实数之间有相等关系、大小关系， 思考：类比实数之间的关系，集合之间是否具备类似的关系. 【探究一】子集 观察以下几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，找出下面两个集合之间的关系 （1） A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; （2）A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B为这个班全体学生组成的集合; 思考：类比实数之间的相等关系、大小关系，找出下面两个集合之间的关系. 以小组讨论的方式进行探究。可以得到通过讨论可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素. 这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A. (2) 中的两个集合之间也有这种关系. 可以得到： 1.子集概念 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集. 记作A⊆B（或B⊇A） 读作“A包含于B”（或“B包含A”） 2. Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 3. 用Venn图来表示子集关系 ( 或 B A A(B) ) 【探究二】集合相等 思考：观察下列两个集合 ，并指出它们元素间的关系 E＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝， F＝｛x｜x是等腰三角形｝. 集合A中的元素和集合B中的元素是一样的 从而得到： 1.集合相等 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 2.用Venn图来表示集合相等关系 ( A(B) ) 【探究三】真子集概念 思考：观察下列两个集合 ，并指出它们元素间的关系 A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} 1,2,3是集合A中的元素, 4，5是集合B中的元素，但不是集合A中的元素 从而得到： 1.真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x ∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).读作:“A真含于B”（或“B 真包含A”） 2.用Venn图来表示真子集关系 ( B A ) 【探究四】空集 思考：观察下面的集合A 中有多少个元素 方程没有实数根，所以集合A中没有元素 从而得到： 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ⌀. 并规定：空集是任何集合的子集。 小组讨论活动：区分0，{0}、∅、{∅}之间有什么关系? 【探究五】集合间基本关系的性质 由集合间基本关系可以得到如下结论 ①空集是任何集合的子集⌀⊆A ②空集是任何非空集合的真子集⌀⫋A （A ≠ ⌀） ③任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆ A ④对于集合A，B，C，如果 A ⊆B,且B⊆C，则A⊆C 注意： ①元素与集合关系：属于(∈)与不属于(∉) ②集合与集合关系：包含(⊆)、真包含(⫋)、相等(=) 例1 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A ={1，2，3}，B ={x | x是8的约数}； （2）A ={ x | x是长方形}，B ={ x | x是两条对角线相等的平行四边形}. 练习巩固： 1.已知集合P={1,0,1,2},Q={1,0,1},则(　　 ) A.P∈Q　 B.P⊆Q　 C.Q⊆P　 D.Q∈P 2.已知集合A={x|1<x<2},B={x|0<x<1},则(　 　) A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B 3.下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{0} B.{x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x21=0} D.{x|x>4} 4.已知集合A={1,m},B={1,m2},且A=B,则m的值为　　　　　. 【探究六】子集个数 例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 答：集合{a，b}的所有子集为：∅，{a}，{b}，{a，b}. 真子集为：∅,{a}，{b}. 变式： （1）写出所有{a，b，c}的所有子集； （2）写出所有{a，b，c，d}的所有子集 （1）∅ ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}， {b， c}，{a，b，c} （2）∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{a, c}，{a, d}，{b, c}，{b, d}， {c, d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}， {b，c，d}， {a，b，c，d}. 由此可以猜测： 即集合A中含有n个元素，则有： （1） A的子集的个数为2n个； （2） A的真子集的 个数为个； （3） A的非空真子集的个数为个. 课堂练习 1.已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　) A.A⫋B B.A=B C.B⫋A D.B⊆A 2.已知集合 (1)若,求实数m的取值范围; (2)若,求实数m的取值范围 课堂小结 学了什么？ （1） 子集、真子集、空集的概念 （2） 集合间关系的性质 （3） 子集个数 （4） 判断集合间的关系，利用集合间关系解决含参数问题 （5） 作业 作业设计：课时作业本 教 后 反 思 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$