江西省上饶市婺源县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年江西省上饶市婺源县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若的周长为，则的长可能为 A. B. C. D. 2.若是直角三角形，两条直角边分别为和，在三角形内有一点，到各边的距离都相等，则这个距离等于(    ) A. B. C. D. 3.已知，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.对于任意整数，多项式都是能被整数． A. B. C. D. 5.已知，关于的方程无解，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.当时，化简 ______． 7.在实数范围内分解因式：______． 8.已知等腰中，，是边上一点，连接，若和都是等腰三角形，则的度数是_______ 9.在中，，，，则______． 10.如图，在中，，点、、分别在、、上，四边形为平行四边形，，则▱的周长是______． 三、解答题：本题共10小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 计算：． 12.本小题分 已知：，，，试确定、、之间的数量关系． 13.本小题分 如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 14.本小题分 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连结并延长，交于点． 求证：点是的中点要求：全等最多使用一次 15.本小题分 如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 16.本小题分 如图，在中，已知，是的平分线，延长至点，使得，求的度数． 17.本小题分 因式分解：． 18.本小题分 如图，在中，，分别以、为边，往外侧作正方形、正方形已知正方形、的面积分别为、． 求的长． 连结，求的长． 19.本小题分 如图，是直角三角形，，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形和矩形． 设图中矩形和矩形的面积分别为、，则______填“”、“”、“”； 如图，若是钝角三角形，按此要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，在图中画出来． 如图，若是锐角三角形且三边满足，按要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出______个，请画出来． 20.本小题分 记三角形三边长、、，对应边上的高为、、，面积记为，请解答： 已知：：：：，且这三角形周长为，求、、． 若三条高分别为、、的三角形是等腰三角形，求． 若三条高分别为、、，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的周长为， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， ， 的长可能为． 故选：． 由三角形三边关系定理得到，求出，即可得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2.【答案】  【解析】解：的两条直角边分别为和， 斜边， 设到各边的距离都相等为， 则， 解得． 故选：． 根据勾股定理列式求出斜边的长度，然后根据三角形的面积列式求解即可． 本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用，本题利用三角形的面积列式求解更加简便． 3.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 先求出的值，进行比较，然后根据同法则 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 4.【答案】  【解析】解： ， 很显然式子能被整除． 故选：． 因为，据此求出式子能被整除． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用平方差公式解决问题． 5.【答案】  【解析】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 由于分式方程无解，即分式方程有增根， 把代入得，， 解得． 故选：． 根据分式方程的解法和增根的定义进行解答即可． 本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键． 6.【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简即可． 本题考查二次根式的性质与化简、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 首先提取公因式，然后利用平方差公式分解，即可求得答案． 此题考查了在实数范围内的因式分解．此题比较简答，注意因式分解的步骤为：一提公因式，二看公式．注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 8.【答案】或  【解析】解：应分两种情况： 如图 ，， ， 又， ， ， 又， ； ，， ， 又，， ， ， ． 故填或． 和都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论． ，，利用等腰三角形性质，可求得，那么； ，，，那么，，然后用表示出的内角和，即可求得，那么． 本题考查了等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系． 9.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 根据含角的直角三角形的性质得出，再结合，得出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟记勾股定理，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：四边形为平行四边形，，，，， ，， ， ，，， ，，， 平行四边形的周长， 故答案为：． 首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，再由，可得，，，根据等角对等边可得，，，进而得到答案． 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等． 11.【答案】解： ．  【解析】首先将括号里进行通分，进而将分子与分母因式分解，再化简得出即可． 此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键． 12.【答案】解：， ， ，   【解析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出、、之间的数量关系． 本题考查同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是利用进行等量代换求出，需要学生灵活运用所学的公式． 13.【答案】四边形是平行四边形，，理由见解析过程．  【解析】解：四边形是平行四边形，． 、分别是边、上的中线， 点是的重心， ． 点，分别是和的中点， 是的中位线， ，． 同理可得，，， ，， 四边形是平行四边形． 根据题意，得出点为三角形的重心，据此得出与的长度关系，再结合三角形中位线定理得出四边形的形状即可． 本题主要考查了三角形的重心及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的中位线定理是解题的关键． 14.【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， 即， ． 在和中， ， ≌， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明≌，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15.【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是．  【解析】求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题． 16.【答案】．  【解析】解：在上截取，连接，如图， 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， ，． 又， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ≌， ． 所以的度数为． 分析题意，可在上截取，连接，易证≌，根据全等三角形的性质可得，；接下来联系等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，的度数，则可得；结合上步结论及图形，根据“”证明≌，由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是全等三角形的判定定理． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 根据整式乘法的性质计算，再根据平方差公式和公因式提取的性质，得到，再结合完全平方公式计算，即可得到答案． 本题考查了分解因式的知识，关键在于熟练掌握提取公因式、平方差公式、完全平方公式的性质． 18.【答案】；  ．  【解析】解：正方形、的面积分别为、， ，， ， ， ； 过作交的延长线于， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ≌， ，， ， ． 由正方形的面积公式得到，，由勾股定理求出； 过作交的延长线于，由正方形的性质推出，，由余角的性质推出，判定≌，推出，，求出，由勾股定理即可求出的长． 本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定≌，推出，，由勾股定理求出的长． 19.【答案】；  ；  ．  【解析】由题意，， ． 故答案为：； 如图中，矩形即为所求， 故答案为：； 如图，矩形，矩形，矩形即为所求． 故答案为：． 由题意，，由此可得结论； 只能画出一个矩形．如图所示； 可以画三个矩形，如图所示． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】，，；   ；  ．  【解析】设，，， 则， 即， ：：：：， 又， ，，； 设三角形的面积为， 则， ， 分两种情况： 如果，那么，解得：； 如果，那么，不满足三角形三边关系定理，故舍去． 故． 设三角形的面积为，由知． 又， 即， ， ． 设，，，根据三角形的面积公式列出等式，得出：：：：，再由三角形的周长为，即可得出答案； 设三角形的面积为，根据三角形的面积公式，可用含的代数式分别表示，，的值，显然，所以分两种情况进行讨论：；对每一种情况，列方程求出解以后，利用三角形三边关系定理检验． 设三角形的面积为，由知，再根据三角形三边关系定理列出不等式组，求解即可． 本题考查了三角形的周长，面积公式，三角形三边关系定理，等腰三角形的性质，综合性较强，有一定难度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$