24.3 正多边形和圆 （课件）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.3 正多边形与圆 人教版·初中数学·九年级上册·第二十四章 学 习 目 标 1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 重点 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系 我们知道，各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,利用正多边形，我们也可以得到许多美丽的图案，你能举出一些这样的例子吗？ 新课导入 新知探索 如图，把⊙O五等分； 依次连接各等分点； 即可得正五边形。 活动一：探索正多边形与圆的关系 思考：如何借助圆做一个正五边形？证明你的结论。 新知探索 证明： 新知探索 正多边形与圆 把一个圆等分得到的正多边形叫做这个圆的内接多边形，这个圆就叫做正多边形的外接圆。 如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆。 如何画一个边长为2cm的正六边形？ 合作探究 我们知道，把圆六等分，再依次连接各等分点即可得到一个正六边形。但半径为多少的圆，六等分后得到的正六边形的边长为2cm？故我们需要知道圆的半径与正多边形边长之间的关系。 活动二：探索正多边形相关概念 概念总结 正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离. 概念辨析 图形 点O ∠AOB 线段OC 线段OM 线段ED 正多边形 中心 中心角 半径 边心距 边 圆 圆心 圆心角 半径 弦心距 弦 中心角 合作探究 活动三：探索正多边形边角关系 1.正多边形的边和半径形成了怎样的三角形？这些三角形间有怎样的关系？ 2.正多边形的半径、边心距与对应的边之间有怎样关系? 合作探究 结合圆与多边形的关系，根据已知条件 ，计算下列多边形的其他几何量 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 120° 2 1 4 90° 90° 2 1 8 16 5 120° 60° 2 2 12 归纳小结 名称 公式 说明 中心角 α为中心角，n为边数 边心距、边长、半径间的关系式 R为半径，r为边心距，α为边长 周长 P为正n边形的周长，α为边长 面积 S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，r为边心距 例1：一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 精例解析 分析：先根据题意，画出正六边形，已知正六边形的半径为4m，要求正六边形的周长和面积，需要先求出正六边形的边长。半径和边长同在一个三角形中，所以利用半径求边长则要构建三角形求解. 解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形， 所以它的中心角等于 =60°，△OBC是等边三角形， 从而正六边形的边长等于它的半径. 因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）. 作OP⊥BC,垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4 m， PC= =2（m）,利用勾股定理， 可得边心距r= 亭子地基的面积S= 精例解析 拓展2：如图，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEF…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON. (1)图①中∠MON的度数是 ； (2)图②中∠MON的度数是 ； (3)图③中∠MON的度数是 ； (4)试探索∠MON的度数与正n边形的边数n关系（直接写答案）。 拓展练习 通过这节课的学习， 1.你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？ 2.你知道正多边形的半径，边心距，内角，中心角等概念吗？ 3.你能画出正多边形吗？ 课堂小结 1.课堂作业: 完成教材P108 第1、2、4 题 2.家庭作业: 请完成练习册P117-118对应习题 课后作业 $$