江苏省南京市协同体九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2024-2025学年高二下学期南京协同体九校联考期中数学试卷 一、单项选择题： 1. 已知 ，且，则（ ） 2. 已知 ，则向量与的夹角为（ ） 3. 已知,则（ ） 4. 乘积展开后共有（ ）项. 5. 已知空间向量则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） 6. 已知,若四点共面，则（ ） 7. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） 种 种 种 种 8.正方体的棱长为，空间中的动点满足,则的取值范围为（ ） 二、多项选择题 9.下列结论正确的是（ ） 己知向量,则向量在上的投影向量为 若对空间中任意一点,有,则四点共面 若是空间的一组基底，若,则也是空间的一组基底 若直线的方向向量为,平面的法向量则直线 10. 己知,则下列描述正确的是（ ） 11.下列说法正确的是（ ） 个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 三、填空题 12.从这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 . 13.的展开式中含项的系数为 . 14.如图，在平行六面体中，为的中点，,交平面为, 则的值为 . 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，点为的中点，,设 (1)试用向量表示向量; (2) 若,且, 求证: . 16. 在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 17. 如图，在直三棱柱中,分别为的中点. 1. 求异面直线与所成角的余弦值； (2) 求点到平面的距离; (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18. 直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点. (1) 证明: ; (2) 若,且平面与平面所成角的余弦值为求. 19. 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如, ,请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究。 (1) 计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出 (1)的一般性结论并证明； (3) 证明: 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期南京协同体九校联考期中数学试卷 一、单项选择题： 1. 已知 ，且，则（ ） 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 故选： 2. 已知 ，则向量与的夹角为（ ） 【答案】 【解析】由题意得 ,则 由于,所以 故选： 3. 已知,则（ ） 【答案】 【解析】. 故选： 4. 乘积展开后共有（ ）项. 【答案】 【解析】由于每一项互不相同，展开后共有项 故选： 5. 已知空间向量则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） 【答案】 【解析】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选： 6. 已知,若四点共面，则（ ） 【答案】 【解析】若四点共面,则共面， 设， 则，解得 故选： 7. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） 种 种 种 种 【答案】 【解析】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法，其次选一人在乙丙中间有种排法，然后乙丙中间排序有种排法，最后另一人选在排头排尾有种排法，共种排法. 故选： 8.正方体的棱长为，空间中的动点满足,则的取值范围为（ ） 【答案】 【解析】以为原点建立坐标系，点满足： 化简得：，表示以为球心，半径为的球. 向量 由球的方程，的取值范围为, 故的范围为. 故选： 二、多项选择题 9.下列结论正确的是（ ） 己知向量,则向量在上的投影向量为 若对空间中任意一点,有,则四点共面 若是空间的一组基底，若,则也是空间的一组基底 若直线的方向向量为,平面的法向量则直线 【答案】 【解析】 对于，向量在上的投影向量，故不正确； 对于，，则四点共面，故正确； 对于，是空间的一组基底，线性无关，而，则线性无关，也是空间的一组基底，故正确； 对于，，因而或在平面内，故不正确. 故选： 10. 己知,则下列描述正确的是（ ） 【答案】 【解析】 对于，将代入，，故正确； 对于，，故正确； 对于，将代入，,故不正确； 对于，对求导，，将代入得到，故正确. 故选： 11.下列说法正确的是（ ） 个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【答案】 【解析】 对于，共有种不同的放法，故正确； 对于，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故不正确； 对于，共有共种分组方式，共有种不同的放法,故正确； 对于，相当于6个小球共有7个空格放置两个隔板，有种不同的放法,故不正确 故选： 三、填空题 12.从这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 . 【答案】 【解析】根据分步计数原理，先排首位数字，再排后面的数字，有种 故答案为： 13.的展开式中含项的系数为 . 【答案】 【解析】的展开式中含项为 故答案为： 14.如图，在平行六面体中，为的中点，,交平面为, 则的值为 . 【答案】 【解析】 延长与延长线交于，过作，交延长线于,连接交于, 易知,即 ,即 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，点为的中点，,设 (1)试用向量表示向量; (2) 若,且, 求证: . 【答案】 见解析 【解析】为中点 ， 且 为等边三角形且 为重心 同理可证 16. 在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】见解析 见解析 【解析】由， 得，显然. 二项式系数中最大的项是第5项与第6项，其中 依题意，展开式中有常数项，且， 则，常数项为 17. 如图，在直三棱柱中,分别为的中点. 1. 求异面直线与所成角的余弦值； (2) 求点到平面的距离; (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】解：（1）由题意可知、、两两垂直， 如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，， 设面的一个法向量为， 则由，，有， 取，可得，，即， 所以点到平面的距离； （3）由（1）知，， 设面的一个法向量为， 则由，，有， 取，可得，，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点. (1) 证明: ; (2) 若,且平面与平面所成角的余弦值为求. 【答案】见解析 【解析】 取中点,连接 为中点， 即四边形为平行四边形, , , . 设 设，,解得 解得，故 19. 我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如, ,请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究。 (1) 计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出 (1)的一般性结论并证明； (3) 证明: 【答案】 见解析 见解析 见解析 【解析】, 从而， ，证明如下： ，等式左侧的系数为, 等式右侧的系数为 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即 ，等式左侧的系数为 等式右侧的系数为 , 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$