第1章 一元二次方程（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

第1章 一元二次方程单元复习 教学目标 1.讲解一元二次方程定义及一般形式，通过实例演示开平方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤并练习。 2.推导根的判别式，分析根的情况；探究根与系数关系，结合例题巩固应用。 3.梳理列方程解应用题步骤，针对常见场景（面积、利润等）设计例题，强化建模与检验能力。 教学重难点 1.重点：掌握四种解法及适用场景；理解判别式作用；运用根系关系解题；列方程解决实际问题。 2.难点：配方法中配方过程的掌握；公式法中判别式的灵活应用；实际问题中等量关系的提炼。 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即学即练】 1．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 故选：D． 2．下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义． B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义． C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程． D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义． 故选A． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的符号。 【即学即练】 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 知识点03 解一元二次方程的解法 1.直接开方 （1）如或的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成的形式，那么可得 （3）如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 方法是根据平方根的意义开平方 2.解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． 3.解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，确定的值（注意符号) （2）求出判别式的值，判断根的情况 （3）在(注：此处读“德尔塔”)的前提下，把的值代入公式进行计算，求出方程的根。 4.解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 【即学即练】 1．把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 故选：B． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．解下列方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，即(， 则， 解得： （2）， 或， 解得：． 知识点04 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【即学即练】 1．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 即方程为； 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选：C． 知识点05 列一元二次方程解应用题的具体步骤及常见类型 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 一元二次方程解应用题的几种类型 ①变化率问题 设基准数为，两次增长（或下降）后为；增长率（下降率）为，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为．可列方程：² ②传染问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了个人： .可列方程： ③比赛问题 支队伍比赛，每队和其他队伍比赛场， 若进行单循环比赛，则比赛场；若进行双循环比赛，则比赛场 ④销售问题 ①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； ②在“每每型”问题中，单价每涨元，则每少买件。若涨价元，则少买的数量为件 ⑥面积与几何问题 （1）如图①，设空白部分的宽为,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为,则 （3）如图③，栏杆总长为，的长为,则 方法技巧： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，建立等量关系列一元二次方程． 【即学即练】 1．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 2．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价定为8元/千克 【详解】（1）解：该水果每千克的利润是（元）；每天可以卖出水果（千克）. 故答案为：；； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， 让利于顾客， ， 故单价为8元． 答：单价定为8元/千克． 题型01 一元二次方程的定义 例1．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 变式1-1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 变式1-2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 变式1-3．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 题型02 一元二次方程的一般形式 例2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 变式2-1．已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 变式2-2．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解： 移项得：， ∴一次项为，因此一次项系数是， 故选B． 变式2-3．方程的一次项系数是 ． 【答案】 【详解】解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 题型03 一元二次方程的解 例3．已知m是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ ． 故选：C． 变式3-1．若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【详解】∵是方程的实数根， ∴， ∴将方程两边除以（），得，即． 平方得， 展开后为， ∴． 故选：C． 变式3-2．小颖解一元二次方程时，发现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答案为，则□代表的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设代表的数为，则一元二次方程为, ∵方程的解为 ∴代入可得 解得 故答案选B 变式3-3．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 题型04 配方法解一元二次方程 例4．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 变式4-1．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意得：方程两边同时加上4． 故选：C． 变式4-2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解： ， 故乙解答错误， 故选：B． 变式4-3．如果满足，，且 ，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型05 公式法解一元二次方程 例5．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ．            ． ． 变式5-1．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 变式5-2．定义，则方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 变式5-3．已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】11或9 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 题型06 因式分解法解一元二次方程 例6．方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式，得， ∴或， 解得：． 故选：C． 变式6-1．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 变式6-2．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解方程，得和． 解方程，得． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 变式6-3．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 【答案】C 【详解】 ， 解得，． ∴三角形的边长可能为1或2． ∴当边长为1，1，1时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为2，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，1，2时，此时，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 综上所述，的周长是3或5或6． 故选：C． 题型07 换元法解一元二次方程 例7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 变式7-1．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 变式7-2．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 变式7-3．已知关于的方程（为常数，）的解是，那么 （）方程解为 ； （）解为 ． 【答案】 ， ， 【详解】解：（）方程变形为， ∵方程的解是， ∴或， ∴，， 故答案为：，； （）方程变形为， ∵方程的解是， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 题型08 根的判别式 例8．定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 变式8-1．对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 变式8-2．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可能是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴ k 的取值可能是． 故选：D． 变式8-3．若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程， ∴， 当时，方程无实数根，即， 当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 故选：A． 题型09 根与系数的关系 例9．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：设另一个根为， ∵方程有两个实数根，其中一个根是（）， ∴， ∴， 故选：D． 变式9-1．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 变式9-2．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两根， ， ， 故答案为：． 变式9-3．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 【答案】 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 题型10 配方法的应用 例10．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】见解析 【详解】证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 变式10-1．已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． ， ， 同理，． 综上所述，的最大值是，的最小值是． 故答案为：，． 变式10-2．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 变式10-3．若点是平面直角坐标系内一动点（其中a为任意数） （1）当时， ． （2）的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）当时，则：，即：； ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 题型11 根据实际问题抽象出一元二次方程 例11．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额在二月份基础上再增长，即万元， 根据题意：， 故选：A． 变式11-1．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设路宽为，根据题意可得： ， 故选A． 变式11-2．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得， ， 故答案为：． 变式11-3．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】 【详解】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 题型12 一元二次方程的应用 例12．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 变式12-1．今年11月份，某商场购进了一批T侐和衬衣，商家用16000元购买T侐，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 变式12-2．小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个．经过市场调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个． (1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？ (2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？ 【答案】(1)当每个挂件定价为22元时，能卖出100个 (2)每个挂件应降价1元 【详解】（1）解：个． 答：当每个挂件定价为22元时，能卖出100个． （2）解：设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，时符合题意．时，每天售出超出100个，不符合题意，舍去． 答：每个挂件应降价1元． 变式12-3．已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)车棚的长为，宽为 (2)不能围成面积为的自行车车棚，理由见解析 【详解】（1）解：设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ， 答：车棚的长为，宽为； （2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为的自行车车棚， 设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 此时， 所以此方程无解． 即不能围成面积为的自行车车棚． 一、单选题 1．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得． 故选：C． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于方程，其二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，， 故选：D． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形， 故选：D． 6．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 7．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 8．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 二、填空题 9．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 10．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 11．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 12．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 14．已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为 【答案】 【详解】解：∵关于的一定二次方程，有两个实数根． ∴， 解得： ∴ ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为 故答案为：． 15．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 解得； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得，． 17．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 18．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)45元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意， 得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设该品牌头盔的实际售价为元． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元． 20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程单元复习 教学目标 1.讲解一元二次方程定义及一般形式，通过实例演示开平方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤并练习。 2.推导根的判别式，分析根的情况；探究根与系数关系，结合例题巩固应用。 3.梳理列方程解应用题步骤，针对常见场景（面积、利润等）设计例题，强化建模与检验能力。 教学重难点 1.重点：掌握四种解法及适用场景；理解判别式作用；运用根系关系解题；列方程解决实际问题。 2.难点：配方法中配方过程的掌握；公式法中判别式的灵活应用；实际问题中等量关系的提炼。 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是_________，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有_________未知数； （3）未知数项的_________次数是2。 【即学即练】 1．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 2．下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作_________，是二次项系数；_________叫作一次项，是一次项系数；叫作_________。 注意：（1）中的．因当_________时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的_________。 【即学即练】 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 解一元二次方程的解法 1.直接开方 （1）如或_________的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成的形式，那么可得_________ （3）如果方程能化成的形式，那么_________，进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的_________的形式而等号右边是一个_________ 降次的实质是有一个一元二次方程转化为_________ 方法是根据平方根的意义开平方 2.解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将_________移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边_________； ④配方，即方程两边都加上_________；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程_________． 3.解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，确定的值_________ （2）求出_________的值，判断根的情况 （3）在_________(注：此处读“德尔塔”)的前提下，把的值代入公式进行计算，求出方程的根。 4.解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的_________； （3）令每个因式分别为_________； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 【即学即练】 1．把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．解下列方程 (1) (2)． 知识点04 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则_________。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如_________ 【即学即练】 1．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 知识点05 列一元二次方程解应用题的具体步骤及常见类型 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的_________． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以_________设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和_________． （6）答：写出答案． 一元二次方程解应用题的几种类型 ①变化率问题 设基准数为，两次增长（或下降）后为；增长率（下降率）为，第一次增长（或下降）后为_________ ；第二次增长（或下降）后为．可列方程：_________² ②传染问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了个人： _________ .可列方程： ③比赛问题 支队伍比赛，每队和其他队伍比赛场， 若进行单循环比赛，则比赛_________场；若进行双循环比赛，则比赛场 ④销售问题 ①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； ②在“每每型”问题中，单价每涨元，则每少买件。若涨价元，则少买的数量为_________件 ⑥面积与几何问题 （1）如图①，设空白部分的宽为,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为,则_________ （3）如图③，栏杆总长为，的长为,则 方法技巧： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，建立等量关系列一元二次方程． 【即学即练】 1．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 2．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 题型01 一元二次方程的定义 例1．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 变式1-1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-3．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 题型02 一元二次方程的一般形式 例2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 变式2-1．已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 变式2-2．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 变式2-3．方程的一次项系数是 ． 题型03 一元二次方程的解 例3．已知m是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．4 C．1 D． 变式3-1．若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 变式3-2．小颖解一元二次方程时，发现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答案为，则□代表的为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 题型04 配方法解一元二次方程 例4．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 变式4-1．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 变式4-2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式4-3．如果满足，，且 ，则的值为 ． 题型05 公式法解一元二次方程 例5．解方程：． 变式5-1．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 变式5-2．定义，则方程的解为 ． 变式5-3．已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 题型06 因式分解法解一元二次方程 例6．方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 变式6-1．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 题型07 换元法解一元二次方程 例7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．，变式7-1．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 变式7-2．若实数x，y满足，则的值为 ． 变式7-3．已知关于的方程（为常数，）的解是，那么 （）方程解为 ； （）解为 ． 题型08 根的判别式 例8．定义新运算：，例如：，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根 D．有两个不相等的实数根 变式8-1．对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 变式8-2．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可能是（    ） A．16 B． C． D． 变式8-3．若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（    ）． A． B． C． D． 题型09 根与系数的关系 例9．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 变式9-1．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 变式9-2．设、是方程的两根，则 ． 变式9-3．已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为 ． 题型10 配方法的应用 例10．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 变式10-1．已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为 ；的最小值为 ． 变式10-2．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式10-3．若点是平面直角坐标系内一动点（其中a为任意数） （1）当时， ． （2）的最小值为 ． 题型11 根据实际问题抽象出一元二次方程 例11．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 变式11-1．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A． B． C． D． 变式11-2．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 变式11-3．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 题型12 一元二次方程的应用 例12．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 变式12-1．今年11月份，某商场购进了一批T侐和衬衣，商家用16000元购买T侐，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 变式12-2．小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个．经过市场调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个． (1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？ (2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？ 变式12-3．已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 一、单选题 1．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 6．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 8．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 10．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 11．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 12．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 13．若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 14．已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为 15．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 17．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 18．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$