精品解析：河北省石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 2. 将个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，有（ ）种不同的方法. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用隔板法求解即可. 【详解】将个相同的球放入三个不同的盒中，只需将个小球排成一列，在中间的个空中，插入两个隔板，分成三部分，每个盒子中放一部分即可,所有共有种方法. 故选：A. 【点睛】本题考查排列与组合的应用，考查隔板法的应用，较简单. 3. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 4. 在的展开式中，则的系数为（ ） A. 10 B. 21 C. 30 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合多项式乘法法则求解. 【详解】依题意，， 展开式中含的项为， 所以的系数为9. 故选：D 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可令，然后将函数转化为，最后利用反比例函数性质得出当时函数的值域，即可得出结果. 【详解】令，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时函数的值域为， 则函数值域为， 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域后，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以有唯一零点在上， 故选：C 7. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数.若，则“凹数”有：.共6个；若，则“凹数”有：.共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有. 考点：古典概型. 8. 定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义确定函数的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出的取值范围. 【详解】因为， 所以， 由，可得， 又，所以，即， 所以，， 作出函数的图象如下图所示： 因为方程有四个不同的实根， 则或或，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断. 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 10. 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ） A. “至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B. “三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用排除法结合分步乘法计算原理计算判断A；利用排列列式计算判断B；利用缩小空间的方法计算条件概率判断CD作答. 【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确； 至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确； 事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则在上为奇函数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项分析推理得解. 【详解】对于A，取，得，则，A错误； 对于B，取，得，取， 则，即， ，B正确； 对于C，若，则，取，得， 则，在上为奇函数，C正确； 对于D，取，得，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接解不等式可得. 【详解】由解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有__________种（用数字作答） 【答案】65 【解析】 【分析】分在一号食堂就餐的同学有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二号、三号食堂就餐的同学人数，然后综合利用组合，平均分组，排列，两个计数原理得出答案. 【详解】在一号食堂就餐的同学有1个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝， 就餐情况共有有种 综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种. 故答案为：65. 14. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而写出展开式的通项，即可得解； （2）令，解得，再代入计算可得. 【小问1详解】 依题意，即，解得， 所以展开式的通项为（且）， 则展开式中二项式系数最大的项为. 【小问2详解】 令，解得， 所以，所以展开式中的系数为. 16. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 【答案】（1） X 0 1 2 P ． （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）首先分析得X的可能取值为0，1，2，再列出其分布列，计算其数学期望即可； （2）①：分两次都交换玩具车、两次都交换玩偶以及一次交换玩具车，一次交换玩偶讨论即可； ②：记小明手中恰有0个玩具车的概率为，利用全概率公式得，再构造等比数列即可得到其表达式. 【小问1详解】 由题意知X的可能取值为0，1，2 ， ， X 0 1 2 P 所以． 【小问2详解】 ①若两次都交换玩具车，则概率为， 若两次都交换玩偶，则概率为， 若一次交换玩具车，一次交换玩偶， 情况1：每次互换的玩具相同，则概率为， 情况2：每次互换的玩具不同，则概率为， 则. ②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为， 则小明手中恰有2个玩具车的概率为， 根据全概率公式可得，当时，， ∴， 由（1）是，∴， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，即 ． 17. 已知定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若对任意的，都有，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知. 任取，则. 因为，所以，则，即. 故在上单调递增. （3）4 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义赋值得的方程组求解即可； （2）利用函数单调性定义证明； （3）利用函数奇偶性和单调性解不等式，转化为二次函数在上恒成立求解. 【小问1详解】 题意可得，解得. 因为，所以，解得. 经验证，符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式等价于. 因为为奇函数，所以. 因为在上单调递增，所以，即. 因为，所以， 解得，即的最大值为4. 18. 某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示： 第个月 第个月 第个月 第个月 第个月 第个月 利润(单位：万元) 设第个月的利润为万元． （1）根据表中数据，求关于的回归方程(系数精确到)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如万元万元) （3）已知关于的线性相关系数为．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由． 参考数据：，，取． 附：样本（，2，，）的相关系数， 线性回归方程中的系数，. 【答案】（1）；（2）万元；（3）与的拟合关系式更适合用；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设，求出回归方程的系数，求出，然后得到回归方程即可； （2）将代入回归方程中，求解预报值即可； （3）求出y关于t的线性相关系数，即可判断结果. 【详解】（1）设，， ， 则， 所以， 故关于的回归方程为； （2）当时，， 故可预测第个月的利润约为万元． （3）由（1）知，关于的线性相关系数： ， 因为， 所以与的拟合关系式更适合用． 19. 某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病.院方设计了两种化验方案： 方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止； 方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验. （1）求方案甲化验次数的分布列； （2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率. 【答案】（1） 1 2 3 4 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，可判断出方案甲化验次数的可能取值为1，2，3，4，分别计算对应的概率，列出分布列；（2）分类讨论求解乙验两次与乙验三次时对应的概率，然后结合（1）的结果计算甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率. 【详解】解：（1）依题知的可能取值为1，2，3，4 ，，，. 故方案甲化验次数的分布列为： 1 2 3 4 （2）若乙验两次时，有两种可能： ①验3人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中 ②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性 故乙用两次的概率为 若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为 故甲方案的次数不少于乙次数的概率为 【点睛】关于离散型随机变量分布列的求解，需要结合题意判断变量的可能取值，然后利用变量服从的分布（如二项分布、超几何分布）计算对应的概率，然后列出分布列即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 2. 将个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，有（ ）种不同的方法. A. B. C. D. 3. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 4. 在的展开式中，则的系数为（ ） A. 10 B. 21 C. 30 D. 9 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 8. 定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 10. 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ） A. “至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B. “三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C. D. 11. 已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则在上为奇函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 13. 某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有__________种（用数字作答） 14. 已知实数与满足，且，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的系数. 16. 为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． （1）两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； （2）两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 17. 已知定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）证明：在上单调递增； （3）若对任意的，都有，求的最大值. 18. 某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示： 第个月 第个月 第个月 第个月 第个月 第个月 利润(单位：万元) 设第个月的利润为万元． （1）根据表中数据，求关于的回归方程(系数精确到)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如万元万元) （3）已知关于的线性相关系数为．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由． 参考数据：，，取． 附：样本（，2，，）的相关系数， 线性回归方程中的系数，. 19. 某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病.院方设计了两种化验方案： 方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止； 方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验. （1）求方案甲化验次数的分布列； （2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $