精品解析：湖南省常德市联盟校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题

2025年上学期期末考试（问卷） 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 命题单位：常德市第三中学 一．选择题 （本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“国”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 5. 七边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 6. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A. B. C. 2 D. 5 7. 如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二．填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知点与点关于y轴对称，则的坐标为____________ ． 13. 王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的有______人． 组别 A型 B型 AB型 O型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 14. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 15. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 16. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 17. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 18. 如图，点E是矩形的边上的中点，将折叠得到，点F在矩形内部，的延长线交于点G，若，，则的长为_____． 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 20. 如图，平移后的像为，这两个三角形的各个顶点均在网格线的交点处． （1）分别写出下列各点的坐标： ， ； （2）若点是内部一点，则平移后的对应点的坐标为 ； （3）求的面积． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 22. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”．学生经选拔后进入决赛，测试时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分．本次决赛学生成绩为x（分），且学生决赛成绩的范围是，将其按分数段分为五组，绘制成以下不完整表格： 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 一 2 0.04 二 10 0.2 三 14 b 四 a 0.32 五 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）求本次决赛共有多少名学生参加； （2）直接写出表中________， ________； （3）请补全相应的频数分布直方图； （4）若决赛成绩不低于80分为优秀，该校共有2000人，请估计全校成绩为优秀的人数． 23. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费； 乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示. （1）优惠前草莓的销售价格为 元千克； （2）当时，求与的函数解析式； （3）当游客采摘草莓的重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由. 24. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 25. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B． （1）直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； （2）如图2，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点． ①若点P在第二象限，且的面积为14，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一个动点，是否存在以A，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末考试（问卷） 八年级数学 时量：120分钟 满分：120分 命题单位：常德市第三中学 一．选择题 （本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的特点是解本题的关键．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 2. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“国”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了频率，熟练掌握“频率公式”是解题的关键．根据频率的计算公式，频率频数总数，确定“国”字出现的次数及总字数，即可求解． 【详解】解：由题意得：“国”字出现了2次，共有14个汉字， 所以“国”字出现的频率为， 故选：A． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 4. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是 A. y=2x+2 B. y=2x-2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 【答案】A 【解析】 【详解】平移时k的值不变，只有b发生变化 原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的k=2，b=0+2=2． ∴新直线的解析式为y=2x+2． 故选A． 5. 七边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 【答案】D 【解析】 【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】（7﹣2）×180°=900°． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 6. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，当时， 随的增大而增大；当时， 随的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解∶∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选∶D． 7. 如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先由直角三角形的性质可得，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能够正确做出判断． 根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故说法正确； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直，还需要对角线互相平分，故说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故说法正确； 故选：D． 9. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 二．填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 已知点与点关于y轴对称，则的坐标为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，根据关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴的坐标为， 故答案为：． 13. 王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的有______人． 组别 A型 B型 AB型 O型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 【答案】16 【解析】 【分析】根据频数、频率和总量的关系：频数=总量频率，即可求解． 【详解】解：本班A型血的人数是（人）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了频数和频率的知识，掌握频数和频率的关系是解题的关键． 14. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点E为边中点， ∴， ∴． 故答案为：38． 16. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可知，在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值为， 则不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系，理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 17. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 18. 如图，点E是矩形的边上的中点，将折叠得到，点F在矩形内部，的延长线交于点G，若，，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质及勾股定理的性质，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理的性质．用矩形的性质得A，，根据题意可得，由折叠的性质可得，，，，可证，得出，设，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是矩形的边上的中点， ∴， ∵将折叠得到， ∴，，， 如图，连接， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 20. 如图，平移后的像为，这两个三角形的各个顶点均在网格线的交点处． （1）分别写出下列各点的坐标： ， ； （2）若点是内部一点，则平移后的对应点的坐标为 ； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换，坐标与图形面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解． （1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标； （2）首先根据与的坐标观察变化规律，的坐标变换与点的变换一样，写出点的坐标； （3）先求出所在的矩形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：变换到点，横坐标减，纵坐标减， ， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积为：． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 22. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”．学生经选拔后进入决赛，测试时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分．本次决赛学生成绩为x（分），且学生决赛成绩的范围是，将其按分数段分为五组，绘制成以下不完整表格： 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 一 2 0.04 二 10 0.2 三 14 b 四 a 0.32 五 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）求本次决赛共有多少名学生参加； （2）直接写出表中________， ________； （3）请补全相应的频数分布直方图； （4）若决赛成绩不低于80分为优秀，该校共有2000人，请估计全校成绩为优秀的人数． 【答案】（1）本次决赛共有名学生参加 （2）， （3） 由（2）中数据可补全相应的频数分布直方图如下： （4）估计全校成绩为优秀的人数为人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和频数分布直方图的综合运用，读懂统计表和频数分布直方图，从不同的数据中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用二组的人数除以其频率，即可解题； （2）利用样本容量乘以相应的频率即可得a的值，利用样本容量除以相应的频数即可求得b的值，即可解题； （3）利用（2）中数据补全频数分布直方图，即可解题； （4）由题目可知决赛成绩不低于80分为优秀，因此根据表格找出成绩不低于80分的频率，再利用总数乘以其频率，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，（名）， 答：本次决赛共有名学生参加； 【小问2详解】 解：由题知，， ， 故答案为：，． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校成绩为优秀的人数为人． 23. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费； 乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示. （1）优惠前草莓的销售价格为 元千克； （2）当时，求与的函数解析式； （3）当游客采摘草莓的重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）解：在乙草莓园采摘更划算，理由： 甲采摘园：元， 乙采摘园：元， ∵， ∴在乙草莓园采摘更划算． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）分别求得甲、乙两家草莓园的收费，比较大小即可求解． 【小问1详解】 优惠前草莓的销售价格为元千克， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设时与的函数解析式为， 将点代入，得， ， 解得： ∴ 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． （1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求解，从而得到，结合，求得，根据（1）的结论即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 25. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B． （1）直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； （2）如图2，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点． ①若点P在第二象限，且的面积为14，求点P的坐标； ②点Q是y轴上的一个动点，是否存在以A，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①点P为；②存在，， 【解析】 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，待定系数法，平行四边形的性质． （1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标； （2）①将B点坐标代入一次函数，求出直线的表达式，再求出点C的坐标，则，由点P在第二象限得，则，求出，再代入直线的表达式，即可求出点P的坐标； ②分两种情况讨论：当Q在y轴的正半轴上时，根据平行四边形的性质可求点P的坐标；当Q在y轴的负半轴上时，根据平行四边形的性质先求出直线的解析式，则可求点Q的坐标，再求出直线的解析式，求出线和直线的交点坐标，即为点P的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B, 当时，， 当时，则，解得， ∴A的坐标为，B的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①将B点坐标代入一次函数得：， ∴直线的表达式为， 当时，， 解得， 则C点坐标为， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴，即， 解得， 将代入， 解得， ∴点P为； ②分以下两种情况讨论： 如图，当Q在y轴的正半轴上时， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵，将代入中，， ∴点P为； 如图，当Q在y轴的负半轴上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设直线为， 将点代入有：， ∴， ∴直线为，令，则， ∴； ∵， ∴， 设直线为，将点代入有：， ∴直线为， 将直线与直线联立有：， 解得：， ∴点P为． 综上，存在点，符合题意． 26. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，，，三点共线， ∴, ∵， ∴， ∴, 在和中， , ∴, ∴; （2）； 理由： ∵，四边形是正方形， ∴,, ∴, ∵，， ∴, ∴, 在和中， , ∴, ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论； （2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论； （3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点D作于点H，连接BD， ∵， ∵， ∴， ∵, ∴， 在和中， , ∴, ∴，， ∵且, ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，, ∴, ∵是正方对角线， ∴, ∵ ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴在中，, ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $