21.2.2 公式法同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.2 公式法 第2课时 用公式法解一元二次方程 基础提优题 1.如果一元二次方程 能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ） 2.下列一元二次方程的根是 的是 （ ） 3.利用公式法解一元二次方程 可得两根分别为x₁,x₂，且 则x₁的值为 （ ） 4.一元二次方程 的根为 ，则c=（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D.2 5.已知代数式与代数式的值互为相反数，则__________. 6.用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 7.如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x-1，点B对应的数是 ，已知AB=5,求x的值。 综合应用题。 8.若一元二次方程 的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)，则 （ ） A. m B. -m C. 2m D.-2m 9.对于实数a,b，定义运算“※”： ，如 若3x※2x=-5,则x的值为 （ ） 或 10.已知m是方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有实数根 （ ） A. -1 C. -m D. m 11.已知关于x的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为x₁,x₂（其中 ，若y是关于a的函数，且，当y＞0时，a的取值范围为____________。 12.已知关于x的一元二次方程 为常数）。 (1)若x=-1是该方程的一个根，求m的值； (2)当m=-4时，求该方程的根； (3)当m≥3时，判断该方程的根的情况，并说明理由。 13.阅读与思考： 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ①2x²-3x+1=0 ,x₂=1 ①x²+2x-3=0 x₁=-3,x₂=1 ②2x²+3x+1=0 ,x₂=-1 ②x²-2x-3=0 x₁=3,x₂=-1 … … (1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征。 (2)方程 和 是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征。 (3)请以一元二次方程 4ac≥0)为例证明关联方程根的关系特征。 创新拓展题。 14.如图，已知在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A,B的坐标分别为, (1)求直线AB的解析式； (2)若在y轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标。 参考答案 1. A 2. B 3. D 4. B 或 6.【解】(1)∵a=2,b=1,c=-2,∴△=b²-4ac=1+4×2×2=17>0. ,即 , (2) , , c = - 3 , ,即 , (3)方程整理，得 ∵a=3,b=-4,c=-7, ,即 , 7.【解】根据题意，得 ，整理，得 ∵a=1,b=-1,c=-4,, ,即 , ∵点A在数轴的负半轴， B. D 9. C 10. B 【点拨】由题意知 或 解得 12.【解】((1)∵x=-1是该方程的一个根，∴2-m+1=0,∴m=3. (2)当m=-4时，方程为 , ∵a=2,b=-4,c=1, , , , (3)该方程有两个不相等的实数根，理由如下： , ,, ∴该方程有两个不相等的实数根。 13.(1)【解】一元二次方程和关联方程的系数特征是二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，一元二次方程和关联方程根的关系特征是对应根互为相反数。 (2)【解】方程 和 是关联方程。 方程 的根是 ， ， 方程 的根是 ， ，它们的根符合根的关系特征。 (3)【证明】∵一元二次方程的根是 ，它的关联方程 的根是 ，∴它们的两个根对应互为相反数。 14.【解】(1)设直线AB的解析式为y= kx+b(k≠0). ∵A(2,2 ),B(5, ),解得 ∴直线AB的解析式为 (2)设P(0,t),t≠0,则 ， , ∵△PAB为等腰三角形，∴PA=PB或PA=AB或PB=AB. 当PA=PB时，则 ， ,解得t=-2 当PA=AB时，则 ，,即 ∴t=2 +2 或t=2 -2 ∴P(0,2 +2 )或P(0,2 -2 ); 当PB=AB时，则 PB²=AB²,∴²-2 t+28=12. ∵4=-52<0,∴此方程无解。 综上所述，当△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为(0,-2 )或(0,2 +2 )或(0,2 -2 ). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 21.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 基础提优题 1.一元二次方程 根的情况为 （ ） A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能确定 2.下列所给方程中，没有实数根的是 （ ） 3.小华和小麦对关于x的一元二次方程 展开讨论，小华：若c=0，则此方程一定有实数根；小麦：若a,c异号，则此方程一定有实数根。下列判断正确的是 （ ） A.小华正确，小麦错误 B.小华错误，小麦正确 C.小华，小麦都正确 D.小华，小麦都错误 4.已知关于x的方程 有两个相等的实数根，若a,b,c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是 （ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 5.若关于x的一元二次方程 4x+2a=0有实数根，则a的值可以是__________（写出一个即可）。 6.常数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程 c=0根的情况是__________。 7.不解方程，判断下列方程根的情况。 (1) (2) 综合应用题 8.在平面直角坐标系中，若直线y= 不经过第四象限，则关于x的一元二次方程 的实数根的情况为（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 9.定义运算：对于任意实数a,b，有a★b= ab+1.例如：4★3=4×3+1=13.若关于x的方程x★(mx+2)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 （ ） 10.已知关于x的一元二次方程 a+1=0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是 （ ） A.1一定不是关于x的方程 的根 B.0一定不是关于x的方程 的根 C.1和-1都是关于x的方程 的根 D.1和-1 不都是关于x 的方程 a=0的根 11.已知关于x的方程 有两个实数根，则 的化简结果是 （ ） 12.已知关于x的方程 2b）x+1=0有两个相等的实数根。若在直角坐标系中，点P在直线l 上，点 在直线l的下方且与直线l平行的直线上，则PQ长度的最小值为___________。 13.如图，有一块矩形菜地ABCD,AB=a m,AD=bm,面积为s m²,现将边AB增加 1m ,边AD增加2m，有且只有一个 a的值使得到的矩形面积为 3sm²,则s的值是___________。 14.已知一元二次方程 c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。 ①b=2,c=1; ②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2. 15. 已知▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 的两个实数根。 (1)当m为何值时，□ABCD是菱形？并求出此时菱形ABCD的边长。 (2)若AB的长为2,则□ABCD的周长是多少？ 16.已知关于x的一元二次方程 n+1=0有两个不相等的实数根。 (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值。 创新拓展题 17.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE= ,这时我们把关于x的形如 b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ 必有实数根； (2)若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是 ，，求ab的值。 参考答案 1. A 2. D 3. C 【点拨】小华：当c=0时， ，所以此方程一定有实数根； 小麦：若a,c异号，则。 ，所以此方程一定有实数根。 所以小华，小麦都正确。故选C. 4. B 5.2（答案不唯一） 6.有两个不相等的实数根 7.【解】(1)原方程可化为 ，, ∴原方程有两个不相等的实数根。 (2)原方程可化为 ， ∴原方程无实数根。 8. A 9. C 【点拨】由题意得x★(mx+2)=x(mx+2)+1=0,整理，得 ∵关于x的方程x★(mx+2)=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且 1=4-4m>0,解得m<1且m≠0,故选C. 10. D 【点拨】∵关于x的一元二次方程( a+1=0有两个相等的实数根,∴a+1≠0且。 ， 或b=-(a+1).当b=a+1时，有a-b+1=0,此时-1是方程。x²+ bx+a=0的根；当b=-(a+1)时，有a+b+1=0,此时1是方程。 的根。∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程。 的根。 11. A 【点拨】∵关于x的方程 有两个实数根，。 8≥0.∴k≤1. ∴k-1≤0,2-k>0. ∴ 【点拨】∵关于x的方程 有两个相等的实数根， , 2b=2或a+2b=-2.∴点 可转化为Q(1-b,b)或Q（-1-b,b）.∴易知点Q所在的直线为y=-x+1或y=-x-1.∵点 在直线 的下方且与直线平行的直线上，∴点Q在直线y=-x-1上。如图，当P,O,Q共线，且PQ⊥AB时,PQ 长度有最小值，为两直线间的距离。∵易得 , ,∴PQ长度的最小值为 【点拨】由题意得， ∵边AB增加 1m ,边AD增加2m,得到的矩形面积为3sm²,∴(a+1)(b+2)= ,整理，得 ·有且只有一个a的值使得到的矩形面积为3s m²,∴△=0,即( 1=0,解得 （不合题意，舍去）或 14.【解】要使方程 有两个不相等的实数根，则 ，即b²>4c,∴②③均可。 若选②解方程，则这个方程为 ， 移项，得 ， 配方，得 ，即 ， 开平方，得 ， , 若选③解方程，则这个方程为。 ， 移项，得 ， 配方，得 ，即 ， 开平方，得 ， , （选择其中一组即可） 15.【解】(1)∵□ABCD是菱形,∴AB=AD. ,解得 ∴当m=1时,▱ABCD是菱形。 当m=1时，原方程为 ，解得 ∴菱形ABCD的边长为 (2)把x=2代入 ，得 2m-1=0,解得 把 代入原方程，得 10x+4=0,解得 ， 四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD的周长为 16.【解】(1)∵关于x的一元二次方程 1=0有两个不相等的实数根， ,解得n>1. (2)由题意，知n=2,∴方程为 即 , 即 ，解得x=m+1或x=m-1. 又∵该方程的较大根是较小根的5倍， 17.(1)【证明】由题意知 ， ， ∴关于x的“勾系一元二次方程 必有实数根。 (2)【解】当x=-1时，有 ，即 ∵四边形ACDE的周长是12 , ∴. ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$