22.3实际问题与二次函数 （拱桥问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 （拱桥问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 1. 如图，一座抛物线形的拱桥的形状可以用抛物线 来描述． （1）当水面离拱桥顶部的距离为 时，求此时水面的宽度； （2）当水面的宽为 时，求水面离拱桥顶部的距离． 2. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段 表示水平的路面，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点 到 的距离为 ． （1）求满足设计要求的抛物线的表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 ， 处分别安装照明灯．已知点 ， 到 的距离均为 ，求点 ， 的坐标． 3. 某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞 与两组副桥洞分别位于 轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状可以近似地看作抛物线，主桥洞 上， 与 近似满足函数关系 （）．经测量在主桥洞 上得到 与 的几组数据： 根据以上数据回答下列问题： （1）求主桥洞 的函数解析式； （2）若 的解析式：， 的解析式：，求五个桥洞的总跨度 的长． 4. 如图，在喷水池的中心 处竖直安装一个水管 ．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心 的水平距离为 处达到最高点 ，高度为 ．水柱落地点 离池中心 处 ，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管 的长． 5. 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面 宽 米，拱桥的最高点 到水面 的距离为 米，如图建立直角坐标平面 ，求抛物线的表达式． 6. 已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为 ． （1）写出隧道截面的面积 与截面上部半圆的半径 之间的函数表达式； （2）当隧道截面上部半圆的半径为 时，隧道截面的面积约是多少（精确到 ）? 7.有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面 宽 米，拱桥的最高点 到水面 的距离为 米，如图建立直角坐标平面 ,求抛物线的表达式．      8. 一座隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为 ，宽为 ，隧道最高点 位于 的中央且距地面 ，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高 ，宽 ，能否从该隧道内通过?为什么? （3）在（）的条件下，如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过?为什么? 9. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为 米时，水面离桥孔顶部 米．如图①，桥孔与水面交于 ， 两点，以点 为坐标原点， 所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式． （2）因降暴雨水位上升 米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为 ，宽为 （横截面如图②），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗?请说明理由． 10. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段 表示水平的路面，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点 到 的距离为 ． （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 ， 处分别安装照明灯．已知点 ， 到 的距离均为 ，求点 ， 的坐标． 11. 如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴， 为单位长度，建立平面直角坐标系（如图（））， 轴是抛物线的对称轴，顶点 到坐标原点 的距离为 ． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一辆货运卡车，高 ，宽 ，它能通过该隧道吗? （3）如果该隧道内设双向道（如图（）），为了安全起见，在隧道正中间设有 宽的隔离带，则（）中的货运卡车还能通过隧道吗? 12. 如图①所示为一座抛物线形拱桥的侧面示意图．水面宽 与桥长 均为 ，在距离点 的点 处，测得桥面到桥拱的距离 为 ，以桥拱顶点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部点 离水面的距离． （2）如图②，桥面上方有 根高度均为 的支柱 ，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 ． ①求出两条钢缆所在抛物线对应的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 13. 【实践与探究】九（）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为 ，隧道顶部最高处距地面 ，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的表达式为  ； （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．为了确保安全，问：该隧道能否让最宽 、最高 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）? （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： I．如图②，在抛物线内作矩形 ，使顶点 ， 落在抛物线上，顶点 ， 落在 轴上．设矩形 的周长为 ，求 的最大值． II．如图③，过原点作直线 （即直线 ），交抛物线于点 ，交抛物线对称轴于点 ， 为直线 上一动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ．问：在直线 上是否存在点 ，使以 ，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 14. 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线对应的函数表达式． （2）一条宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点 时，桥下水位刚好在 处，有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱?请说明理由（假设船底与水面齐平）． （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 （），该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移 （）个单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象，可得 的取值范围是  ． 答案 1. （1） 水面到拱桥顶部的距离为 ， ，， ， 水面宽为：， 故当水面到拱桥顶部的距离为 时，水面的宽为 ．     （2） 水面宽为 ， 横坐标为 或 ． 当 时，， 水面到拱桥顶部的距离为 ． 2. （1） 依题意，顶点 的坐标为 ， 设抛物线的表达式为 ，将 代入，得 ，解得 ， 抛物线的表达式为 ．     （2） 令 ，得 ，解得 ，． ，． 3. （1） ．     （2） 五个桥洞的总跨度 的长为 米． 4. （1） 以池中心 为原点，竖直安装的水管为 轴，与水管垂直的方向为 轴建立平面直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，则设抛物线的解析式为 ，代入 ，求得 ， 故所求的函数解析式为 ．     （2） 令 ，则 ．故水管 的长为 ． 5. 由题意，可设 ，且知 ，．把 ， 代入解析式，得 ， ． 6. （1） 与 之间的函数表达式是 ；     （2） 当 时，． 所以隧道截面上部半圆的半径为 时，隧道截面的面积约是 ． 7� 由题意，可设 ，且知 ，． 把 ， 代入解析式， 得 ，  ． 8. （1） 由题意可知抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的解析式为 ， 又 点 在抛物线上， 有 ． ． ．     （2） 令 ，则有 ， 解得 ，，， 货车可以通过．     （3） 由（）可知 ， 货车可以通过． 9. （1） 由题意可得，该函数的顶点坐标为 ，过点 ， 设此抛物线对应的二次函数表达式为 ， 则 ，解得 ． 此抛物线对应的二次函数表达式为 ．     （2） 暴雨后，这艘小船不能从这座石拱桥下通过． 理由： 该函数的顶点坐标为 ，小船的宽为 ， 当 时，． ， 暴雨后，这艘小船不能从这座石拱桥下通过． 10. （1） 依题意，顶点 的坐标为 ． 设抛物线的函数表达式为 ， 将 代入，得 ，解得 ． 抛物线的函数表达式为 ．       （2） 令 ，得 ，解得 ，． ，． 11. （1） 垂直平分线段 ， ． 四边形 是矩形， ，， ， ． 点 到坐标原点 的距离为 ， ． 设抛物线的表达式为 ， 将 ， 代入表达式， 得 解得 抛物线的表达式为 ．       （2） 能． 由题意得，当 时，， 解得 ． ， 它能通过该隧道．       （3） 不能． 据题意，当 或 时，． ， 该辆货运卡车不能通过隧道． 12. （1） 设拱桥侧面所在抛物线对应的二次函数表达式为 ． 由题意，得点 的坐标为 ． 将 代入 ，得 ，解得 ． ．当 时，． 桥拱顶部点 离水面的距离为 ．       （2） ①由题意，得右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ， 设其函数表达式为 ． 将 代入，得 ，解得 ． 右边钢缆所在抛物线对应的函数表达式为 ． 根据对称性，得左边钢缆所在抛物线对应的函数表达式为 ． ②设彩带的长度为 ，则 当 时，． 彩带长度的最小值是 ． 13. （1） 【解析】根据坐标系可知此函数图象顶点坐标为 ，代入顶点式得 ， 图象过点 ， ，解得 ． ．       （2） 当最宽 、最高 的两辆厢式货车居中并列行驶时， ，． 将 代入表达式得 ，． 隧道能让最宽 、最高 的两辆厢式货车居中并列行驶．       （3） I．假设 ，可得 ， ． 矩形 的周长 ． 的最大值为 ． II．存在．求解过程如下： 如图①，当 时， 点 在直线 上，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交 轴于点 ， ， 点 的纵坐标为 ，设点 的横坐标为 ， ，解得 ． ，． 如图②，设 ，当 时，过点 作 对称轴， 当 为等腰直角三角形时， 为等腰直角三角形， 点在 的上方时，，，， 点在 的下方时，，，， ，解得 ，． ，． 使以 ，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形， 点的坐标为 或 或 或 ． 14. （1） 由题意，得水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ， 结合函数图象可知，顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 设桥拱部分抛物线对应的函数表达式为 ． 将 代入函数表达式，得 ， ， 即桥拱部分抛物线对应的函数表达式为 （）．       （2） 工人的头顶不会触碰到桥拱． 理由： 打捞船距点 ，打捞船宽 ，工人直立在打捞船中间， 工人与点 的距离为 ． 将 代入 ，得 ． ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．       （3） 【解析】如图①，抛物线 在 抽上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于 轴成轴对称． 新函数图象的对称轴也是直线 ， 当 或 时， 的值随 值的增大而减小． 将新函数图象向右平移 个单位长度，可得平移后如图②所示的函数图象． 平移不改变图形形状和大小， 平移后函数图象的对称轴是直线 ， 当 或 时， 的值随 值的增大而减小． 当 时， 的值随 值的增大而减小， ① 且 ，得 、② ，得 ． 由题意知 ， 不符合题意，舍去． 综上所述， 的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$