1.1探索勾股定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．以上都不对 3．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 4．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 5．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 7．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．25 C．30 D．24 二、填空题 8．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2． 9．公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为 ． 10．如图，，，且，，，则线段的长为 ．    11．如图，在中，，点在射线上，且，则 ． 12．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ． 13．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 14．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是 尺． 三、解答题 15．如图，在中，于点D，，求的长． 16．小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．如图，点处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度，已知小聪的身高为米，当他走到离门米时（米），感应门自动打开，即，求感应器的离地高度为多少米？ 17．如图，在和中，，，点A，C，D在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 18．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 19．如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） (1)求的长； (2)求物体上升的高度． 20．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 参考答案 1．解：由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 2．解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 设斜边长为．根据勾股定理： ， 故选：A． 3．解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 4．解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 5．解：5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ， 正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ， 故选：C． 6．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为12米， 故选：C． 7．解：如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 8．解：∵另一条直角边长=12cm， ∴三角形的面积是=×12×5=30cm2． 故答案为：30． 9．解：∵弦为25，股为20， ∴勾， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， 故答案为：25． 10．解： ，，， 在中， ，， 在中， 故答案为：． 11．解：∵， 设，则， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案是90． 12．解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 13．解：， ， ∴． 故答案为：9． 14．解：由题意得，尺，尺， ∴（尺） ∵在中，， ∴， ∴尺． 故答案为： 15．解： 于点D，， ， ． 16．解：如图，过点作于点， 由题意得，米，米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 所以米， 答：感应器的离地高度为2.5米． 17．（1）解：∵点A，C，D依次在同一直线上，且． ∴， 在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， 在中，， 答：的长是13． 18．（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 19．（1）解：根据题意得，， 在中， 答：的长度为． （2）根据题意得，， ， ， 在中，， ，， ， 绳子长为， ， 答：物体上升的高度为． 20．解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$