13.2.1三角形的边导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

本文围绕人教版八年级数学“三角形的边”展开，聚焦三角形三边关系定理及稳定性。承接之前几何知识，为后续复杂图形学习奠基。通过实验、观察等环节，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于将稳定性与三边关系紧密联系，采用动手操作等特色教法。从学生层面提升其思维与应用能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点，增强课堂互动性。

人教版八年级数学上册导学案 13.1 与三角形有关的线段 13.1.1 三角形的边 【学习目标】 1.探索三边关系：通过实验、观察、推理，发现并掌握三角形的三边关系定理：“三角形任意两边之和大于第三边”。 2.应用三边关系：能运用三角形三边关系定理判断已知三条线段能否组成三角形，并能解释生活中的相关现象。 3.理解稳定性：通过实验对比，理解三角形的稳定性及其在生活中的应用原理（与三边关系的联系）。 【学习重点】 三角形的三边关系定理及其应用。 【学习难点】 1.灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边”解决实际问题（如求第三边取值范围、等腰三角形边长问题）。 2.“任意”二字的理解（需要验证三组不等式都成立）。 【学习过程】 一、课前预习·感知概念 阅读教材：认真阅读课本P5-7中关于“三角形的边”的内容，圈画出关键定义和定理。 生活观察：观察下图（自行车三角架、塔吊、屋顶桁架、相机三脚架等）。 我的猜想：为什么这些结构大量使用三角形？__________________________________ 新思考：如果用四边形代替三角形，结构会有什么变化？ 二、课堂探究·理解新知 活动一：探究三角形的三边关系 1.动手操作（摆一摆）： 准备四根长度不同的小木棒（或纸条、绳子），例如：a=4cm，b=6cm，c=7cm，d=10cm。 尝试每次任意选取三根，看能否首尾顺次相接组成一个三角形。将结果填入下表： 选取的三根长度（cm） 能否组成三角形？（√/×） 计算过程（验证任意两边之和>第三边？） 4，6，7 4+6 7，4+7 6，6+7 4 4，6，10 4+6 10，4+10 6，6+10 4 4，7，10 6，7，10 我的发现：只有当 时，三条线段才能组成三角形。 2.猜想：根据以上操作，你能猜想三角形三边之间满足什么关系吗？ 我的猜想：在△ABC中，AB + BC ___ AC； AB + AC ___ BC； AC + BC ___ AB。（用 >，<，= 填空） 3.定理形成：阅读课本，确认我们的猜想。 三角形三边关系定理：三角形两边的和________第三边。 符号语言：在△ABC中，a + b ____ c；a + c ____ b；b + c ____ a （其中 a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C的对边） 核心词：________ （必须同时满足三组不等式）。 推论：三角形两边的差________第三边。（|a - b| < c < a + b） 活动二：应用三边关系 1. 基础判断：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3cm，4cm，5cm 计算：3+4___5，3+5___4，4+5___3。 结论：_______ （能/不能） （2）5cm，6cm，11cm 计算：5+6___11，5+11___6，6+11___5。 结论：_______ （能/不能） 因为___________________ （3）5cm，6cm，10cm 计算：________________________ 结论：_______ （能/不能） 2. 取值范围：已知一个三角形的两边长分别为3和7。 设第三边长为x，根据三边关系定理，x必须同时满足： ______________________ （两边和 > 第三边） ______________________ （两边和 > 第三边） ______________________ （两边差 < 第三边） 综合得：________ < x < ________ 思考：如果第三边取整数，x可以是哪些值？_____________ 3.等腰三角形问题：若等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm。 分析：哪条边是腰？哪条是底？有几种可能？ 情况1：腰为___cm，底为___cm。 验证三边关系：4+4___9？ （ ） 4+9___4？ （ ） → 结论：________ 情况2：腰为___cm，底为___cm。 验证三边关系：9+9___4？ （ ） 9+4___9？ （ ） → 结论：________ 答案：这个等腰三角形的周长是________cm。 活动三（新增）：探索三角形的稳定性 >>>** 1.动手实验（比一比）： 材料：三根小棒（长度固定，如5cm，6cm，7cm）及连接件（如螺丝帽、橡皮筋）、四根小棒（如5cm，5cm，7cm，7cm）。 步骤1：用三根小棒首尾相接，组成一个三角形框架。用手捏住顶点轻轻推拉，感受它的形状是否容易改变**？______ （容易/不容易） 步骤2：用四根小棒首尾相接，组成一个四边形框架。用手捏住顶点轻轻推拉，感受它的形状是否容易改变？______ （容易/不容易） 我的发现：三角形框架的形状______，我们说三角形具有稳定性；四边形框架的形状______，我们说四边形具有不稳定性。 2.联系三边关系： 思考：为什么三角形具有稳定性？这与我们刚刚学习的“三角形三边关系”有什么关系？ 关键点：当三角形的三条边长度固定后，根据三边关系定理，这三条边只能组成唯一形状的三角形！（尝试用不同长度组合验证：固定三边，只能摆出一种三角形）。而四边形的四条边长度固定时，可以摆出多种不同形状（如凹四边形、凸四边形）→ 形状不固定！ 结论：三角形的稳定性源于其三条边长度确定后，其形状和大小就唯一确定了。这是三角形独有的性质！ 3.生活应用举例：请列举2-3个利用三角形稳定性的实例： （1） ________________________ （如：木工师傅在门框钉斜木条） （2） ________________________ （如：高压电线塔的塔身结构） （3） ________________________ （如：照相机的三脚架） 活动四：核心应用——我能解决！ （题目融入稳定性思考） （原有基础判断、求范围、等腰三角形问题不变） ... 新增应用4：稳定性应用 4. 解决问题：下图是一个摇晃的四边形木凳（可简化为四边形ABCD），你能利用三角形的稳定性，只加一根木条让它变得稳固吗？请在图中画出这根木条的位置，并说明为什么这样做能使凳子稳固。 我的方案：在顶点____和顶点____之间加一根木条（画在图上）。 原理：加木条后，将原来的1个四边形分割成了____个三角形。根据三角形的______性，每个三角形的形状都是______的，所以整个凳子就变得稳固了。 三、课堂小结·梳理脉络 关键点回顾： 1.三角形的三边关系定理是：__________________________________。 2.运用三边关系时，一定要检验_________组不等式是否都成立。 3.已知两边求第三边范围：设第三边为x，则 |a-b| ____ x ____ a+b。 4. 三角形稳定性：当三角形三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，这种性质称为稳定性。它是三角形三边关系定理的重要应用。 5. 应用原理：通过添加辅助线构造三角形，利用其稳定性可以固定原本不稳定的结构（如四边形）。 四、当堂检测·巩固提升 1.（基础）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）。 A. 1cm，2cm，4cm B. 4cm，6cm，8cm C. 5cm，6cm，12cm D. 2cm，3cm，5cm 2.（基础）等腰三角形一边等于5，一边等于6，则它的周长是_________。 3.（应用）已知三角形的两边长分别为5和8，第三边长是偶数。 （1）求第三边x的取值范围：______________。 （2）符合条件的x有：______________。 （3）周长最大是________，最小是________。 4.（应用）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数厘米，她有几种选法？第三根木棒的长度可以是________cm。 5.（稳定性应用）下列图形中具有稳定性的是（ ）。 A. 正方形 B. 平行四边形 C. 直角三角形 D. 梯形 6.（稳定性原理）工人师傅在安装木门时，通常在门框上斜着钉一根木条（如图），这样做的数学原理是________________________。 五、课后作业·拓展延伸 1. （必做）课本P9习题：第1，2题； 2. （选做/思考）如果三角形的两边长分别为a和b （a > b），且这个三角形的周长是L。 （1）用含a，b，L的式子表示第三边c: c = ________。 （2）根据三边关系，你能得到关于L、a、b的不等式吗？尝试写出来。 3. （实践/阅读）找一找生活中利用三角形稳定性的实例（至少2个），并思考为什么三角形具有稳定性？（提示：与三边长度确定后形状唯一有关）。或者阅读数学史中关于三角形三边关系最早的研究（如古埃及、古希腊）。 4.（实践/探究） 任务1：找一找家里或学校里哪些地方应用了三角形的稳定性？拍照或画下来，并说明其作用。 任务2：用木棒/吸管和连接件（如牙签+橡皮泥）分别制作一个三角形框架和一个四边形框架，用力推拉感受它们的稳定性差异，验证课堂结论。 【我的疑问/收获】 本节课我最大的收获是：_____________________________________________________ 我还有点不明白的地方是：___________________________________________________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$