精品解析：湖北省武汉市江夏区2024-2025学年下学期九年级5月月考数学试题

2025届九年级综合训练 数学试卷 一 、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到的有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 3. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 4. 神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 7. 山西是中华文明发源地之一，诞生了很多神话故事．小明购买了一本《山西神话故事集萃》，商家赠送了“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片（除正面图案外其余完全相同），拿到书当天小明计划先从这四个故事中选择两个阅读，于是他将四张卡片背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从 中得到如下信息，其中不正确的是（ ） A. 学校离小明家1000米 B. 小明后10分钟比前10分钟走得快 C. 小明用了20分钟到家 D. 小明前10分钟走了路程的一半 9. 如图所示，扇形的圆心角为为的中点，若，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17，则另一个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二 、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 中国是世界上最早使用正负数的国家，用正负数可以表示具有相反意义的量．如果盈余200元记作元，那么亏损50元记作________元． 12. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力 … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是______． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，学校教学楼的后面有一栋宿舍楼，当光线与地面的夹角是时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高的影子，而当光线与地而夹角是时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有的距离，，在一条直线上），则教学楼的高度为______．（结果精确到，参考数据：．， 15. 如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ______． 16. 对于函数的性质，下列五个结论： ①点 在该函数图象上； ②该函数图象有最低点； ③该函数图象与x轴只有2个公共点； ④点在该函数图象上，若，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的函数解析式是 其中正确的结论是__________．（填写序号） 三 、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组． 18. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上线，，，若___，则．请从①；②；③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 19. 松原市教育局为进一步开展“初中生睡眠管理”工作，对本市部分学生的睡眠情况进行了抽样调查．将数据整理后，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生，在扇形统计图中，C组所对扇形圆心角的度数为______； （2）该市现有26000名初中生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？ （3）根据上述调查数据，简要谈谈你关于“初中生睡眠管理”的看法，并结合自己的实际，提一条合理化的建议． 20. 如图，是的直径，是半径，延长至点D．连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）在图1中，先在上画点D，使，再作的平分线． （2）如图2 ，P是线段上一点（非格点），先作平行四边形；再将绕的中点旋转得对应线段． 22. 如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． （1）若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 23. 【问题背景】 在中，，D为 上一点，，过点D 作于点E． 【问题解决】 （1）如图1，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，将绕A点顺时针以每秒角的速度旋转，旋转时间为t秒（旋转一周即停止），连接，取的中点G，连接． ①在旋转的过程中，的值是否发生变化?如果不变，求出的值；如果变化，求其取值范围； ②在旋转的过程中，当最大时，时间t的值为_____秒． 24. 如图1，抛物线交x 轴于A，B 两点（点A 在左边），交y 轴于点 C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）D是抛物线第二象限上的一点，连接分别交，y轴于E，F两点，若，求点D 的坐标； （3）如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为，点M在x 轴上方的抛物线上 ，轴，点M在点N的左侧，过M且不平行y轴的直线1与抛物线只有一 个公共点，F为抛物线第四象限上一点，直线与1交于点E．设点M，F的横坐标分别为m，n，若线段，问 ：m 与 n 是否存在确定的数量关系？如果存在，求出其关系；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级综合训练 数学试卷 一 、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 不透明的袋子中有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到的有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、摸到的有红球，是随机事件； B、摸到的有绿球，是随机事件； C、摸到的全是红球，是随机事件； D、摸到的全是绿球，是不可能事件； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义判断即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，该图形的左视图和主视图相同，均为梯形， 故选：A． 4. 神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据34600用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】由含30°角的直角三角尺，可得∠EDF=60°，根据平行线的性质可求出∠1． 【详解】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF=60°， ∵AB∥DF， ∴∠1=∠EDF=60°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 7. 山西是中华文明发源地之一，诞生了很多神话故事．小明购买了一本《山西神话故事集萃》，商家赠送了“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片（除正面图案外其余完全相同），拿到书当天小明计划先从这四个故事中选择两个阅读，于是他将四张卡片背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片分别记为、、、， 列表得： 共有12种等可能出现的结果，其中小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的情况有种， ∴小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为, 故选：A． 8. 如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从 中得到如下信息，其中不正确的是（ ） A. 学校离小明家1000米 B. 小明后10分钟比前10分钟走得快 C. 小明用了20分钟到家 D. 小明前10分钟走了路程的一半 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的横纵坐标是解题关键． 根据图象的纵坐标，可判断A，根据图象的横坐标，可判断C，根据图象的横坐标、纵坐标，可判断B、D． 【详解】解：A、由图象的纵坐标可以看出学校离小明家1000米，故正确； B、前10分钟图像上升的比较缓慢，后十分钟上升的较快，则小明后10分钟比前10分钟走得快，故正确； C、由图象的横坐标可以看出小明用了20分到家，故正确； D、由图象可以看出，小明前10分钟走的路程较少，故错误； 故选D． 9. 如图所示，扇形的圆心角为为的中点，若，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设与交于点，证明出和均为等边三角形，在中，根据，求出，由中心对称图形性质可知，最后根据，求解即可． 【详解】解：连接，设与交于点，如图所示： 为的中点， ， 又， 是等边三角形， 同理为等边三角形， ，， ， 四边形为菱形， ， ， 在中，， ， 由中心对称图形性质可知， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，菱形的判定与性质，等弧对等角，解直角三角形，垂径定理，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10. 将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17，则另一个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，由题意可得每次操作后，总和的个位数字保持不变，先求出1至2016的连续自然数的和得出初始总和的个位数字是，再结合题意计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字， ∴每次操作后，总和减少的是的倍数，即每次操作后，总和的个位数字保持不变， 1至2016的连续自然数的和为， 故初始总和的个位数字是， ∵若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17， ∴设另一个数为，则和的和的个位数字为， ∵，，，， ∴另一个数为， 故选：D． 二 、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 中国是世界上最早使用正负数的国家，用正负数可以表示具有相反意义的量．如果盈余200元记作元，那么亏损50元记作________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：因为盈余200元记作元， 所以亏损50元记作元； 故答案：． 12. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力 … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比例函数关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设， 从表中取一个有序数对代入，得， ． ． 把代入， ． 故答案为：． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则，结合因式分解求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，学校教学楼的后面有一栋宿舍楼，当光线与地面的夹角是时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高的影子，而当光线与地而夹角是时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有的距离，，在一条直线上），则教学楼的高度为______．（结果精确到，参考数据：．， 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，根据正切的定义用表示出，根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：作于， ，，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， 在中，， ， 由题意得，， 解得，， ， 故答案为：23 15. 如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 16. 对于函数的性质，下列五个结论： ①点 在该函数图象上； ②该函数图象有最低点； ③该函数图象与x轴只有2个公共点； ④点在该函数图象上，若，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的函数解析式是 其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数解析式，求出当时的函数值即可判断①；可求出，当x无限大时，接近于0，而无穷小，故原函数没有最小值，据此可判断②；求出当函数值为0时，x的值即可判断③；根据③所求即可判断④；根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可判断④． 【详解】解：在中，当时，， ∴点 在该函数图象上，故①正确； ∵， ∴当x无限大时，接近于0，而无穷小，故原函数没有最小值，即该函数图象没有最低点，故②错误； 当时，则， 解得或， 经检验，和都是原方程的解，且符合题意， ∴函数与x轴的交点坐标为或，故③正确； ∵当和当时的函数值都为0，且此时满足， ∴点在该函数图象上，若，则不一定成立，故④错误； 若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的函数解析式是，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 三 、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上线，，，若___，则．请从①；②；③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】解：选择①， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择②， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，选择①，由平行线的性质可得，再证明，即可得解；选择②，直接证明，即可得解；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 19. 松原市教育局为进一步开展“初中生睡眠管理”工作，对本市部分学生的睡眠情况进行了抽样调查．将数据整理后，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生，在扇形统计图中，C组所对扇形圆心角的度数为______； （2）该市现有26000名初中生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？ （3）根据上述调查数据，简要谈谈你关于“初中生睡眠管理”的看法，并结合自己的实际，提一条合理化的建议． 【答案】（1）100， （2）9100人 （3）建议增加学生睡眠时间（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据B组的人数和所占百分比即可求出总人数，用乘以C组人数所占的比例即可得解； （2）用4000乘以平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生所占的比例即可得解； （3）根据题意写出一条合理化建议即可． 【小问1详解】 解：本次共调查了学生（名）， C组所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：（人）， 故平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人； 【小问3详解】 解：根据调查情况，平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生人数占比较小，建议增加学生睡眠时间（答案不唯一）． 20. 如图，是的直径，是半径，延长至点D．连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径得出，等量代换得到，即，，即可判定是的切线； （2）过点D作交的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出，由等边对等角得出，由平行线的性质得出，再根据对顶角相等得出，即得，根据勾股定理求出，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，勾股定理，直径所对的圆周角相等，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）在图1中，先在上画点D，使，再作的平分线． （2）如图2 ，P是线段上一点（非格点），先作平行四边形；再将绕的中点旋转得对应线段． 【答案】（1）如图：、即为所求作， ， （2）如图：平行四边形、即为所求作， ， 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于，由网格特点可得，，即，取格点，连接、、，由勾股定理和勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即，，证明点、、、四点共圆，由圆周角定理可得，即可得解； （2）取格点，由网格特点可得，，则四边形为平行四边形，取格点、、、，则为的中点，为的中点，取格点、，由网格特点可得、关于成中心对称，连接交于，连接并延长交于，由中心对称的性质即可得解． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于，由网格特点可得，，即， 取格点，连接、、， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形，，， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：取格点，由网格特点可得，， ∴四边形为平行四边形， 取格点、，则为的中点，为的中点， ∴， 取格点、，由网格特点可得、关于成中心对称， 连接交于，连接并延长交于， 则由中心对称的性质可得，、关于点成中心对称， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，平行四边形的判定定理，中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． （1）若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 【答案】（1）①；②石块不能飞越防御墙 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）①由题意可得抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得解；②求出当时，的值，与比较即可得解； （2）将代入解析式得出，从而推出抛物线的解析式为，分别计算出当石块恰好落在点上时，当石块恰好落在点时，的值即可得解． 【小问1详解】 解：①∵发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ∴抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②在中，当时，， ∵， ∴石块不能飞越防御墙； 【小问2详解】 解：将代入解析式可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当石块恰好落在点上时，将代入可得， 解得， 当石块恰好落在点时，将代入可得， 解得， ∵抛物线开口向下，，要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C）， ∴的取值范围为． 23. 【问题背景】 在中，，D为 上一点，，过点D 作于点E． 【问题解决】 （1）如图1，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，将绕A点顺时针以每秒角的速度旋转，旋转时间为t秒（旋转一周即停止），连接，取的中点G，连接． ①在旋转的过程中，的值是否发生变化?如果不变，求出的值；如果变化，求其取值范围； ②在旋转的过程中，当最大时，时间t的值为_____秒． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①不变，； ②9或33 【解析】 【分析】（1）证明，得，比例式变形即得； （2）①延长到H使，取中点I，连接，设直线与直线交于点J，运用中点性质证明，得，根据含30度的直角三角形性质和三角形中位线性质得，，得或，当时，，可得，当时，可得 ，，得，综上，，得，得，可得是等边三角形，得，得，得，设,则,得,即得；②根据点D是在以点A为圆心，以长为半径的圆上运动，得当与圆相切时最大，可得，得，得，或,即得,或． 【详解】解：（1）略 （2）①延长到H，使，取中点I，连接， 设直线与直线交于点J， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，或， 当时，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴； ②∵将绕A点顺时针以每秒角的速度旋转， ∴点D是在以点A为圆心，以长为半径的圆上运动， ∴当与圆相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或， ∴，或． 故答案为：9或33． 【点睛】本题考查了含30度的直角三角形旋转．熟练掌握含30度的直角三角形性质，旋转性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，圆切线性质，是解题的关键． 24. 如图1，抛物线交x 轴于A，B 两点（点A 在左边），交y 轴于点 C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）D是抛物线第二象限上的一点，连接分别交，y轴于E，F两点，若，求点D 的坐标； （3）如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为，点M在x 轴上方的抛物线上 ，轴，点M在点N的左侧，过M且不平行y轴的直线1与抛物线只有一 个公共点，F为抛物线第四象限上一点，直线与1交于点E．设点M，F的横坐标分别为m，n，若线段，问 ：m 与 n 是否存在确定的数量关系？如果存在，求出其关系；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）m 与 n 存在确定的数量关系，为 【解析】 【分析】（1）分别令和，即可求解； （2）过点D作轴交于点G，过点E作轴于点H，则轴，轴，求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点G的坐标为，可得，再证明，可得，，，然后根据中点坐标公式可得点E的坐标为，从而得到，，然后根据，求出t的值，即可； （3）过点E作于点P，过点N作轴，过F作轴交于点N，则，，根据题意可得点M的坐标为，点F的坐标为，点N的坐标为，从而得到，设直线l的解析式为，根据直线1与抛物线只有一 个公共点，可得，从而得到直线l的解析式为， 把点代入，可得直线l的解析式为，再求出直线的解析式为， 联立可得点E的坐标为，从而得到，然后根据，以及，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴， 当时，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴交于点G，过点E作轴于点H，则轴，轴， 设直线的解析式为， 把点，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点G的坐标为，， ∴点E的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或1（舍去）或0（舍去）， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 解：m 与 n 存在确定的数量关，为，理由如下： 如图，过点E作于点P，过点N作轴，过F作轴交于点N，则，， 由平移的性质得：抛物线的解析式为， 根据题意得：点M的坐标为，点F的坐标为， ∵轴， ∴点N的坐标为， ∴， 设直线l的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵直线1与抛物线只有一 个公共点， ∴， ∴直线l的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∵点M在x 轴上方的抛物线上 ， F为抛物线第四象限上一点， ∴m 与 n 存在确定的数量关系，为． 【点睛】本题考查了二次函数，三角形相似，二次函数的平移，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是作出相应的辅助线，将问题转化为解方程组，利用方程的思想来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $