精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年高一下学期第四学段模块考试（7月期末）数学试题

福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试 高一数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 班级______座号______姓名______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【详解】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D 2. 一组数据分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的80%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的概念计算，即可求得答案. 【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，4，5，6，7，8， ， 所以这组数据的80%分位数是第7个数，即7. 故选：C 3. 在如下图所示的两种分布形态中（ ） A. （1）中的中位数大于平均数 B. （1）中的众数大于平均数 C. （2）中的众数小于中位数 D. （2）中的中位数大于平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论 【详解】众数是最高的矩形的中点横坐标， 因此（1）中的众数在第二列矩形的中点处，数据第二、三列较多，且右侧拖尾， 所以平均数大于中位数，即在（1）中，众数中位数平均数； 同理在（2）中，平均数中位数众数. 故选：D 4. 已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用三角形面积公式得，再由直观图与原图面积关系求的面积. 【详解】由题设，又， 所以. 故选：A 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 6. 若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用列表法求古典概型的概率即可. 【详解】由题设，两次抛掷骰子对应数值为，可能事件如下， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36种情况， 其中点数之和不大于10的有33种，故概率为. 故选：B 7. 已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 8. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，， 在下底面作， 以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得， 则即，即， ，，，， ，， . 所以， 又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的众数是3 B. 已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立 C. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 D. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则平均数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由众数的定义判断A，由独立事件的定义判断B，由分层抽样的比例验算C，由平均数、方差性质验算D. 【详解】对于A，一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的数据3出现了三次，出现次数最多，所以该组数据的众数是3，故A正确； 对于B，因为， 所以，即A和B相互独立，故B正确； 对于C，若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样， 从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取人，故C错误； 对于D，已知样本数据的平均数为，方差为， 若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则，解得，平均数，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反证法、线面垂直的判定和性质判断证明各项的正误即可. 【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面， 平面，则，如下图示， 又为中点，根据中位线及正方形的性质有， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足； B：如下图示，平面，平面，则， 若，都在平面内，则平面， 平面，则，显然不成立，不满足； C：如下图示，由中位线及正方形性质易知， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，满足； D：若为中点，又都为中点，如下图示， 根据中位线、正方形的性质易知，， 由平面，平面，则， 由都在平面内，则平面， 平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足. 故选：ACD 11. 已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，分别在中，利用余弦定理求判定A；作平面于点，设得到，作于点得到为二面角的平面角，求得判定 B；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理判定D；由且，结合三角函数的基本关系式可判定C. 【详解】由题设中， 在中，则，A对； 过作平面于点（注意其位置不定），设， 则为直线AC与平面BCD所成角，故， 过作于点，由平面，平面，则， 且都在平面内，则平面，平面，则， 综上，为二面角的平面角， 在中，故，B对； 由，其中为AC与平面BCD所成角， 结合线面角的定义及最小角定理有，即，D错； 由且，则， 所以，即，C对. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据概率的加法公式代入求解即可. 【详解】因为事件与事件发生的概率分别为 ，，且， 所以. 故答案为：0.7. 13. 用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据水的体积恒定，应用圆台、圆柱的体积公式列方程求圆柱部分水面高度h. 【详解】由题设，水的体积为， 所以，可得. 故答案为： 14. 若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意该正方体一定内接于正四面体内切球内，且正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时最小，再应用等体积法列方程求参数值. 【详解】由题意，要使正方体可任意转动，则该正方体一定内接于正四面体内切球内， 所以正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时，最小， 此时正四面体的内切球半径为，而正四面体的高， 若正四面体的侧面三角形面积为，由等体积法知， 所以，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． （1）求证：平面MBC； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设为中点，连接，根据已知得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用等体积法及已知、棱锥的体积公式求体积即可. 【小问1详解】 设为中点，连接，又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面MBC，平面MBC，则平面MBC； 【小问2详解】 由，则且为直角三角形， 所以三棱锥的高为，故. 16. 某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． （1）求李明第三次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由前2次有一次答对，第3次答对，利用独立事件的概率求解；， （2）根据题意，由前2次都答对，前2次有一次答对，第3次答对和前3次有一次答对，第4次答对求解. 【小问1详解】 由题意得：前2次有一次答对，第3次答对，即对应的事件为， 所以李明第三次答题通过面试的概率为：； 【小问2详解】 由题意前2次都答对，或者前2次有一次答对，第3次答对或者前3次有一次答对，第4次答对， 即对应的事件为， 李明最终通过面试的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面平面； （2）若，． ①求证：平面； ②若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）①证明：由（1）可知平面平面， 而平面平面，，平面， 从而平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面； ② 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）①只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；②由二面角的定义说明二面角的平面角为，结合解三角形知识求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图所示， 因为平面， 所以二面角的平面角为， 设，因为平面， 所以与平面所成角的平面角为， 因为与平面所成角的正切值为， 所以，即， 因为，所以， 所以，，， 所以在直角三角形中，， 从而， 在直角三角形中，由等面积法有，即， 解得，所以， 所以， 在直角三角形中，由等面积法有，，即，解得， 因为，，， 所以，所以， 所以， 故二面角的正切值为. 18. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； （3）已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 【答案】（1），分； （2）； （3）平均数为81，方差为27. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数，再由分位数的求法估计优胜成绩的分数线； （2）5人中来自分别为2人、3人，应用组合数及对立事件的概率求法求概率； （3）应用分层抽样中各层均值与总体均值关系求[70,90)内的学生成绩的平均数，再应用方差公式并结合各层对应方差得到相关等式，再由方差公式求[70,90)内的学生成绩的方差. 【小问1详解】 由直方图知，可得， 由题设及图知，优胜成绩的分数线在内，设为，则，所以分； 【小问2详解】 由（1）知，5人中来自分别为2人、3人， 若抽取的两人都来自，概率为， 所以两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率为； 【小问3详解】 由题设，区间内的学生人数分别为人、人， 所以[70,90)内的学生成绩的平均数为分， 由[70,80)内的学生成绩方差为6，则， 所以， 由[80,90)内的学生成绩方差为1，则， 所以， 而[70,90)内的学生成绩的方差为， 由 ， 由 ， 综上，. 19. 如图，在三棱台中，． （1）过且平行于的平面分别交AB，AC于M，N，求证：． （2）若三棱台的体积为，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面ABC． ①求三棱台的表面积； ②设，求异面直线BF与所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：由题设，平面，平面，且平面平面， 所以，同理可得，则； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可证、，即可证结论； （2）①由已知用表示出相关线段长，再由棱台的体积公式列方程求得，进而求其表面积；②根据棱台的结构特征有异面直线BF与所成角为或其补角，判断的变化情况，进而求其余弦值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题设，，又底面是等腰直角三角形， 所以，且也是等腰直角三角形，则，， 则，， 又平面平面，则等腰梯形的高，即为棱台的高， 所以棱台的体积，可得， 所以，，， 由，平面，平面平面，则平面， 由平面，则，结合棱台的结构特征易知， 所以四边形为直角梯形，则，且， 对于梯形，设其高为，则， 所以，可得， 所以，可得，即， 所以， 综上，三棱台的表面积为； ②由，则异面直线BF与所成角为或其补角， 又，其中，即重合时， 结合棱台的结构知从过程中逐渐变小，当重合时最小， 此时，，又， 所以，故， 则， 综上，的余弦值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试 高一数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 班级______座号______姓名______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一组数据分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的80%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在如下图所示的两种分布形态中（ ） A. （1）中的中位数大于平均数 B. （1）中的众数大于平均数 C. （2）中的众数小于中位数 D. （2）中的中位数大于平均数 4. 已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的众数是3 B. 已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立 C. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 D. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则平均数 10. 已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ） A. B. C. D. 11. 已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 13. 用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为______cm． 14. 若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． （1）求证：平面MBC； （2）求三棱锥的体积． 16. 某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． （1）求李明第三次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面平面； （2）若，． ①求证：平面； ②若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值． 18. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； （3）已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 19. 如图，在三棱台中，． （1）过且平行于的平面分别交AB，AC于M，N，求证：． （2）若三棱台的体积为，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面ABC． ①求三棱台的表面积； ②设，求异面直线BF与所成角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $