15.1 图形的轴对称 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.1 图形的轴对称 讲解目录 【知识点1】生活中的轴对称现象 1 【知识点2】轴对称的性质 2 【知识点3】轴对称图形 4 【知识点4】线段垂直平分线的性质 5 【题型1】轴对称图形 6 【题型2】对称轴的条数 7 【题型3】画轴对称图形的对称轴 7 【题型4】轴对称图形的性质 8 【题型5】线段垂直平分线的性质 9 【题型6】线段垂直平分线的判定 10 【题型7】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 12 知识巩固 【知识点1】生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合 · 即学即练 1．（2024秋•道里区期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•南乐县月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 3．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 4．（2023秋•樊城区期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ______． 5．（2023秋•阳谷县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为 ______． 【知识点2】轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 即学即练 1．（2024•南皮县二模）下列图形中，点A与点B关于直线l对称的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 3．（2024秋•霞山区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=96°，∠C′=46°，则∠B的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．58° 4．（2025春•天宁区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C=40°，∠B=80°，则∠D= ______． 5．（2025春•建邺区校级期末）如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为10cm,则CD的长为______cm. 【知识点3】轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． · 即学即练 1．（2025春•成华区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•蓝田县期末）在下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•沛县期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•鼎湖区模拟）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【知识点4】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 即学即练 1．（2025春•顺德区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD=4，CD=2，则AC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（2025春•灌云县期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=46°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．42° D．44° 3．（2025•温江区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若BD=5，AC=8，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024秋•裕华区校级期末）如图，已知∠BAC=135°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ= ______°． 5．（2024秋•苏州期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1与边BC相交于点D，边AC的垂直平分线l2与边BC相交于点E（D在E的左侧）．若△ADE的周长为8，∠DAE=60°． （1）求BC的长； （2）求∠BAC的度数． 题型专练 【题型1】轴对称图形 【典型例题】下列图案中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形、正五边形中，是轴对称图形的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】下列几何图形中：（1）等边三角形；（2）线段；（3）角；（4）正方形；（5）任意三角形．其中一定是轴对称图形的有            ．（填序号） 【举一反三4】已知以下四个汽车标志图案： 其中是轴对称图形的图案是            （只需填入图案代号）． 【题型2】对称轴的条数 【典型例题】下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【举一反三1】下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列图形中，对称轴最多的是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【举一反三3】下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【题型3】画轴对称图形的对称轴 【典型例题】画出下列轴对称图形的对称轴. 【举一反三1】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在下面四幅图中各补画一个位置不同的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出对称轴．（画出两个即可） 【举一反三2】找出图中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【举一反三3】观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【题型4】轴对称图形的性质 【典型例题】如图是轴对称图形，若∠B＝78°，则∠C的大小是（ ） A.80° B.78° C.87° D.108° 【举一反三1】如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=30°，则∠E的大小为（ ） A.30° B.35° C.40° D.45° 【举一反三2】如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFE+∠BCD＝280°，则∠AFC+∠BCF的大小是（ ） A.80° B.140° C.160° D.180° 【举一反三3】如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B＝110°，则∠D等于（　　） A.110° B.70° C.90° D.30° 【举一反三4】如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　） A.38° B.48° C.50° D.52° 【题型5】线段垂直平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（　　） A.6 B.12 C.15 D.18 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若AC＝10，△ACE的周长为22，则BC的长为（　　） A.16 B.18 C.10 D.12 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（ ） A.20° B.22.5° C.25° D.30° 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC等于（　　） A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【举一反三4】如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 【题型6】线段垂直平分线的判定 【典型例题】如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　） A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 【举一反三1】如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　） A.AC，BC两边高线的交点处 B.AC，BC两边中线的交点处 C.AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A，∠B两内角平分线的交点处 【举一反三2】2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（　　） A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点 【举一反三3】某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【举一反三4】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上． A.AB B.AC C.BC D.不能确定 【题型7】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 【举一反三1】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　） A.7 B.14 C.17 D.20 【举一反三2】如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　) A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB 【举一反三3】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论： ①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【举一反三4】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D． 求证：点D在线段AB的垂直平分线上； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1 图形的轴对称 讲解目录 【知识点1】生活中的轴对称现象 1 【知识点2】轴对称的性质 3 【知识点3】轴对称图形 6 【知识点4】线段垂直平分线的性质 8 【题型1】轴对称图形 12 【题型2】对称轴的条数 13 【题型3】画轴对称图形的对称轴 14 【题型4】轴对称图形的性质 16 【题型5】线段垂直平分线的性质 18 【题型6】线段垂直平分线的判定 20 【题型7】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 23 知识巩固 【知识点1】生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合 · 即学即练 1.（2024秋•道里区期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：A． 2.（2024秋•南乐县月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】C 【分析】根据图形得出∠2的度数，即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵∠2+∠3=90°，∠3=35°， ∴∠2=55°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=55°， 故选：C． 3.（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】有五个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数和第四个数相同． 【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10=100种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10=100种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 4.（2023秋•樊城区期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ______． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可． 【解答】解：根据轴对称的知识，这个单词是book, 这个单词所指的物品是书， 故答案为：书 5.（2023秋•阳谷县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为 ______． 【答案】55°． 【分析】根据图形得出∠2的度数，即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵∠2+∠3=90°，∠3=35°， ∴∠2=55°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=55°， 故答案为：55°． 【知识点2】轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 即学即练 1.（2024•南皮县二模）下列图形中，点A与点B关于直线l对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质，对应点的连线被对称轴垂直平分解答． 【解答】解：点A与点B关于直线l对称的是A选项图形． 故选：A． 2.（2024•河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 【答案】A 【分析】根据△ABO和△CDO关于直线PQ对称得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐项判断即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 3.（2024秋•霞山区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=96°，∠C′=46°，则∠B的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．58° 【答案】B 【分析】根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∠C=∠C′=46°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=38°． 故选：B． 4.（2025春•天宁区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C=40°，∠B=80°，则∠D= ______． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据轴对称的性质得到△ABC≌△DEF，即可得到∠D=∠A=180°-∠B-∠C，由此求出答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠D=∠A， ∵∠A=180°-∠B-∠C=60°， ∴∠D=60°． 故答案为：60°． 5.（2025春•建邺区校级期末）如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为10cm,则CD的长为______cm. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， 故有MP=MC，NP=ND； 则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=10cm. 故答案为：10． 【知识点3】轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． · 即学即练 1.（2025春•成华区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2.（2025春•蓝田县期末）在下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项A、B、D的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3.（2025春•沛县期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：由题意可知，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折们两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形． 故选：C． 4.（2025•鼎湖区模拟）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，本选项正确； B、不是轴对称图形，本选项错误； C、不是轴对称图形，本选项错误； D、不是轴对称图形，本选项错误． 故选：A． 【知识点4】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 即学即练 1.（2025春•顺德区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD=4，CD=2，则AC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD=BD=4，即可求出AC的长． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD=4， ∴AC=AD+CD=4+2=6． 故选：A． 2.（2025春•灌云县期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=46°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．42° D．44° 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，得到∠DCA=∠A=46°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC=DA， ∴∠DCA=∠A=46°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠DCA=92°， ∴∠B=180°-46°-92°=42°， 故选：C． 3.（2025•温江区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若BD=5，AC=8，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AD=CD，则可得到∠A=∠ACD，再证明∠B=∠BCD得到BD=CD，据此求出AB的长，再由勾股定理求出BC的长． 【解答】解：由作图方法可知MN垂直平分AC， ∴AD=CD， ∴∠A=∠ACD， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠BCD， ∴BD=CD， ∴AB=AD+BD=2BD=10， ∴BC===6， 故选：C． 4.（2024秋•裕华区校级期末）如图，已知∠BAC=135°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ= ______°． 【答案】90． 【分析】先由PM和QN分别垂直平分AB和AC得到AP=PB，AQ=QC，则可得出∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，根据三角形内角和得到∠B+∠C=180°-∠BAC=45°，则∠BAP+∠CAQ=45°，再由角的和差关系可得答案． 【解答】解：∵PM和QN分别垂直平分AB和AC， ∴AP=PB，AQ=QC， ∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C， ∵∠BAC=135°， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=45°， ∴∠BAP+∠CAQ=45°， ∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=90°， 故答案为：90． 5.（2024秋•苏州期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1与边BC相交于点D，边AC的垂直平分线l2与边BC相交于点E（D在E的左侧）．若△ADE的周长为8，∠DAE=60°． （1）求BC的长； （2）求∠BAC的度数． 【答案】（1）8； （2）120°． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED=120°，再根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAD+∠EAC=60°，最后根据角的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB， ∴DB=DA， 同理EA=EC， ∵△ADE的周长=AD+AE+DE=8， ∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8； （2）∵∠DAE=60°， ∴∠ADE+∠AED=180°-60°=120°， ∵DA=DB，EA=EC， ∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABC，∠AED=∠EAC+∠ACB， ∴∠BAD+∠EAC=（∠ADE+∠AED）=60°， ∴∠BAC=60°+60°=120°． 题型专练 【题型1】轴对称图形 【典型例题】下列图案中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A，B，C选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【举一反三1】在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图是轴对称图形，故符合题意； D、该图不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形、正五边形中，是轴对称图形的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．可以判断等边三角形、等腰梯形、正五边形都是轴对称图形，共3个．故选C． 【举一反三3】下列几何图形中：（1）等边三角形；（2）线段；（3）角；（4）正方形；（5）任意三角形．其中一定是轴对称图形的有            ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】解：根据轴对称图形的概念求解．解：（1）等边三角形一定是轴对称图形；（2）线段一定是轴对称图形；（3）角一定是轴对称图形；（4）正方形一定是轴对称图形；（5）任意三角形不一定是轴对称图形．故答案为：（1）（2）（3）（4）． 【举一反三4】已知以下四个汽车标志图案： 其中是轴对称图形的图案是            （只需填入图案代号）． 【答案】①和③ 【解析】解：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．可以判断在这四个图片中只有①、③两幅幅图片符合轴对称图形的特征：该图形沿着某一条直线对折后，直线两旁的部分能互相重合．所以它们是轴对称图形． 【题型2】对称轴的条数 【典型例题】下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：等边三角形有3条对称轴，直角三角形没有对称轴，等腰梯形有1条对称轴，长方形有2条对称轴，故答案选C． 【举一反三1】下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：因为A中图形有2条对称轴，所以A错误； 因为B中图形有4条对称轴，所以B错误； 因为C中图形不是对称轴图形，所以没有对称轴，所以C错误； 因为D中图形有3条对称轴，所以D正确； 故选：D． 【举一反三2】下列图形中，对称轴最多的是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】解：A.等腰三角形有一条对称轴； B.等边三角形有三条对称轴； C.直角三角形不一定是轴对称图形； D.等腰直角三角形有一条对称轴．所以，对称轴最多的是等边三角形．故选B． 【举一反三3】下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】解：第一个图形是轴对称图形，有2条对称轴，第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴，第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴，第四个图形是轴对称图形，有3条对称轴，所以，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是3．故选B． 【题型3】画轴对称图形的对称轴 【典型例题】画出下列轴对称图形的对称轴. 【答案】如图所示： 【举一反三1】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在下面四幅图中各补画一个位置不同的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出对称轴．（画出两个即可） 【答案】解： 【举一反三2】找出图中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】解：（1）（4）是轴对称图形， 对称轴如图所示： 【举一反三3】观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】解：图（1）（3）（4）（5）（7）（8）是轴对称图形， 【题型4】轴对称图形的性质 【典型例题】如图是轴对称图形，若∠B＝78°，则∠C的大小是（ ） A.80° B.78° C.87° D.108° 【答案】B 【解析】解：图形是轴对称图形，并且可以知道它只有一条对称轴，从而可知∠C和∠B是对应角，所以∠C=∠B＝78°．故选B． 【举一反三1】如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=30°，则∠E的大小为（ ） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】A 【解析】解：根据轴对称图形的性质，可知对称轴两旁的部分全等.∵∠B与∠E是对应角，∠B=30°，AF为对称轴，∴∠E=∠B=30°．故选A． 【举一反三2】如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFE+∠BCD＝280°，则∠AFC+∠BCF的大小是（ ） A.80° B.140° C.160° D.180° 【答案】B 【解析】解：根据题意可得CF所在的直线是六边形ABCDEF的对称轴，故∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，∵∠AFE+∠BCD=280°，故∠AFC+∠BCF=140°．故选B． 【举一反三3】如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B＝110°，则∠D等于（　　） A.110° B.70° C.90° D.30° 【答案】A 【解析】解：由轴对称的性质可知，∠D＝∠B， ∵∠B＝110°， ∴∠D＝110°， 故选：A． 【举一反三4】如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　） A.38° B.48° C.50° D.52° 【答案】D 【解析】解：∵∠BAC＝90°，∠B′AC＝14°， ∴∠BAB′＝∠BAC﹣∠B′AC＝90°﹣14°＝76°， ∵△ABD与△ADB′关于直线AD对称， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣38°＝52°． 故选：D． 【题型5】线段垂直平分线的性质 【典型例题】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（　　） A.6 B.12 C.15 D.18 【答案】C 【解析】解：∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC，AE＝CE＝3， ∵△ABD的周长为9， ∴AB+BD+AD＝9， ∴AB+BD+DC＝9， 即AB+BC＝9， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若AC＝10，△ACE的周长为22，则BC的长为（　　） A.16 B.18 C.10 D.12 【答案】D 【解析】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴△ACE的周长为AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝10+BC＝22． ∴BC=12 故选：D． 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（ ） A.20° B.22.5° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC中，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，EA=EB，∠AED=∠AEB=90°， ∴Rt△DAE≌Rt△DBE，∴∠B=∠BAD， ∵∠CAD：∠DAB=2：1， ∴4∠B=90°，∴∠B=22.5°，故选B. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC等于（　　） A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【答案】C 【解析】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm， 故选：C． 【举一反三4】如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 【答案】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC， ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12； （2）∵MP垂直平分AB ∴AP＝BP，∠AMP=∠BMP=90° 在Rt△AMP和Rt△BMP中， ∴Rt△AMP≌Rt△BMP（HL） ∴∠B＝∠BAP， 同理可得∠C＝∠CAQ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°． 【题型6】线段垂直平分线的判定 【典型例题】如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　） A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 【答案】A 【解析】解：∵AC=AD，BC=BD， ∴点A，B在线段CD的垂直平分线上． ∴AB垂直平分CD． 故选A． 【举一反三1】如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　） A.AC，BC两边高线的交点处 B.AC，BC两边中线的交点处 C.AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A，∠B两内角平分线的交点处 【答案】C 【解析】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在AC，BC两边垂直平分线的交点处（中垂线的判定） 故选：C． 【举一反三2】2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（　　） A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点 【答案】A 【解析】解：∵中转仓到到北京、莫斯科、雅典三地的距离相等 ∴中转仓在北京、莫斯科、雅典三地构成的三角形三边的垂直平分线交点处（线段垂直平分线的判定）. 故选：A． 【举一反三3】某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在△ABC三边垂直平分线的交点上(中垂线的判定) 故选：D． 【举一反三4】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上． A.AB B.AC C.BC D.不能确定 【答案】B 【解析】解：∵BC=BD+AD=BD+CD， ∴AD=CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 故选B． 【题型7】与尺规作图相关的线段垂直平分线性质与判定 【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】C 【解析】解：根据作图过程可知： 点M和点N到线段AB两端的距离相等， ∴MN是AB的垂直平分线，设垂足为H（中垂线的判定） ∴DA＝DB，AH=BH, ∵DH=DH ∴△ADH≌△BDH（SSS） ∴∠DAB＝∠B＝30°， 在△ABC中， ∵∠C＝80°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝180°﹣80°﹣30°＝70°， ∴∠CAD＝70°﹣30°＝40°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　） A.7 B.14 C.17 D.20 【答案】C 【解析】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．故选C． 【举一反三2】如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　) A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB 【答案】C 【解析】解：由作图可知，CD垂直平分AB， ∴EA＝EB，OA＝OB，EO⊥AB， ∴根据已知条件不能得到OA和OE的关系． 【举一反三3】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论： ①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选B． 【举一反三4】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D． 求证：点D在线段AB的垂直平分线上； 【答案】证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， 根据作图方法可知，AD是∠CAB的角平分线， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝30°， ∴∠DAB＝∠B＝30°， 作DE⊥AB于E. ∴∠DEB=∠DEA=90° 在△DEB和△DEA中 ∴△DEB≌△DEA（AAS） ∴AD＝BD， ∴点D在线段AB的垂直平分线上； 学科网（北京）股份有限公司 $$