14.3 角的平分线 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.3 角的平分线 讲解目录 【知识点1】角平分线的性质 1 【知识点2】作图—基本作图 3 【题型1】角平分线的判定 5 【题型2】角平分线的性质 6 【题型3】角平分线性质与判定的综合 8 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 9 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 10 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 12 知识巩固 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE · 即学即练 1．（2025春•茂名期末）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD=3，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025•五华区校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若，则PD=（　　） A．2 B． C． D．不能确定 3．（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2025•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF=3，AE=4，则BE=（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 5．（2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=10，DE=4，则BD的长为 ______． 6．（2024秋•单县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 ______． 7．（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数； （2）若DE=2，BC=9，求△BCD的面积． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． · 即学即练 1．（2025春•大东区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O=∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 2．（2024秋•平泉市期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到SSS判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•漳州期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点C，画射线OC．若∠AOB=34°，则∠BOC的度数为（　　） A．34° B．56° C．64° D．68° 4．（2024秋•兴隆台区期末）如图，已知线段a,b,c,求作一线段，使它等于a+2b-c.作法：①画射线AM；②在射线AM上截取AB=a；③在射线BM上顺次截取BC=CD=b；④在线段AD上截取DE=c.那么所求作的线段是（　　） A．线段ME B．线段CE C．线段BE D．线段AE 5．（2025•雷州市三模）如图，在△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC交BC于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE=∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明． 6．（2025•确山县二模）如图，BD是△ABC的角平分线，E是BC上一点，且∠ABC=∠BED． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠DEB的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交AB于F，当BD=CD时，求证：EF∥CD． 题型专练 【题型1】角平分线的判定 【典型例题】如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE=DC，则下列结论中正确的是（　　） A.∠1=∠2 B.DE=DF C.BD=FD D.AB=AC 【举一反三1】如图，在中，，点O在的内部，于点M，于点N，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为      ．    【举一反三4】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在        ． 【题型2】角平分线的性质 【典型例题】如图，∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PC⊥OA，则下列结论正确的是（　　） A.PD=PC B.PD≠PC C.PD与PC有时相等，有时不等 D.PD＞PC 【举一反三1】如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，F为BC上一点，若DF＝AD，S△ACD﹣S△CDF＝5，则△AED的面积为（　　） A.2 B.2.5 C.3 D.5 【举一反三3】如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，则的长是      ． 【举一反三4】如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是　     　． 【举一反三5】如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，三角形ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，求DE的长． 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　） A.56 B.32 C.28 D.24 【举一反三1】如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若AE=4，则AF=（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 【举一反三2】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是_________． 【举一反三4】如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°，点E在BA延长线上，且AE=AC，若△ADC的面积为6cm2，则△ADE的面积为____________cm2． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接，则的度数是         ． 【举一反三4】如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则      ． 【举一反三5】已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A.a+b＝0 B.a+b＞0 C.a﹣b＝0 D.a﹣b＞0 【举一反三1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当长度最小时，的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.6 【举一反三2】如图，在中，， 以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为       【举一反三3】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为        ． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A.三条角平分线的交点位置 B.三条高的交点位置 C.三边的中垂线的交点位置 D.三条中线的交点位置 【举一反三1】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500 m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A.1300 m B.800 m C.500 m D.300 m 【举一反三2】某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A.仅有一处 B.有四处 C.有七处 D.有无数处 【举一反三3】如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有      处．    【举一反三4】将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为          ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3 角的平分线 讲解目录 【知识点1】角平分线的性质 1 【知识点2】作图—基本作图 6 【题型1】角平分线的判定 10 【题型2】角平分线的性质 12 【题型3】角平分线性质与判定的综合 16 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 19 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 24 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 27 知识巩固 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE · 即学即练 1.（2025春•茂名期末）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD=3，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】过P作PH⊥OA于H，由角平分线的性质推出PH=PD=3，即可得到答案． 【解答】解：过P作PH⊥OA于H， ∵射线OC平分∠AOB，PD⊥OB于点D， ∴PH=PD=3， ∴点P到OA的距离是3． 故选：B． 2.（2025•五华区校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若，则PD=（　　） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，由此得到PD=． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D， ∴PD=PC=． 故选：B． 3.（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE=DF，由△ABD的面积为15，AB=10，可得DF=3，故DE=3． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE=DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF=15， ∵AB=10， ∴DF=3， ∴DE=3； 故选：C． 4.（2025•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF=3，AE=4，则BE=（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据角平分线的性质求AD=3，利用勾股定理求DE=5，再根据平行线的性质、等腰三角形的判定求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠A=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DF⊥BC， ∴AD=DF=3， 在Rt△ADE中， ， ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∵DE∥CB， ∴∠3=∠2， ∴∠3=∠1， ∴BE=DE=5， 故选：B． 5.（2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=10，DE=4，则BD的长为 ______． 【答案】6． 【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=4，根据线段的和差得出BD=BC-CD=10-4=6． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE， ∵DE=4， ∴CD=4， ∵BC=10， ∴BD=BC-CD=10-4=6． 故答案为：6． 6.（2024秋•单县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 ______． 【答案】见试题解答内容 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD，OD=OF， 即OE=OF=OD=4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC =×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD =×4×（AB+AC+BC） =×4×21=42， 故答案为：42． 7.（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数； （2）若DE=2，BC=9，求△BCD的面积． 【答案】（1）125°； （2）9． 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出DE=DF，再利用三角形面积公式即可求出． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°， ∴， ∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°， ∴， ∴∠BDC=180°-20°-35°=125°． （2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=2， ∴DF=DE=2． ∵BC=9， ∴． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． · 即学即练 1.（2025春•大东区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O=∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】C 【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等． 【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O=∠O' 故选：C． 2.（2024秋•平泉市期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到SSS判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【解答】解：A，B，C选项可用SSS证明三角形全等，进而得到角平分线， D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线． 故选：D． 3.（2024秋•漳州期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点C，画射线OC．若∠AOB=34°，则∠BOC的度数为（　　） A．34° B．56° C．64° D．68° 【答案】D 【分析】由作图过程可知，∠AOC=∠AOB=34°，再根据∠BOC=∠AOC+∠AOB可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，∠AOC=∠AOB=34°， ∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=68°． 故选：D． 4.（2024秋•兴隆台区期末）如图，已知线段a,b,c,求作一线段，使它等于a+2b-c.作法：①画射线AM；②在射线AM上截取AB=a；③在射线BM上顺次截取BC=CD=b；④在线段AD上截取DE=c.那么所求作的线段是（　　） A．线段ME B．线段CE C．线段BE D．线段AE 【答案】D 【分析】根据线段的和差即可得． 【解答】解：∵AB=a,BC=CD=b,DE=c, ∴a+2b-c=AB+BD-DE=AE， 故选：D． 5.（2025•雷州市三模）如图，在△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC交BC于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE=∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2）AE=CD，见解析． 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出DE∥AC，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 【解答】解：（1）∠ADE即为所作： （2）AE=CD，理由如下： 证明：由条件可知∠1=∠2， ∵∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∴DE∥AC， ∴， 由条件可知AE=CD． 6.（2025•确山县二模）如图，BD是△ABC的角平分线，E是BC上一点，且∠ABC=∠BED． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠DEB的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交AB于F，当BD=CD时，求证：EF∥CD． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）利用基本作图作∠DEB的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得到，再由∠ABC=∠DEB，可得∠DBE=∠FEB，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠C，最后根据平行线的判定可得结论． 【解答】（1）解：如图，射线EF即为所作； （2）证明：由条件可知， ∵∠ABC=∠DEB， ∴∠DBE=∠FEB， 由条件可知∠DBE=∠C， ∴∠C=∠FEB， ∴EF∥CD．． 题型专练 【题型1】角平分线的判定 【典型例题】如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE=DC，则下列结论中正确的是（　　） A.∠1=∠2 B.DE=DF C.BD=FD D.AB=AC 【答案】A 【解析】解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2，故选A． 【举一反三1】如图，在中，，点O在的内部，于点M，于点N，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴ ， ∵，，， ∴点O到的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为      ．    【答案】 【解析】解：∵在中，D到和距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三4】点到的三边，，的距离相等，则点的位置在        ． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【解析】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 【题型2】角平分线的性质 【典型例题】如图，∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PC⊥OA，则下列结论正确的是（　　） A.PD=PC B.PD≠PC C.PD与PC有时相等，有时不等 D.PD＞PC 【答案】A 【解析】解：∵∠AOP=∠BOP，∴OP是∠AOB的平分线，∵PD⊥OB，PC⊥OA，∴PD=PC．故选A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G， ∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC， ∴EG＝EF＝ED， ∵△ABC的面积＝△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积， ∴BC•ED+AC•EF+AB•EG＝18， ∴（BC+AC+AB）•DE＝18， ∵△ABC的周长为12cm， ∴BC+AC+AB＝12， ∴， ∴DE＝3cm． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，F为BC上一点，若DF＝AD，S△ACD﹣S△CDF＝5，则△AED的面积为（　　） A.2 B.2.5 C.3 D.5 【答案】B 【解析】解：如图，在CA上取CG＝CF，连接DG， ∵CD平分∠ACB， ∴∠GCD＝∠FCD， 在△GCD和△FCD中， ， ∴△GCD≌△FCD（SAS）， ∴DG＝DF， ∵S△ACD﹣S△CDF＝5， ∴S△ADG＝5， ∵DF＝AD， ∴DG＝DA， ∵DE⊥AG， ∴EG＝AE， ∴S△ADE＝2.5． 故选：B． 【举一反三3】如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，则的长是      ． 【答案】7 【解析】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【举一反三4】如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是　     　． 【答案】6 【解析】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴×4×8+×4×AC＝28， ∴AC＝6． 故答案为6． 【举一反三5】如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，三角形ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，求DE的长． 【答案】解：∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E， ∴点D到BC的距离等于DE的长度， ∵AB＝18，BC＝12， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD ＝×18•DE+×12•DE ＝DE（18+12） ＝15•DE， ∵△ABC的面积等于90， ∴15•DE＝90， ∴DE＝6． 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　） A.56 B.32 C.28 D.24 【答案】C 【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4， ∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB•DE+AC•DF=×8×4+×6×4=16+12=28， 故选C． 【举一反三1】如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若AE=4，则AF=（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴PE=PF．在△APE与△APF中，∠AEP=∠AFP=90°，，∴△APE≌△APF（HL），∴AE=AF=4． 故选C． 【举一反三2】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： 于点，且，到射线的最小距离为4， 点到两边的距离相等， 射线是的平分线， ， ， ， ． 【举一反三3】△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是_________． 【答案】4 【解析】解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=2， ∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =AB•OE+AC•OF+BC•OD =×6×2+×8×2+×BC×2 ，∵△ABC的面积18，∴×6×2+×8×2+×BC×2=18， 解得：BC=4， 故答案为4． 【举一反三4】如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°，点E在BA延长线上，且AE=AC，若△ADC的面积为6cm2，则△ADE的面积为____________cm2． 【答案】6 【解析】解：作DF⊥AB于D．∵AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°，DF⊥AB于D， ∴DF=DC．∵△ADE的面积=AE•DF，△ADC的面积=AC•DC，而AE=AC，DF=DC， ∴△ADE的面积=△ADC的面积=6cm2．故答案为6． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：过点作于点，于点，于点F， ∵的平分线与的平分线相交于点P， ∴， ∴， 即点P到直线的距离为3． 【举一反三1】如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，过点E作交的延长线于点F，于点M，交延长线于点N， 设， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，在的延长线上取，连接， 平分， ， 在和中 ， ， 在中，， ， ， ，，， ， ． 【举一反三3】如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接，则的度数是         ． 【答案】 【解析】解：如图，作交的延长线于，于，交的延长线于， 平分，平分， ，， ． 又，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则      ． 【答案】 【解析】解：如图，延长，作， 设， 平分， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【举一反三5】已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【答案】（1）证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． （2）解：∵为两外角的平分线，， ∴，， 由三角形内角和定理得 ． 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A.a+b＝0 B.a+b＞0 C.a﹣b＝0 D.a﹣b＞0 【答案】C 【解析】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a﹣b＝0． 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当长度最小时，的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】C 【解析】解：如图，由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是． 【举一反三2】如图，在中，， 以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为       【答案】3 【解析】解：如图，过点作于点， ，， ， 由作图步骤可知，是的平分线， ， ， 又， ， 的长为． 【举一反三3】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为        ． 【答案】 【解析】解：如图，过作交于， 由作图痕迹得平分， ， ， ． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A.三条角平分线的交点位置 B.三条高的交点位置 C.三边的中垂线的交点位置 D.三条中线的交点位置 【答案】A 【解析】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 【举一反三1】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500 m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A.1300 m B.800 m C.500 m D.300 m 【答案】D 【解析】如图，过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴． 【举一反三2】某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A.仅有一处 B.有四处 C.有七处 D.有无数处 【答案】A 【解析】解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的平分线的交点． 【举一反三3】如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有      处．    【答案】三 【解析】解：如图所示，，即为所求的点．    【举一反三4】将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为          ．    【答案】 【解析】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∵，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$