精品解析：甘肃省庆阳市华池县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第二学期期末考试 高一数学 2025.6 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：湘教版必修第二册． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合列举法运算求解. 【详解】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 2. 已知复数，其中若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用复数的乘法运算化简，之后根据纯虚数的定义列方程，解方程即可求得结果. 【详解】， ∵为纯虚数，∴. 故选：C. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】 . 故选：B. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行垂直关系可求出，即可求出，进而得出所求. 【详解】且， ，解得， ，. 故选：D. 5. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确命题的序号是（ ） A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用面面平行的性质判断B；利用线面垂直的性质推理判断C作答. 【详解】对于①，因为，当时，满足，此时，①错误； 对于②，因为，，则，②正确； 对于③，因为，，则，又，因此，③正确； 对于④，当，时，有，，若，满足，显然不成立，④错误， 所以正确命题的序号是②③. 故选：D 7. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果. 【详解】记事件：甲独自获胜， 因为每人随机选一个球（不放回），用表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙）， （乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法， 又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜， 当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为， 所以， 故选：C. 8. 如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，计算得出，计算出、，根据已知条件可求得、的值，进而可求得的值. 【详解】如图，过点作，交于点，交于点，则底面. 连接、，平面，平面，， 所以，. ，平面，平面，平面， 平面，平面，，平面平面， 又平面，平面， 平面平面，平面，. 为中点，为中点，则为中点. 在线段上，，则， ，得， 则，所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何体中线段长的最大值和最小值求参数，解题的关键在于推导出，通过的最值求出的最值，进而列方程求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】过作交延长线于，由题设可得且，进而有，令并在中应用余弦定理求x范围，即可得范围. 【详解】过作交延长线于， 又是角的平分线，得，故， 而，则， 令，则， 在中，， 可得，则，故A、B、C满足要求. 故选：ABC 10. 已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A、B与C两两互斥，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥事件与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，如果，那么，，故A正确； 对于B，如果A与B互斥，那么，，故B正确； 对于C，如果A与B相互独立，那么，故C错误； 对于D，如果A、B与C两两互斥，那么，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为4，点M是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（ ） A. 若四点共面，则点M的运动轨迹长度为4 B. 若，则点M的运动轨迹长度为 C. 若，则点M的运动轨迹长度为 D. 若直线AM与所成的角为，则点M的运动轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，找到平面与侧面的交线，即线段，则点M的运动轨迹即为线段，求其长度即可； 对于B，利用线面垂直的判定定理证明平面，从而确定点在上，求线段的长度即可； 对于C，正方体可得平面，进而得到，得，即的轨迹是一个半径为的圆，求其周长即可； 对于D，直线AM与所成的角转化为直线AM与所成的角,进一步求得,则的轨迹是一个半径为的圆，求其周长即可. 【详解】对于A，因为，所以确定一个平面，而不共线的三点在这个平面内， 所以确定的平面即为平面，故点在上，即点的轨迹为，故A错误； 对于B，连接，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以， 又平面，所以平面，又平面，所以， 同理可证，又平面，所以平面， 故当时，点在上，即点的轨迹为，故B正确； 对于C，因为在正方体中，所以平面，而平面，所以，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则轨迹长度为，故C错误； 对于D，因为，直线与所成的角为，所以与所成的角为，即，所以在直角中，， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，则轨迹长度为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第_______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由复数的除法可得，再由复数的几何意义即可求解. 【详解】计算，故其共轭复数为， 对应的点为，显然位于第三象限． 故答案为：三. 13. 如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据线线平行得出异面直线所成角为即，再计算边长得出正切即可. 【详解】在正三棱柱中，取中点G，连接FG，EG，BG，如图所示． 由点E为正方形的中心，得，，而，， 于是，，由F为棱的中点，得，，则四边形CFGE是平行四边形，有， 即或其补角就是异面直线BF与CE所成的角， 正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，，， 等腰底边FG上的高，， 所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2． 故答案为：2. 14. 已知，且，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出的值，由可得，从而由半角公式可得，而，进而可求出答案 【详解】解：因为，且，所以， 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，其中是虚数单位，. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解； （2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数， 列式求解. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 所以，解得. 【小问2详解】 由，得. 因此. 因为，所以当时，； 当时，，.故的取值范围是. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式计算可得； （2）由面积公式求出，再由余弦定理得到关于的方程，解得即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 因为，所以， 因为，即，所以， 再由余弦定理知，即， 即，解得或， 所以或（负值舍去）. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）化简 最小正周期； （2）当时，． ①当为偶数时， ．．②当为奇数时，同理得： 即可求出m的取值范围． 【详解】（1） ． 的最小正周期． （2）由（1）知． 当时，，， 即． ①当为偶数时， ． 由题意，只需． 因为当时，，所以． ②当为奇数时， ． 由题意，只需． 因为当时，，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题； (2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法． 18. 年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响． （1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率； （2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率． 【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为； （2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可； （2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可. 【小问1详解】 记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，. 根据题意得，所以； ，所以； 故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和. 【小问2详解】 由题意知， “玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； “关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； “页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； 三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为. 所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：，，， ，，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得； （2）由题意计算可得点所处位置，根据线面角的定义找到线面所成角后计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点．连接、， 由（1）知平面， 平面，， 如图，过点作， ，，，，， ，，， ，由勾股定理可知， ，平面，平面， ，为的中点， ，又，， 平面，为直线与平面所成角， 由（1）知，又，， ，，， 则， ，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第二学期期末考试 高一数学 2025.6 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：湘教版必修第二册． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 已知复数，其中若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 5. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确命题的序号是（ ） A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③ 7. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A、B与C两两互斥，那么 11. 如图，正方体的棱长为4，点M是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（ ） A. 若四点共面，则点M的运动轨迹长度为4 B. 若，则点M的运动轨迹长度为 C. 若，则点M的运动轨迹长度为 D. 若直线AM与所成的角为，则点M的运动轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第_______象限． 13. 如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 14. 已知，且，则的值是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，其中是虚数单位，. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的取值范围. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的值； （2）若，，求的值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 18. 年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响． （1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率； （2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率． 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $