2025年九年级数学中考复习反比例函数综合考前冲刺专题提升训练

2025年 九年级数学中考复习 反比例函数综合 考前冲刺专题提升训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上． (1)如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标； (2)如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值． 3．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积． 4．如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标； (2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标． 5．如图，已知反比例函数的图象经过，两点，的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 6．如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为的中点，且在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将向左平移，使得点A落在反比例函数的图象上，求平移的距离； (3)若反比例函数的图象与边交于点D，请直接写出点D的坐标． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与y轴交于点B，过点B作直线平行于x轴，与反比例函数图象交于点C，连接，求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． (1)求和的值； (2)当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点． (1)直接写出点、、的坐标及的值； (2)如图②，将直线向下平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交的图象于点，若，求直线的解析式； (3)如图③，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 10．如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、． (1)若且点的坐标为，求点的坐标； (2)若，四边形的的面积等于． 求的值； 若射线对应的函数表达式是，求线段的长； (3)如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 11．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 12．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上． (1)求k的值． (2)已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)． (3)求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由． (4)直接写出与的数量关系． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (4)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，解得或， 经检验，或都是原分式方程的根， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 经检验，得或都是原分式方程的根， ∵点在直线下方的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求出，得，，联立，求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据矩形的性质及平移的性质得，，，，，，证明，得，即，推出①，再根据函数图象上点的坐标特征得，推出②，联立方程①、②求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上， ∴， ∴， ∴， 此时反比例函数的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 即点的坐标为； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∴，，， ∵四边形是矩形，、， ∴，，， ∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴①， 又∵、在反比例函数的图象上， ∴， ∴②， 联立方程①、②，得：， 解得：， ∴， 即的值为． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，矩形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用等知识点，利用方程的思想解决问题、通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．(1)1； (2)4或14 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质： （1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， 令，解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ①点在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重合，如图， ∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合， 将代入，则， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ∴， ②点在线段的延长线上， 同理得：，， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ， 综上所述，或14． 4．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，解题的关键是求出反比例函数和一次函数解析式． （1）将，代入表示出，，然后代入求出，得到直线，反比例函数，，，设，然后根据勾股定理求解即可； （2）如图所示，设与交于点M，设所占直线表达式为，两种直线联立求出，设，然后根据中点坐标公式得到，然后代入和求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，将，代入得 ∴， 将，代入得 解得 ∴直线，反比例函数 ∴， ∴， ∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示， ∴设 ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； （2）解：如图所示，设与交于点M ∵四边形是垂美四边形且被平分时 ∴ ∵直线 ∴设所占直线表达式为 联立得， 解得 ∴ ∵M是中点，设 ∴ ∴将代入和得， 解得 ∴，． 5．(1) (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线的表达式为：，代入点坐标得出的值，根据点的横坐标算出纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中， 得：， ∴． ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：设直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为， ∴把代入中，得：， 即点的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点和点的纵坐标相等，都为， 把代入中，得：， ∴点的坐标为． 6．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中点坐标公式以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）过点作轴于点，求出点的坐标，点的坐标，代入即可求出反比例函数解析式； （2）设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为代入反比例函数解析式，求出的值即可； （3）求出的解析式，联立方程，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ∵点B的坐标为， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴，即 ∵反比例函数图像过点C ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为， 代入得：， 解得，， 即点平移的距离为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程得：， 解得，，（不符合题意，舍去） 当时，， ∴点坐标为． 7．(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数的解析式求得点B的坐标，进而求出点C的坐标，得到，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点 ，，   ， ； （2）对于，令，得 ∴点 对于，当时，得 ， ∴的面积为． 8．(1)， (2)面积的最大值为 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把点代入一次函数，反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设，则，所以点到的距离为，，则，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ∴，， 解得，，； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为， ∵点在第一象限且在点左侧，且轴， ∴设，则点的横坐标为， ∴，即， ∴点到的距离为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为． 9．(1)，，， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，一次函数、反比例函数与几何图形面积的计算等知识是关键． （1）根据一次函数与坐标轴交点得到坐标，得到，如图所示，过点作轴于点，则，根据正方形的性质可证，，得到，运用待定系数法得到反比例函数系数； （2）如图所示，连接，得到，由面积公式得到，直线的解析式为，则，把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点，可证，，得，运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵以为边作正方形， ∴，， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵将直线向下平移得到直线，则， ∴点到的距离等于点到的距离，且同底， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点的横坐标是． 10．(1)； (2)； ； (3)． 【分析】根据点的坐标为，求出反比例函数的解析式是，根据得到点的坐标是，根据反比例函数与交于点，求出点的坐标； 根据反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、两点，可知，从而可得，根据四边形的的面积等于，可以求出； 射线对应的函数表达式是，求出点的坐标是，根据可以求出，所以点的纵坐标是，可得方程，解方程求出，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，两个角的正切值相等，则这两个角相等，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，连接， 反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形的的面积等于， ， 解得：； 由可知反比例函数的解析式是， 解方程， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， 点的坐标是， 当时，， 解得：， ， 四边形是矩形， ， ； （3）解：， 理由如下： 设点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ， 当时，， 解得：， 点的坐标是， ， ， 当时，， 点的坐标是， ， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合运用、矩形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式与矩形的性质求出交点的坐标． 11．(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 12．(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 13．(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合， （1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标； （2）过点作轴，垂足为．根据已知可得，设，根据图形面积建立方程，求出点M的坐标，然后勾股定理，即可求解． （3）根据角的2倍关系，考虑分类画出图形（点在直线下方，点在直线上方），由于是直线与轴相交得到的，利用平行线转换到以为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线的表达式，联立反比例函数的表达式求解． 【详解】（1）解： 在直线上， ，解得， 点的坐标为，直线的表达式为． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得， ． 轴， ． 点在反比例函数的图象上，轴，轴， ． ， ． 设， 则， 解得或， 经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧， ， ， ； （3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得． ， ． 由（1）（2）得， ， ， 联立， 解得或， ； 若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点． ， 联立， 解得， ． 此时， 是GH的中点， ， ， 联立， 解得或， ． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 14．(1)1 (2)见解析 (3)矩形，见解析 (4) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的，作已知直线的垂线，画出图形，即可求解； （3）先证明四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形；根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m，可设点B的坐标为，则，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得点，，点M的坐标为，再求出直线的关系式为，再判断出点M在直线上，即可； （4）延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴，可得，在中，根据勾股定理可求出，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：四边形是矩形，理由如下： ∵轴，轴， ∴轴， ∵轴， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； ∵点A 的坐标为， ∴， ∵， ∴， 根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m， ∴可设点B的坐标为，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴或（舍去）， ∴点，， ∴点M的坐标为， 设直线的关系式为， 把点代入得：， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点M在直线上， 即点O、N、M在同一条直线上． （4）解：如图，延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴， ∴， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何应用，涉及了勾股定理，矩形的判定和性质，锐角三角函数等，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．(1)反比例函数解析式为，直线的解析式为 (2)当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值 (3)直线的解析式为或 (4)存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得到的坐标，结合图形，由函数交点求不等式解集的方法作答即可； （3）根据函数的平移得到平移后的解析式，根据只有一个交点，联立方程得到，根据判别式为，由此即可求解； （4）根据题意得到即是等腰直角三角形，如图所示，过点作轴于点，由圆的基础知识得到点在轴的位置，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于，两点点坐标为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组得，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴设直线向下平移了个单位长度，则对应的函数解析式为， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为或，如图所示， （4）解：存在，点的坐标为或，理由如下， 直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，即， ∴，即是等腰直角三角形， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∴以点为中点，以为半径画圆，交轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴在轴上是否存在点使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，图象法解不等式，函数与几何图形的综合知识的运用，数形结合分析思想是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$