精品解析：重庆市永川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

永川区2024—2025学年下期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B 3. 如图为某电动车厂家某款电动车在去年 5 月到 12 月间销量 （台） 随月份 （月） 变化的图像， 则下列说法正确的是（ ） A. 5 到 8 月之间， 电动车销量 （台） 随月份 （月） 的增大而增大 B. 5 月份销量最低 C. 9 月份销量最高 D. 8 月和 11 月销量相同 【答案】C 【解析】 【分析】】根据图象，结合电动车销量y（台）随月份t（月）的增减情况解答即可． 【详解】解：由图象可知： 6到7月之间，电动车销量y（台）随月份t（月）的增大而减小，原说法错误，故选项A不合题意； 7月份销量最低，原说法错误，故选项B不合题意； 9月份销量最高，故选项C符合题意； 8月和12月销量相同，原说法错误，故选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出水位高度，观察函数图象的横坐标得出时间，利用数形结合的方法是解答本题的关键． 4. 下列四个命题中，是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定分别判断各选项． 【详解】解：A． 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A为真命题． B． 对角线互相垂直的矩形是正方形．矩形的对角线原本相等且平分，若再满足垂直，则符合正方形的对角线性质，故B为真命题． C． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C为真命题． D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形，需先满足平行四边形条件，故D为假命题． 故选：D． 5. 一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的极差、方差、中位数、众数，由此即可求解． 【详解】原数据3，4，4，4，5的极差为5-3=2， 原数据3，4，4，4，5的中位数为4， 原数据3，4，4，4，5的众数为4， 原数据3，4，4，4，5的平均数为=4， 原数据3，4，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4； 新数据的3，4，4，5的极差为5-3=2， 新数据的3，4，4，5的中位数为（4+4）÷2=4， 新数据的3，4，4，5的众数为4， 新数据的3，4，4，5的平均数为=4， 新数据的3，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5； ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、极差，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据无理数的大小估算方法即可求解，掌握无理数的大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，菱形的周长为20，，于，连接，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出，，，，在中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20， ∴，，，． 在中， 由勾股定理得， ∴． ∵于E， ∴． 又∵， ∴． 故选：B 9. 如图，已知正方形的边长为8，点在上，，点是上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，连接，对称性得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为8， ∴垂直平分，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是10； 故选：A． 10. 已知，，为正整数．下列说法： 始终大于； 若，则随的增大而增大； 若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法，一次函数的性质，不等式的应用，通过展开并比较和的差值，即可判断，通过一次函数的性质即可判断；分析其符号及变化趋势，再结合不等式条件确定m的值，即可判断，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为正整数，， ∴，说法正确； 由， ∵， ∴随的增大而增大，说法正确； 由， ∴， ∵整数的取值为，共有（个）， 由当仅有个整数时，， 解得， 验证此时的取值为，符合条件，说法正确， 综上，均正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 已知一组数据1，3，9，8，3，则这组数据的中位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求中位数；中位数是一组数据从小到大或从大到小排列后，数据的个数是奇数时，中位数是处于中间的一个数，数据的个数为偶数则中位数是中间两个数值的平均数，先排序，再根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：从小到大排列为，，，， ∴中位数为 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则关于方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用一次函数图象解方程组，数形结合是解题的关键．根据两个一次函数图象交点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数和的图象经过点， ∴关于方程组的解为； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质将求的长转化为求对角线的长． 根据点坐标得到两直角边长度，运用勾股定理计算出的长度，利用矩形对角线相等的性质，将求的长转化为求的长即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为 ， ∵点D的坐标是，O是原点， ∴， ， 在中， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 15. 若一次函数与y轴交于负半轴，关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一元一次不等式组的解法，理解题意是解本题的关键；先根据一次函数的性质可得且，再根据一元一次不等式组的解集可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵一次函数与y轴交于负半轴， ∴，且， ∴且， ∵ 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， 整数，，，， ∴， 故答案为：． 16. 对于一个四位自然数，如果满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，十位数字比个位数字大1，则称为“智能数”，则最大的“智能数”是______；对于一个“智能数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为，记，若是一个完全平方数时，则满足条件的自然数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，不定方程，完全平方公式，理解新定义是解题的关键；首先确定最大的“智能数”，，则，各数位上的数字均不等于0且互不相等，则最大为，，即可得出最大的“智能数”；根据已知可得，，根据是整数，得出或，进而根据是一个完全平方数时，进行判断，即可求解． 【详解】解：对于一个“智能数”， 最大为，则，各数位上的数字均不等于0且互不相等，则最大为，， ∴最大的“智能数”是； 依题意，， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴是整数， ∴是的倍数， ∵，，则， ∵，，则， 经检验，当，时，是的倍数， ∴，则； 当，时，是的倍数， ∴，则重复，不合题意， 当，时，是的倍数， ∴，则； 当时，， ∴，则 ∴，不是完全平方公式，舍去 当时，， ∴，则 ∴是完全平方公数， ∴满足条件的自然数 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，准确掌握运算法则和二次根式的化简是解题的关键． （1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解； （2）先计算平方差公式和二次根式的除法，再计算加减法，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2）①；②；③平行四边形；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 19. 有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于分，用表示，共分三组：．，．，．)，下面给出了部分信息： 抽取的对款评分数据是：，，，，，，，，，． 抽取的对款评分数据在组中的数据是：，，，． 抽取的对和的评分统计表 类型 平均数 中位数 众数 抽取的的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为和哪款聊天机器人更受欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该区选取人参与款聊天机器人进行评分，选取人参与款聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）更受欢迎，理由： 由表知，两款机器人评分的平均数相等，而评分的中位数大于， 所以评分的高分人数多于， 所以更受欢迎； （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数，样本估计总体，从统计图上获得所需信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数的意义求解即可； （3）分别用两款及其人数的总人数乘样本中非常喜欢人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：中组数据个数为%个，而组数据的个数为， 所以这组数据的中位数为 组数据的个数为个， 则，即， 评分的众数分， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 (人)， 答：估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有人． 20. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在矩形中，，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为． ​ （1）直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质； （3）若函数与有两个交点，求k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 函数图象如下： 从图象看，当时，随x的增大而减小，当，随x的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，点Q在上运动，则当时，点Q在上运动，同理可解；由，即可求解； （2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解； （3）从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点，进而求解． 【小问1详解】 当时，点Q在上运动， 则 当时，点Q在上运动， 同理可得：， 即， 则； 【小问2详解】 对于， 当时，，当时，，当时，， 对于， 当时，，当时，， 通过对上述点描点、连线、绘制图象即可； 【小问3详解】 从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点， 将代入得：，则， 将代入得：，则， ∴k的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力． 22. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【小问1详解】 分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ 【小问2详解】 16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为；点B的坐标为； （2）直线的表达式为 （3）存在，当点E的坐标为或时，四边开形为正方形 【解析】 【分析】（1）分别将、代入即可解答； （2）如图，过点作轴于点．先求出P点坐标，再求出、的长，然后根据求得C点坐标，再运用待定系数法即可解答； （3）如图2，设点的坐标为，可得Q点纵坐标，再代入可得Q点得坐标，然后表示出、的长，再令其相等求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点B的坐标为 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，过点P作轴于点H． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ∴ 设直线的表达式为． 将，代入， 得解得 直线的表达式为． 【小问3详解】 解：存在，E的坐标为或，理由如下： ∵轴，轴 ∴ ∵轴 ∴四边开形为矩形 如图2，设点E的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标也为． 把代入，得，解得． ∴点Q的坐标为 ∴，． ∵当时，矩形为正方形， ∴，解得或． 当时，；当时，， ∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定系数法、正方形的性质成为本题的关键． 24. 在平行四边形中，为对角线，且，，为平面上的一点． （1）如图1，若，垂足为点，，求的长； （2）如图2，若点在边上，且，，求的长； （3）如图3，若点在对角线所在直线上，交于点，点是的中点，连接，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵点是的中点， ∴ ∴ ∴，， ∵点在对角线所在直线上， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∵ ∴ ∴ ∴ , 即． 【解析】 【分析】（1）先证明平行四边形是菱形，得出是等边三角形，进而根据等边三角形的性质，即可求解； （2）过点作交于点，由（1）可得是等边三角形，得出则，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求解； （3）延长交于点，连接，倍长中线法证明，进而证明，即可证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 则 由（1）可得是等边三角形， ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川区2024—2025学年下期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，8，12 3. 如图为某电动车厂家某款电动车在去年 5 月到 12 月间销量 （台） 随月份 （月） 变化的图像， 则下列说法正确的是（ ） A. 5 到 8 月之间， 电动车销量 （台） 随月份 （月） 的增大而增大 B. 5 月份销量最低 C. 9 月份销量最高 D. 8 月和 11 月销量相同 4. 下列四个命题中，是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，菱形的周长为20，，于，连接，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 9. 如图，已知正方形的边长为8，点在上，，点是上的一个动点，那么的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 已知，，为正整数．下列说法： 始终大于； 若，则随的增大而增大； 若满足条件的整数有且只有个，则的值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知一组数据1，3，9，8，3，则这组数据的中位数是______． 13. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则关于方程组的解为______． 14. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 15. 若一次函数与y轴交于负半轴，关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_______． 16. 对于一个四位自然数，如果满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，十位数字比个位数字大1，则称为“智能数”，则最大的“智能数”是______；对于一个“智能数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为，记，若是一个完全平方数时，则满足条件的自然数为______． 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 19. 有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于分，用表示，共分三组：．，．，．)，下面给出了部分信息： 抽取的对款评分数据是：，，，，，，，，，． 抽取的对款评分数据在组中的数据是：，，，． 抽取的对和的评分统计表 类型 平均数 中位数 众数 抽取的的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为和哪款聊天机器人更受欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该区选取人参与款聊天机器人进行评分，选取人参与款聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有多少人？ 20. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 如图，在矩形中，，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为． ​ （1）直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质； （3）若函数与有两个交点，求k的取值范围． 22. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在平行四边形中，为对角线，且，，为平面上的一点． （1）如图1，若，垂足为点，，求的长； （2）如图2，若点在边上，且，，求的长； （3）如图3，若点在对角线所在直线上，交于点，点是的中点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $