21.2 二次根式的乘除 课件2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根 第2课时 二次根式的除法 学习目标 1. 利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算; (重点) 2. 会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点) 第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根 问题1 什么叫二次根式? 问题2 两个基本性质: a (a≥0) -a (a<0) = =∣a ∣ = a (a≥ 0) 二次根式乘法 试一试 计算: (1) 与 =2 5 =10 (2) 与 =4 3 =12 = =10 = =12 观察计算的结果,你能发现什么? 发现: =; = 思考 (2) 与呢? 从计算的结果我们发现: =. 这是什么道理呢? 事实上,根据积的乘方法则,有 ( ) =() () = , 并且 >0, 所以 是的算术平方根,即 =. 一般地,有 = (a≥0,b≥0). 这就是说,两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的算术平方根。 注意,在上式中,a、b 都表示非负数。在本章中,如果没有特别说明,字母都表示正数. 典例精析 计算: (1) (2) = = = = =4 积的算术平方根 上面得到的等式 = (a≥0,b≥0).也可以写成 = (a≥0,b≥0). 这就是说,积的算术平方根,等于各因式算术平方根的积。 利用这个性质可以进行二次根式的化简。 典例精析 化简,使被开方数不含完全平方的因数。 = = =2 这里,被开方数 12 = 2 3,含有完全平方的因数,通常可根据积的算术平方根的性质,并利用=a(a≥0),将这个因数“开方”出来。 1. 把被开方数分解因式(或因数) ; 2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积; 化简二次根式的步骤: 3. 如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式 (a≥0) 把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简. 做一做 计算下列各式,并将所得的结果化简: = = =3 = = = =5 课堂小结 1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根. 2.化简二次根式的步骤: (1)将被开方数尽可能分解成几个平方数. (3)将平方项应用 化简. (a≥0) (2)应用= (a≥0,b≥0). = (a≥0,b≥0). = (a≥0,b≥0). 学习目标 1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质;(重点) 2.会利用除法法则进行二次根式的运算.(难点) 第2课时 二次根式的除法 导入新课 1.二次根式的两个基本性质: = a (a ≥ 0) =∣a∣ a (a ≥ 0) -a (a<0) = 2.二次根式的乘法: 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积. 3.二次根式乘法运算规律公式 关键:将被开方数因式分解或因数分解,使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”. 如何化简二次根式 = (a≥0,b≥0). 二次根式的除法 (2) (3) _; _; _; _; _; _. 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律? 我们知道,两个二次根式可以进行乘法运算,那么,两个二次根式能否进行除法运算呢? 一般地,二次根式的除法法则 (a≥0,b>0) 这就是说,两个算术平方根的商,等于各个被开方数相除商的算数平方根. 概括归纳 这里为什么要求a≥0,b>0? a≥0 可以保证有意义, b>0可以保证有意义且满足分母不等于0。 典例精析 计算: (1) ; (2) ; = = = = = 2 商的算术平方根 公式的逆用 这就是说,商的算术平方根,等于各因式算术平方根的商。 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 注意:(1) 这里的被开方数是一个整式(可以是多项式,也可以是单项式). (2) 注意被开方数的取值范围. 1.与积的算术平方根的性质比较: 共同点:一个根号变成两个根号. 区别:取值范围不同. 商的算术平方根: 2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题: 比较,得出结论 典例精析 化简 ,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母。 解:=====. 这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可利用分数(或分式)的基本性质将分母“配”成完全平方,再“开方”出来. 化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式。 二次根式的除法,要化去分母中的根号,只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了。如例题,将分子、分母同乘以,得 通常将这种化简过程称为分母有理化. 课堂小结 1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 2. 二次根式的除法有两种常用方法: (1)利用公式: (2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理化运算. 3.最简二次根式的概念 被开方数不含分母; 被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2 4.如何化去分母中的根号,请举例说明. 可以用二次根式的性质,乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号. 5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么? 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质,二次根式的乘除运算,分数基本性质. 练习 27 9 3 26 D 27 D 28 ab 29 30 31 0.04 6 0.2 1.2 32 B 33 C 34 C 35 A 36 37 D 38 A 39 B 40 < 41 42 -10 43 (1)写一个有“穿墙”现象的数,并验证; (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗?并进行证明. 1.[2024南通中考改编]计算: ===_. 2.下列计算正确的是( ) A. = B.2 =3 C. =12 D. =6 3.[2025深圳期中]下列各数中,与的积仍为无理数的是( ) A. B. C. D. 4.已知a=,b=,用含a,b的代数式表示为_. 5.若a+b=,a-b=,则a2-b2=_. 原式=5=5=25. 6.计算: (1) ; (2) ; (3)2 (-3); (4)5 . 解:原式===8. 原式===3. 原式=-6=-6. 7. 化简:= =_ _=_. 8.化简的结果是( ) A.-7 B.7 C. 7 D.21 9.下列各式化简后的结果是3的是( ) A. B. C. D. 10. 下列计算正确的是( ) A.= =6 B.= =4 =2 C.= =3 D.=25-24=1 11.[2025南阳月考]若= ,则a的取值范围是( ) A.-4≤a≤4 B.a>-4 C.a≤4 D.-4<a<4 原式== =12 13=156. 12.化简: (1); (2)-; (3); (4). 解:原式==5. 原式=-=-2. 原式= =7 5=35. 13.若是整数,则正整数n的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 14.当a<0时,化简 可得( ) A.-4a B.4a C.-4a2 D.4a2 15. 把m根号外的因式移入根号内的结果是( ) A. B.- C. D.- 16.比较大小:-6_-5. 17.某广场的矩形花坛与圆形花坛的面积相等,若矩形花坛的长为 m,宽为 m,则圆形花坛的半径为_m. 18. 观察分析,探求规律,然后填空:,-2,,-2,,…,_.(在横线上写出第50个数) 19.计算: (1); (2) (-3) . 解:原式===72. 原式=-3=-3=-3=-3=-12. 20. 超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一.交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度,公式为v=16,其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后滑行的距离(单位:m),f表示摩擦因数.若交警在处理某次交通事故时,测得d=19.2 m,f=1.25,已知该路段限速70 km/h,则该汽车超速了吗?请说明理由.(已知:≈1.4,≈1.7,结果保留一位小数) 解:该汽车超速了.理由: ∵v=16,d=19.2 m,f=1.25, ∴v=16 =16 =16 2=32 ≈32 1.4 1.7≈76.2(km/h)>70 km/h. ∴该汽车超速了. 21. 先来看一个有趣的现象:===2,这里根号里的因数2经过适当的演变,竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一现象的数还有许多,如:=3,=4等. 解:(答案不唯一). 验证:===5. 【解】=n (n为正整数,n≥2).证明:===n. $$