22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系 1 学习目标 1. 了解一元二次方程根与系数的关系； (重点) 2. 会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点) 试一试 求出一元二次方程x²＋3x－4 = 0的两根x1和x2；计算x1 ＋ x2和x1 · x2的值。它们与方程的系数有什么关系? 方程x²＋3x－4 = 0的两根为x1 = 1， x2 = -4,于是x1＋x2= -3，x1 · x2 = -4，我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和-3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项-4. 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程,是否都有这样的结果呢? 探究与发现 我们来考察方程x2 +px+q = 0 (p2-4q ≥ 0). 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 x1 = ，x2 = 所以 x1 ＋ x2= ＋ = -p x1 · x2 = · = =q 归纳概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程x2 +px+q =0 的两根为x1、x2 那么 x1 ＋ x2= -p， x1 · x2 = q 典例精析 例8 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积: (1)x2＋3x－5=0； (2)2x 2 －3x－5=0. 解：(1) 设两根为x1、x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 ＋ x2= -3 x1 · x2 = -5 (2) 方程两边同除以2，得 x 2 － x － = 0 设两根为x1、x2，可得 x1 ＋ x2= -(-) = x1·x2 = - 先将方程化为二次项系数为1的情形. 例9 试探索一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b²- 4ac ≥0) 的根与系数的关系. 解：方程两边同除以a，得 x 2 ＋ x ＋ = 0 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 ＋ x2 = - x1·x2 = 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系,前面概括的结论是它的特例(二次项系数为1)。利用这个结论，我们可以直接写出例8中题(2)的答案: x1 ＋ x2= -() = x1·x2 = = - 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2， 那么 （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2 - 4ac≥0. 课堂小结 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 一正根，一负根 两个正根 两个负根 Δ ＞0 x1x2＜0 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＞0 Δ ≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0 练习 －2 1. 利用公式法求解方程ax2＋bx＋c＝0，x＝____________，则x1＋x2＝________，x1x2＝________．在方程x2＋2x－1＝0中，x1＋x2＝______；x1x2＝________． －1 12 A 13 C 3. 下列一元二次方程的两个实数根之和为－3的是(　　) A．x2＋2x－3＝0 B．x2－3x－3＝0 C．x2＋3x－5＝0 D．x2－3x＋2＝0 14 4．已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为x＝－2，则方程的另一个根为________． 【变式题】[2025太原期中]已知关于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的一个根是x＝1，则另一个根是________． x＝4 x＝4 15 5．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)3x2＋2x－3＝0； 16 (2)x2＋x＝6x＋7；   (3)－2x2＋7x＝6. 解：整理，得x2－5x－7＝0，所以x1＋x2＝5，x1x2＝－7. 17 A 18 7．[2025安阳期末]已知实数m，n是关于x的一元二次方程x2＋9x－1＝0的两个根，则代数式m＋n－2mn的值是(　　) A．－7 B．7 C．－11 D．11 A 19 D 20 9．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是(　　) A．k<1 B．0<k≤1 C．0≤k<1 D．k>0 B 21 10．若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为________． 12 22 11．[2025南阳联考]已知一元二次方程2x2－x－2＝0的两根是x1，x2，求下列代数式的值． (1)(x1－x2)2; 23 (2)x12＋x22. 24 12．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 B 25 2 028 13．[2024德州中考]已知a和b是方程x2＋2 024x－4＝0的两个解，则a2＋2 023a－b的值为________． 26 14．已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为________． 7 27 15. 已知a、b满足(a＋3)(a＋4)＝2，(b＋3)(b＋4)＝2，则a－b的值为________． ±3 28 16．关于x的一元二次方程x2－4x＋k＋2＝0有实数根． (1)求k的取值范围； 解：因为关于x的一元二次方程x2－4x＋k＋2＝0有实数根，所以Δ＝(－4)2－4×1×(k＋2)≥0，解得k≤2，所以k的取值范围为k≤2. 29 (2)如果x1，x2是该方程的两个实数根，令w＝x1x22＋x21x2＋k，求w的最大值． 解：因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x＋k＋2＝0的两个实数根，所以x1＋x2＝4，x1x2＝k＋2，所以w＝x1x22＋x21x2＋k＝x1x2(x1＋x2)＋k＝4(k＋2)＋k＝5k＋8.因为k≤2，所以易得当k＝2时，w取得最大值，最大值为5×2＋8＝18. 30 证明：因为Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0，所以方程总有实数根． 17．[2025鹤壁期中]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 18. 已知关于x的一元二次方程mx2－(2m＋2)x＋m－2＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是整数，求整数m的值． － 2．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7 解：设x1，x2是一元二次方程的两根，则(1)x1＋x2＝－，x1x2＝－1. 整理，得－2x2＋7x－6＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝3. 6. [2025新乡月考]已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和2，则的值为(　　) A．－6 B．－ C． D．6 8．[2025成都武侯区开学考]已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则＋的值是(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－1. (1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×(－1)＝. 解：x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2－2×(－1)＝. (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值． 解：由题意知x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. 因为＋＝＝－2＝－， 所以－2＝－.整理，得5m2－7m＋2＝0， 解得m＝1或m＝.经检验，m＝1和m＝均是原方程的解，所以m＝1或m＝. 解：根据题意，得Δ＝[－(2m＋2)]2－4m(m－2)＝ 16m＋4＞0，解得m＞－. ∵原方程为关于x的一元二次方程， ∴m≠0，∴m＞－且m≠0. 解：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1x2＝＝1－， ∵两个根都是整数，m是整数，∴两根之积也是整数， ∴1－为整数，∴m＝±2或m＝±1，由(1)知m＞－且m≠0，∴m＝2或m＝1. $$