函数的单调性题型总结专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数的单调性题型总结 题型一：函数单调性的基本概念 1．用定义法证明：函数在上是增函数. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 5．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 6．若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型二：已知单调性求参 7．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 12．若在上是单调递增的，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：根据单调性解不等式： 13．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．若，则（   ） A． B． C． D． 18．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据单调性比较大小 21．已知函数，若且满足，则（    ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 22．已知函数，若对任意的，满足，则下列结论恒成立的为（    ） A． B． C． D． 23．设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 25．已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 题型五：根据单调性求最值 26．已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 28．已知，则函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 29．已知函数在上单调递减，且在上恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数是偶函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，则 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《函数的单调性题型总结》参考答案 1．证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可. 【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以， 则 ，. ，即， 函数在上是增函数. 2．D 【分析】利用复合函数单调性的判断直接求解即可. 【详解】由题知，， 可得函数的定义域为， 可分解为和， 因为函数在上单调递减， 且在上单调递减， 在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 故选：D 3．D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 4．D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 5．A 【分析】求出的导数，根据导数的性质即可求解. 【详解】设，定义域为， 则，令， 所以函数的单调减区间是. 故选：A. 6．A 【分析】根据给定条件，求出，再结合指数函数、二次函数单调性求出递增区间. 【详解】在函数且中，令，得， 因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 7．A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 8．A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 9．D 【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 10．A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 11．C 【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 12．C 【分析】根据函数单调递增得出导函数大于等于0，再参数分离结合余弦函数值域求解即可. 【详解】因为在上是单调递增的， 所以上恒成立，所以上， 因为，所以，， 则的取值范围是. 故选：C. 13．D 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， ，即函数是奇函数， 不等式 ，则， 依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 故选：D 14．A 【分析】利用换元法，令，再分情况讨论：当时，恒成立．当时，用分离参数法即可求得结果. 【详解】令，则．依题意得：，对恒成立． 显然时，恒成立．当时，． 而在上单调递减， ∴时，即时，，∴． 故选：A． 15．A 【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即，其中为奇函数，求导证明在上单调递增.利用奇函数性质将不等式转化成，再利用函数单调性转化为代数不等式，从而求解. 【详解】令，，，即为奇函数. 求导得：，根据均值不等式，且，故，当且仅当时，.故在上单调递增. 原不等式改写为，根据奇函数性质， 因为单调递增，所以，即 解不等式得： 故选：A. 16．A 【分析】由题意可判断函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而可解不等式. 【详解】由，解得或，定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 当时，，求导得， 令，求导得，所以， 又，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，解得，解得， 解得或. 所以使不等式成立的的取值范围是. 17．A 【分析】依题意，，构造函数，利用单调性得，即，判断A选项，由判断B，利用作差法结合 的正负无法判断，可得与的大小无法比较，并举反例说明，判断CD选项. 【详解】依题意，，令， 因为，均在上单调递减，故在上单调递减， 则， ，故， ，若，则， 若，则不存在，B错误， 因为， ，的正负无法判断，故与的大小无法比较. 反例如下：取，可得， 此时，CD都不成立， 故选：A. 18．C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 19．D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】由于，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 20．A 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得. 【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即为奇函数， 当，有，所以在上单调递减， 由奇函数的性质，在上单调递减，且， 由，则，即， 综上，上，上， 所以不等式的解集是. 故选：A 21．A 【分析】由题意可得，利用的单调性可得，再根据的单调性可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 令，求导可得， 当，可得，所以在上单调递增，所以， 由，可得， 当，所以在上单调递减，所以. 故选：A. 22．A 【分析】根据函数的偶函数的定义判断结合单调性得出即可判断A，特殊值法计算判断B，C，D. 【详解】因为定义域为，且， 所以是偶函数， 因为， 所以，且单调递增， 所以，所以，A选项正确； 当时，满足题意，，，B选项错误；C选项错误； 当时，满足题意， ，D选项错误； 故选：A. 23．D 【分析】判断函数的奇偶性及单调性，利用对数的运算性质及指数幂的性质比较的大小即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 又当时，，可知在上单调递增， 由偶函数性质可知，，， 又，， 所以由函数单调性可知， 故选：D 24．B 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小. 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 25．C 【分析】根据函数的对称中心及对称轴的定义得出周期，进而单调性结合对称性即可比较. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以的图象关于对称， 所以的周期为. 又因为，都有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减. 而，，所以. 故选：C. 26．B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 27．D 【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得． 28．C 【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解. 【详解】令，，易知是减函数， 因为，又在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，， 则函数的最大值是， 故选：C. 29．D 【分析】根据分段函数在给定区间上单调递减列出不等式组求解参数范围，对于不等式恒成立问题，通过构造函数，利用函数单调性求出最小值，进而得到参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，解得． 又因为在上恒成立， 所以不等式在上恒成立． 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 解得，即的取值范围为. 故选：D． 30．D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 31．B 【分析】根据偶函数的性质即可求解A，根据指数函数的单调性即可求解B，根据函数的单调性即可求解C，当时函数单调递减，可得即可判断D. 【详解】由得，故， 因此，则；故A错误， 时，，由于函数单调递减，故单调递增，故B正确， 当时，单调递增，故，结合为偶函数，故；故C错误， 时，单调递减，由于，此时，故D错误， 故选：B． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$